PGCD et nombres premiers entre eux

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Cours de Terminale S - Spécialité /PGCD et nombres premiers entre
eux
E. Dostal
juin 2015
Table des matières
3 PGCD et entiers premiers entre eux
3.1 PGCD de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Théorème de Bezout et théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Chapitre 3
PGCD et entiers premiers entre eux
3.1
3.1.1
PGCD de deux entiers
définition et propriétés
Définition 1 Soient a et b deux nombres entiers naturels non tous les deux nuls. On appelle
PGCD de a et de b, le Plus Grand Diviseur Commun de a et de b, que l’on note P GCD(a; b)
Proposition 1
Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.
P GCD(a; b) = P GCD(|a|; |b|)
Conséquence : on peut étendre la défintion 1 au cas de deux nombres entiers relatifs non tous
les deux nuls. On ramène la recherche au cas du PGCD de deux entiers naturels non nuls.
Proposition 2
•
•
•
•
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
P GCD(a; 0) = a
P GCD(a; 1) = 1
Si b divise a alors P GCD(a; b) = b
Pour tout entier relatif k, P GCD(a − kb, b) = P GCD(a; b).
en particulier, P GCD(a − b, b) = P GCD(a; b)
Application : Déterminer en fonction des valeurs de n, P GCD(5n + 4; 3n − 7).
3.1.2
Algorithme d’Euclide
Théorème 3
Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Soit r le reste de la division
euclidienne de a par b.
P GCD(a; b) = P GCD(b; r)
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E. Dostal - 2015
CHAPITRE 3. PGCD ET ENTIERS PREMIERS ENTRE EUX
Histoire : C’est avec Euclide d’Alexandrie (-320 ? ; -260 ?), que les théories sur les nombres
premiers se mettent en place. Dans Les éléments (livres VII, VIII, IX), il donne des définitions,
des propriétés et démontre certaines affirmations du passé, comme l’existence d’une infinité de
nombres premiers.
Les nombres premiers sont en quantité plus grande que toute quantité proposée de nombres
premiers . Il présente aussi la décomposition en facteurs premiers liée à la notion de PGCD.
Algorithme 1
ALGORITHME D’EUCLIDE
Soient a et b deux entiers naturels non tous deux nuls.
On pose a = r0 et b = r1 .
• On calcule r2 le reste de la division euclidienne de r0 par r1 .
• Si r2 = 0 alors on s’arrète
• Sinon on remplace r0 par r1 et r1 par r2 et on reprend à partir du premier point.
Exemple 1 : Déterminer le PGCD de 252 et 360.
Proposition 4 Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
L’ensemble des diviseurs communs de a et b est l’ensemble des diviseurs de leur PGCD.
Démonstration : On a démontré précédemment que l’ensemble des diviseurs communs de a et
b est égal à l’ensemble des diviseurs communs de b et r.
En poursuivant par divisions euclidiennes successives, on obtient une liste strictement décroissante
de restes En effet, on a successivement :
0 ≤ r < b , 0 ≤ r1 < r , 0 ≤ r2 < r1 , ...
Il n’existe qu’un nombre fini d’entiers compris entre 0 et r.
Il existe donc un rang k tel que rk 6= 0 et rk+1 = 0.
Ainsi l’ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l’ensemble des diviseurs communs de
rk et 0.
Remarque : A noter qu’à ce niveau ce résultat démontre le fait que dans l’algorithme d’Euclide,
le dernier reste non nul est égal au PGCD de a et b. En effet, P GCD(rk ; 0) = rk .
Proposition 5
Soient a, b et k des entiers naturels non nuls.
P GCD(ka; kb) = k P GCD(a; b)
(démonstration en appliquant l’algorithme d’Euclide)
Exemple 2 : Déterminer les diviseurs de 2730 et 5610.
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E. Dostal - 2015
3.2
3.2.1
CHAPITRE 3. PGCD ET ENTIERS PREMIERS ENTRE EUX
Théorème de Bezout et théorème de Gauss
Nombres premiers entre eux
Définition 2 Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Applications :
1. Les nombres 42 et 55 sont-ils premiers entre eux ?
2. les nombres 123456789 et 123456788 sont-ils premiers entre eux ?
