L2 EEA MECA GC : Energie Electrique

Université paul Sabatier
L2 EEA MECA GC : Energie Electrique
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Aide mémoire régime sinusoïdal
1 Représentation des grandeurs sinusoïdales
Une grandeur sinusoïdale est caractérisée par sa valeur efficace, sa phase à l’origine
θet sa pulsation ω. En régime sinusoïdal forcé la pulsation est identique pour toutes
les grandeurs sinusoïdales. Une tension sinusoïdale ou une intensité sinusoïdale est donc
caractérisée par deux nombres : sa valeur efficace et sa phase.
Une tension sinusoïdale u(t)s’écrira :
u(t) = U√2 cos (ωt +θu)
— L’amplitude Um=U√2est la valeur maximale de la tension. Elle est toujours
positive et s’exprime en V.
— La valeur Uest la valeur efficace de la tension. Elle est toujours positive et s’exprime
en V.
— La pulsation ωest équivalente à une vitesse angulaire. Elle s’exprime en rad/s. La
période est T=2π
ωet la fréquence est f=1 T=ω 2π.
— La phase est un angle qui s’exprime en rad. A l’origine des temps, la phase est θu.
1.1 Valeur efficace
La valeur efficace Ud’une tension sinusoïdale est la valeur de la tension continue qui
provoquerait une même dissipation de puissance moyenne dans une résistance pure
que la tension sinusoïdale appliquée aux bornes de la résistance.
U=Um
√2
La valeur efficace Ide l’intensité d’un courant sinusoïdal est la valeur de l’intensité du
courant continu qui provoquerait une même dissipation de puissance moyenne dans
une résistance pure que l’intensité du courant sinusoïdal qui traverse la résistance.
I=Im
√2
2

1.2 Représentation des grandeurs sinusoïdales en fonction du temps
Exemple : deux tensions sinusoïdales de même pulsation ω= 100πcaractérisées par
leurs valeurs efficaces et leurs phases à l’origine :
U1= 220 V et θu1=π
3rad et U2= 110 V et θu2=−π 3rad.
Amplitude : valeur maximale positive de la tension sinusoïdale Um=U√2
Exemple : Um1= 311 V,Um2= 155 V
u1(t) = 311 cos 100πt +π
3V
u2(t) = 155 cos 100πt −π
3V
Dans ces formules nulériques, il est indispensable de préciser les unités.
Période : T=2π
ω
Exemple : T= 20 ms
Fréquence : f=1
T=ω 2π
Exemple : f= 50 Hz
1.3 Représentation de Fresnel
Vecteur de Fresnel : −→ U=Ucos θu−→ ex+Usin θu−→ ey
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1.4 Représentation par les complexes
Valeur complexe de la grandeur sinusoïdale x(t) = X√2 cos (ωt +θ):
x(t) = X√2 exp (jωt)
X=Xexp (jθ)
Xm=Xp(2) exp (jθ)
Il suffit de représenter la valeur efficace complexe Xou l’amplitude complexe Xmpour
décrire la grandeur sinusoïdale car la partie temporelle exp (jωt)est commune à toutes
les grandeurs sinusoïdales en régime sinusoïdal forcé.
Valeur complexe de la tension efficace :
U=Ucos θu+jU sin θu=Uexp (jθu)
Module : |U|=U
Argument : arg U=θu
Exemple :
U1= 220ejπ
3= 220 cos π
3+j220 sin π 3= 110 + 191j(V)
U2= 110e−jπ
3= 110 cos −π
3+j110 sin −π 3= 55 −95,3j(V)
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1.5 Opérations sur les grandeurs sinusoïdales
Addition des vecteurs de Fresnel :
−→
U=−→ U1+−→ U2
U=q(U1cos θu1+U2cos θu2)2+ (Um1sin θu1+U2sin θu2)2
θu= arctan U1sin θu1+U2sin θu2
U1cos θu1+U2cos θu2
Addition des valeurs complexes efficaces :
U=U1+U2=U1cos θu1+U2cos θu2+j(U1sin θu1+U2sin θu2)
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