02315a - 16ouplus

EXERCICE 4 (5 points)
Les parties A et B sont indépendantes
Un site internet propose des jeux en ligne.
Partie A :
Pour un premier jeu :
• si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à 2/5.
• si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à 4/5.
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par
l’évènement « l’internaute gagne la n-ième partie » et on note
la probabilité de l’évènement
.
L’internaute gagne toujours la première partie et donc
.
𝑛
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
𝐺𝑛
𝑝𝑛
…
…
…
1- 𝑝𝑛
𝐺𝑛
…
𝐺
𝐺𝑛
𝐺𝑛
𝐺𝑛
2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul :
3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose :
a. Montrer que
) est une suite géométrique de raison 1/5 et de premier terme
b. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul :
à préciser.
( )
c. Déterminer la limite de
.
Partie B :
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties.
On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1/4.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.
1. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à
près.
c. Déterminer l’espérance de X.
2. Le joueur doit payer 30 € pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 €.
a. Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
b. Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 €. Le résultat sera arrondi à
près.
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Tous les exercices essentiels de maths de la Sixième à la Terminale condensés sur une seule page web de manière optimale.
L’exercice est d’autant plus difficile que son numéro est petit.
Partie A :
Pour un premier jeu :
• si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à 2/5.
• si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à 4/5.
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par
l’évènement « l’internaute gagne la n-ième partie » et on note
la probabilité de l’évènement
.
L’internaute gagne toujours la première partie et donc
.
1. Recopions et complétons l’arbre pondéré suivant :
𝐺𝑛
𝑝𝑛
3/5
1/5
1- 𝑝𝑛
𝐺𝑛
2. Montrons que, pour tout n entier naturel non nul :
D’après la loi des probabilités totales :
)
)
)
)
2/5
4/5
𝐺𝑛
𝐺𝑛
𝐺𝑛
𝐺𝑛
)
)
3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose :
a. Montrons que
) est une suite géométrique de raison 1/5 et de premier terme
à préciser.
)
) est une suite géométrique de raison 1/5 et de premier terme
.
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L’exercice est d’autant plus difficile que son numéro est petit.
b. Montrons que, pour tout n entier naturel non nul :
( )
On a, d’après le cours de Première S :
( )
( )
Attention, un piège est ici de mal se remémorer cette formule et donc d’écrire à tort :
D’autre part :
Donc :
( )
c. Déterminons la limite de
.
( )
( )
( )
(
)
Au bout d’un très grand nombre de parties, la probabilité de gagner sera proche d’une chance sur quatre.
Partie B :
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties.
On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1/4.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.
1. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifions.
Les épreuves étant identiques et indépendantes, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X est une loi
binomiale avec n = 10 et p = 1/4 .
b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à
)
)
)
)
près.
)
(
)
)
)
)
c. Déterminons l’espérance de X.
)
)
)
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L’exercice est d’autant plus difficile que son numéro est petit.
2. Le joueur doit payer 30 € pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 €.
a. Expliquons pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
Le joueur doit payer 30 € pour les 10 parties et récupérera en moyenne 2,5 × 8 = 20 €. (espérance de gagner 2,5
parties sur 10).
En moyenne les 10 parties coûteront 30 − 20 = 10 €, soit 1 € par partie.
Le jeu est donc désavantageux pour le joueur.
b. Calculons la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 €. Le résultat sera arrondi à
près.
Pour réaliser un bénéfice supérieur à 40 €, vu la mise de 30 €, il faut gagner plus de 70 €. Comme 8 × 8 = 64, il faut
donc gagner 9 parties au moins sur 10 (9 × 8 = 72).
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(
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)
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(
)
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L’exercice est d’autant plus difficile que son numéro est petit.