Proposition 6 Soient a et b deux entiers naturels non nuls et d le PGCD de a et de b.
Alors il existe deux entiers naturels a′ et b′ non nuls premiers entre eux tels que a = da′ et b = db′ .
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3.2.2
CHAPITRE 3. PGCD ET ENTIERS PREMIERS ENTRE EUX
Théorème de Bezout
Histoire :
Etienne
Bezout
(1730-1783)
est
un
mathématicien
français
professeur
de
mathématiques auprès des gardes de la Marine
et de l’école d’artillerie. Il édita de nombreux
manuels pédagogiques. Son nom est principalement attaché à ses travaux sur les équations
algébriques et à un célèbre résultat qu’il établit
dans son traité de 1779 sur la divisibilité des
polynômes, étudié en classe terminale dans le
cadre de l’arithmétique sous l’appellation identité de Bezout.
Proposition 7 Identité de Bezout
Soient a et b deux entiers naturels non tous les deux nuls et d leur PGCD.
Il existe alors deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = d
Démonstration :
On appelle E l’ensemble des entiers positifs de la forme am + bn avec m et n entiers relatifs.
a et b appartiennent à E donc E est non vide. E contient un plus petit élément noté d (non nul).
- Démontrons que P GCD(a; b) ≤ d :
P GCD(a; b) divise a et b donc divise d et donc P GCD(a; b) ≤ d .
- Démontrons que d ≤ P GCD(a; b) :
On effectue la division euclidienne de a par d :
Il existe un unique couple d’entiers (q; r) tel que a = dq + r avec 0 ≤ r < d
On a alors : r = a − dq = a − (au + bv)q = a − aqu − bqv = (1 − qu)a − bqv
Donc r est un élément de E plus petit que d ce qui entraine que r = 0.
On en déduit que d divise a. On montre de même que d divise b et donc d ≤ P GCD(a; b).
On conclut que d = P GCD(a; b) et finalement, il existe deux entiers u et v tels que : au + bv = d .
Remarques :
1) Il n’y a pas unicité du coupe (u; v).
2)La réciproque est fausse ; 1 + 1 = 2 mais 2 n’est pas de P GCD(1; 1).
Théorème 8 Théorème de Bezout
Soient a et b deux entiers naturels.
a et b sont premiers entre eux ssi Il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1
Applications :
1. Prouver que 2n + 1 et 9n + 4 sont premiers entre eux pour tout n entier naturel.
2. Montrons à nouveau que l’ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par l’absurde.
Pour cela, supposons qu’il existe un nombre fini de nombres premiers p1 , p2 , ..., pn et montrer
alors que le nombre E = p1 p2 ...pn + 1 est premier avec chacun des nombres p1 , p2 , ...pn .
Conclure alors.
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3.2.3
CHAPITRE 3. PGCD ET ENTIERS PREMIERS ENTRE EUX
Théorème de Gauss
Histoire :
Enfant prodige, Johann Carl Friedrich Gauss,
né le 30 avril 1777 à Brunswick et mort
le 23 février 1855 à Göttingen, est un
mathématicien, astronome et physicien allemand. Il a apporté de très importantes contributions à ces trois domaines. C’est lui qui a
créé notamment le concept de congruences que
nous utilisons cette année.
Théorème 9 Théorème de Gauss
Soient a, b et c trois entiers naturels non nuls.
Si a divise bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.
Preuve :
Il faut utiliser le théorème de Bezout.
Applications :
Démontrer les différentes propositions suivantes.
1. Si deux entiers a et b premiers entre eux divisent un entier c, alors ab divise c.
2. Si un nombre premier p divise un produit ab, alors p divise a ou p divise b.
3. Si un nombre premier p divise un produit de nombres premiers , alors p est égal à l’un deux.
4. Si un entier est premier avec certains entiers, il est premier avec leur produit.
Et donc, nous pouvons maintenant démontrer l’unicité de la décomposition d’un entier naturel en
produit de facteurs premiers du chapitre 2 en utilisant unerécurrence forte.
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