Contrôle n˚8

2013-2014
Terminale 10
Contrôle n˚8
Exercice 1 (4 points)
1. Prérequis : Une loi de probabilité P est définie sur un univers Ω.
Dire que deux événements A et B sont indépendants signifie que P (A ∩ B) = P (A) × P (B).
Démontrer que, si deux événements A et B sont indépendants, alors A et B le sont aussi.
2. Florian et Anaïs tentent de faire des paniers au basket. Les événements A : « Florian
réussit un panier » et B : « Anaïs réussit un panier » sont indépendants et de probabilités
3
4
respectives et .
7
5
Florian et Anaïs font un essai chacun.
Calculer la probabilité des événements :
« Florian et Anaïs réussissent tous les deux » ;
« Seul Florian réussit » ;
« Aucun panier n’est marqué » ;
« Au moins un panier est marqué ».
Exercice 2 (8 points)
Soient deux suites (un ) et (vn ) définies par u0 = 2 et v0 = 10 et pour tout entier naturel n,
un+1 =
2un + vn
3
et vn+1 =
un + 3vn
.
4
PARTIE A
On considère l’algorithme suivant :
Variables :
Début :
N est un entier
U, V, W sont des réels
K est un entier
Affecter 0 à K
Affecter 2 à U
Affecter 10 à V
Saisir N
Tant que K < N
Affecter K + 1 à K
Affecter U à W
2U + V
àU
Affecter
3
W + 3V
àV
Affecter
4
Fin tant que
Afficher U
Afficher V
Fin
On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous
donnant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.
K
0
1
2
W
U
1
V
2013-2014
Terminale 10
PARTIE B
1. (a) Montrer que pour tout entier naturel n, vn+1 − un+1 =
5
(vn − un ).
12
(b) Pour tout entier naturel n on pose wn = vn − un .
n
5
Montrer que pour tout entier naturel n, wn = 8
.
12
2. (a) Démontrer que la suite (un ) est croissante et que la suite (vn ) est décroissante.
(b) Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel n on a
un 6 10 et vn > 2.
(c) En déduire que les suites (un ) et (vn ) sont convergentes.
3. Montrer que les suites (un ) et (vn ) ont la même limite.
4. Montrer que la suite (tn ) définie par tn = 3un + 4vn est constante.
46
En déduire que la limite commune des suites (un ) et (vn ) est
.
7
Exercice 3 (8 points)
Les parties A et B sont indépendantes
Un site internet propose des jeux en ligne.
Partie A :
Pour un premier jeu :
• si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale
2
à .
5
• si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à
4
.
5
Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Gn l’événement « l’internaute gagne la n-ième
partie » et on note pn la probabilité de l’événement Gn .
L’internaute gagne toujours la première partie et donc p1 = 1.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
pn
...
Gn+1
...
Gn+1
...
Gn+1
...
Gn+1
Gn
1 − pn Gn
2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn+1 =
1
3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose un = pn − .
4
2
1
1
pn + .
5
5
2013-2014
Terminale 10
1
(a) Montrer que (un )n∈N est une suite géométrique de raison et de premier terme u1 à
5
préciser.
n−1
1
1
3
+ .
(b) Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn = ×
4
5
4
(c) Déterminer la limite de pn .
Partie B :
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties.
On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
1
La probabilité de gagner chaque partie est égale à .
4
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.
1. (a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
(b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera
arrondi à 10−2 près.
(c) Déterminer l’espérance de X.
2. Le joueur doit payer 30 A
C pour jouer les 10 parties.
Chaque partie gagnée lui rapporte 8 A
C.
(a) Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.
(b) Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 A
C. Le
résultat sera arrondi à 10−5 près.
3