PGCD et nombres premiers entre eux

Cours de Terminale S - Sp´ecialit´e /PGCD et nombres premiers entre
eux
E. Dostal
juin 2015

Table des mati`eres
3 PGCD et entiers premiers entre eux 2
3.1 PGCD de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Th´eor`eme de Bezout et th´eor`eme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
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Chapitre 3
PGCD et entiers premiers entre eux
3.1 PGCD de deux entiers
3.1.1 d´efinition et propri´et´es
D´efinition 1 Soient aet bdeux nombres entiers naturels non tous les deux nuls. On appelle
PGCD de aet de b, le Plus Grand Diviseur Commun de aet de b, que l’on note P GCD(a;b)
Proposition 1
Soient aet bdeux entiers relatifs non tous les deux nuls.
P GCD(a;b) = P GCD(|a|;|b|)
Cons´equence : on peut ´etendre la d´efintion 1 au cas de deux nombres entiers relatifs non tous
les deux nuls. On ram`ene la recherche au cas du PGCD de deux entiers naturels non nuls.
Proposition 2 Soient aet bdeux entiers naturels non nuls.
•P GCD(a; 0) = a
•P GCD(a; 1) = 1
•Si bdivise aalors P GCD(a;b) = b
•Pour tout entier relatif k,P GCD(a−kb, b) = P GCD(a;b).
en particulier, P GCD(a−b, b) = P GCD(a;b)
Application : D´eterminer en fonction des valeurs de n,P GCD(5n+ 4; 3n−7).
3.1.2 Algorithme d’Euclide
Th´eor`eme 3 Soient aet bdeux entiers naturels non nuls. Soit rle reste de la division
euclidienne de apar b.
P GCD(a;b) = P GCD(b;r)
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E. Dostal - 2015 CHAPITRE 3. PGCD ET ENTIERS PREMIERS ENTRE EUX
Histoire : C’est avec Euclide d’Alexandrie (-320 ? ; -260 ?), que les th´eories sur les nombres
premiers se mettent en place. Dans Les ´el´ements (livres VII, VIII, IX), il donne des d´efinitions,
des propri´et´es et d´emontre certaines affirmations du pass´e, comme l’existence d’une infinit´e de
nombres premiers.
Les nombres premiers sont en quantit´e plus grande que toute quantit´e propos´ee de nombres
premiers . Il pr´esente aussi la d´ecomposition en facteurs premiers li´ee `a la notion de PGCD.
Algorithme 1
ALGORITHME D’EUCLIDE
Soient aet bdeux entiers naturels non tous deux nuls.
On pose a=r0et b=r1.
•On calcule r2le reste de la division euclidienne de r0par r1.
•Si r2= 0 alors on s’arr`ete
•Sinon on remplace r0par r1et r1par r2et on reprend `a partir du premier point.
Exemple 1 : D´eterminer le PGCD de 252 et 360.
Proposition 4 Soient aet bdeux entiers naturels non nuls.
L’ensemble des diviseurs communs de aet best l’ensemble des diviseurs de leur PGCD.
D´emonstration : On a d´emontr´e pr´ec´edemment que l’ensemble des diviseurs communs de aet
best ´egal `a l’ensemble des diviseurs communs de bet r.
En poursuivant par divisions euclidiennes successives, on obtient une liste strictement d´ecroissante
de restes En effet, on a successivement :
0≤r < b , 0 ≤r1< r , 0 ≤r2< r1, ...
Il n’existe qu’un nombre fini d’entiers compris entre 0 et r.
Il existe donc un rang ktel que rk6= 0 et rk+1 = 0.
Ainsi l’ensemble des diviseurs communs de aet best ´egal `a l’ensemble des diviseurs communs de
rket 0.
Remarque : A noter qu’`a ce niveau ce r´esultat d´emontre le fait que dans l’algorithme d’Euclide,
le dernier reste non nul est ´egal au PGCD de a et b. En effet, P GCD(rk; 0) = rk.
Proposition 5 Soient a,bet kdes entiers naturels non nuls.
P GCD(ka;kb) = k P GCD(a;b)
(d´emonstration en appliquant l’algorithme d’Euclide)
Exemple 2 : D´eterminer les diviseurs de 2730 et 5610.
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E. Dostal - 2015 CHAPITRE 3. PGCD ET ENTIERS PREMIERS ENTRE EUX
3.2 Th´eor`eme de Bezout et th´eor`eme de Gauss
3.2.1 Nombres premiers entre eux
D´efinition 2 Soient aet bdeux entiers naturels non nuls.
On dit que aet bsont premiers entre eux lorsque leur PGCD est ´egal `a 1.
Applications :
1. Les nombres 42 et 55 sont-ils premiers entre eux ?
2. les nombres 123456789 et 123456788 sont-ils premiers entre eux ?
Proposition 6 Soient aet bdeux entiers naturels non nuls et dle PGCD de aet de b.
Alors il existe deux entiers naturels a′et b′non nuls premiers entre eux tels que a=da′et b=db′.
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