Contrôle n˚8

2013-2014 Terminale 10
Contrôle n˚8
Exercice 1 (4 points)
1. Prérequis : Une loi de probabilité Pest définie sur un univers Ω.
Dire que deux événements Aet Bsont indépendants signifie que P(A∩B) = P(A)×P(B).
Démontrer que, si deux événements Aet Bsont indépendants, alors Aet Ble sont aussi.
2. Florian et Anaïs tentent de faire des paniers au basket. Les événements A: « Florian
réussit un panier » et B: « Anaïs réussit un panier » sont indépendants et de probabilités
respectives 4
7et 3 5.
Florian et Anaïs font un essai chacun.
Calculer la probabilité des événements :
« Florian et Anaïs réussissent tous les deux » ;
« Seul Florian réussit » ;
« Aucun panier n’est marqué » ;
« Au moins un panier est marqué ».
Exercice 2 (8 points)
Soient deux suites (un) et (vn) définies par u0= 2 et v0= 10 et pour tout entier naturel n,
un+1 =2un+vn
3et vn+1 =un+ 3vn 4.
PARTIE A
On considère l’algorithme suivant :
Variables : Nest un entier
U, V, W sont des réels
Kest un entier
Début : Affecter 0 à K
Affecter 2 à U
Affecter 10 à V
Saisir N
Tant que K < N
Affecter K+ 1 à K
Affecter UàW
Affecter 2U+V
3àU
Affecter W+ 3V
4àV
Fin tant que
Afficher U
Afficher V
Fin
On exécute cet algorithme en saisissant N= 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous
donnant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.
K W U V
0
1
2
1

2013-2014 Terminale 10
PARTIE B
1. (a) Montrer que pour tout entier naturel n, vn+1 −un+1 =5
12 (vn−un).
(b) Pour tout entier naturel non pose wn=vn−un.
Montrer que pour tout entier naturel n, wn= 8 5
12n
.
2. (a) Démontrer que la suite (un) est croissante et que la suite (vn) est décroissante.
(b) Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel non a
un610 et vn>2.
(c) En déduire que les suites (un) et (vn) sont convergentes.
3. Montrer que les suites (un) et (vn) ont la même limite.
4. Montrer que la suite (tn) définie par tn= 3un+ 4vnest constante.
En déduire que la limite commune des suites (un) et (vn) est 46
7.
Exercice 3 (8 points)
Les parties A et B sont indépendantes
Un site internet propose des jeux en ligne.
Partie A :
Pour un premier jeu :
•si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale
à2
5.
•si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à
4
5.
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Gnl’événement « l’internaute gagne la n-ième
partie » et on note pnla probabilité de l’événement Gn.
L’internaute gagne toujours la première partie et donc p1= 1.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
Gn
pn
Gn+1
. . .
Gn+1
. . .
Gn
1−pn
Gn+1
. . .
Gn+1
. . .
2. Montrer que, pour tout nentier naturel non nul, pn+1 =1
5pn+1 5.
3. Pour tout nentier naturel non nul, on pose un=pn−1
4.
2

2013-2014 Terminale 10
(a) Montrer que (un)n∈Nest une suite géométrique de raison 1
5et de premier terme u1à
préciser.
(b) Montrer que, pour tout nentier naturel non nul, pn=3
4×1 5n−1
+1
4.
(c) Déterminer la limite de pn.
Partie B :
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties.
On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1
4.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.
1. (a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
(b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera
arrondi à 10−2près.
(c) Déterminer l’espérance de X.
2. Le joueur doit payer 30 AC pour jouer les 10 parties.
Chaque partie gagnée lui rapporte 8 AC.
(a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
(b) Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 AC. Le
résultat sera arrondi à 10−5près.
3