TD4: Dipôles linéaires en régime sinusoïdal

TD4: Dipôles linéaires en régime sinusoïdal
Exercice 1: Détermination des valeurs efficaces et des déphasages
Exercice 2: Dipôles R, L série et:/ou parallèle
1. Soit le dipôle AB constitué d'une résistance R en parallèle avec une bobine d'inductance L.
Soit le dipôle A'B' constitué d'une résistance R' en série avec une bobine d'inductance L'. Ces
deux dipôles sont soumis à une tension sinusoïdale de pulsation ω.
a) Déterminer R' et L' en fonction de R et L pour que ces deux dipôles soient équivalents
b) Quelle est la pulsation ωo pour laquelle R'/R=L'/L. Calculer ωo pour R=102Ω et L=10-2H.
2. Soit le montage de la figure 2 où les dipôles précédents sont en série. On applique une tension
sinusoïdale U(t) entre A et C telle que U(t)=Um cos(ωt). Les dipôles AB et BC sont équivalents
et ωo telle que R'/R=L'/L.
a) Déterminer l'impédance complexe ZAC, donner son expression polaire.
b) Déterminer les amplitudes complexes des courants i1(t), i2(t) et i1(t). Déterminer les
valeurs efficaces et les déphasages de ces grandeurs.
c) Déterminer les amplitudes complexes des courants u1(t), u2(t) et u1(t). Déterminer les
valeurs efficaces et les déphasages de ces grandeurs.
3. Donner l'expression de la capacité C qu'il faut mettre en série avec le dipôle AC pour que le
courant i(t) soit en phase avec la tension u(t) à la pulsation ωo.
Exercice 3: Réprésentation de Norton ; Condition de résonance
Soit le circuit ci-contre. Déterminer la
condition sur R pour observer la résonance aux
bornes du condensateur.
Donner la pulsation de résonance ωc.
Exercice 4: Modèle de Thévenin et Norton, Théorème de Millman
Soit le circuit alimenté par une source
de tension sinusoïdale e(t)=Ecos(ωt)
et les éléments du circuit sont tels
que: LCω2=1 et RCω=1.
Déterminer la tension Uc(t) aux
bornes du condensateur.
Exercice 5: Superposition de sources de courant continue et sinusoïdale
i0(t)=iA +iB cos(ωt) avec iA et iB des constantes
1. Déterminer l'équation différentielle en i(t)
(courant circulant dans R1).
2. Résoudre avec les C.I. à t=o i(o)=I1.
Exercice 6: Déphaseur (R, C)
Dans le circuit ci-contre, les résistances R
sont couplées de façon à rester toujours
égales. La tension d'entrée u1(t) étant
sinusoïdale, déterminer la tension de sortie
u2(t) lorsque la sortie est ouverte (i2(t)=0).
Exercice 7:Dipôle inconnu
Dans le montage suivant, le GBF délivre une tension e(t) sinusoïdale de pulsation w, R est une
résistance et D un dipôle inconnu.
On note u (t ) = U max cos(ωt ) et v (t ) = Vmax cos(ωt + ϕ ) les tensions aux bornes respectivement
de R et D.
€
R
e(t)
U(t)
D
V(t)
i(t)
On visualise à l’oscilloscope v(t) et u(t) et on obtient le graphe suivant. L’unité de l’axe des temps
est 10-2 s et celle de l’axe des tensions est de 1V . On utilise ces résultats graphiques pour
déterminer les caractéristiques de D sachant que R=100Ω.
1. Déterminer Um et Vm ainsi que la période et la pulsation.
2. La tension v(t) est elle en retard ou en avance sur u(t) ? déterminer le déphasage ϕ .
3. On note Z = X + j Y l’impédance du dipôle D. Déterminer les valeurs de X et Y.
4. Par quel dipôle (condensateur, bobine…) peut on modéliser D ? Donner ses
caractéristiques.
€
Exercice 8: Réponse d’un circuit soumis à deux excitations sinusoïdales
Déterminer la réponse u(t) du circuit
représenté ci-contre lorsqu'il est soumis aux
deux excitations sinusoïdales:
e1(t)=emcos(ωt) et e2(t)=emsin(2ωt)
Exercice 9 : Puissance en régime sinusoïdal
L’
U
L
C
R
Le circuit ci-contre est alimenté par une tension
sinusoïdal de valeur efficace U=240V et de
fréquence f = 50Hz. La valeur de l’inductance est
L = 1H. On sait que :
 Pour R=R0=12Ω, la puissance P est maximale et
vaut PM ;
 Pour une autre valeur de la résistance R1 < R0,
cos ( ϕ )=1 et P1=1000W
Calculer L’, PM, R1 et C.
Exercice 10 Amélioration du facteur de puissance
Un moteur fonctionne sous une tension efficace U=200V de fréquence f =50Hz. Il est modélisé
par une résistance R en série avec une inductance propre L. La puissance consommée est P =
1000 W, alors que l’intensité efficace I= 10A.
1. Déterminer L et R. Que vaut le cos( ϕ ) ?
2. Quelle est la capacité C du condensateur à placer en parallèle à ses bornes pour que le
facteur de puissance soit égal à 1.
3. On utilise un condensateur de capacité C’ < C. le facteur de puissance vaut 0.95. Déterminer C’.
Exercice 11: Adaptateur d’impédances
1) Soit un dipôle d’impédance Zu branché aux bornes d’un générateur de f.e.m. eg et d’une
impédance Zg. Déterminer les conditions (sur les parties réelle et imaginaire de Zu) pour que
la puissance reçue par l’impédance Zu soit maximale. On dit qu’il y a adaptation d’impédance.
2) On dispose d'une source de tension sinusoïdale, de pulsation ω et de résistance interne R0 et
l'on désire transférer le maximum de puissance dans la charge de résistance R.
a) Lorsque R> R0 , on réalise le montage de la figure 3. Déterminer L et C en fonction de R,
R0 et ω.
b) Lorsque R< R0, on réalise le montage de la figure 4. Déterminer L et C en fonction de R, R0
et ω.
Eléments de réponse.:
Ex 1 :
Ex 2 :
Ex 3 :
Ex 4 :
Ex 5 :
Ex 6 :
Vm = 3, 5V
Ex.7 :
X =
U m = 5V
1
Vmax
1 + tan 2 (ϕ ) U mqx
ω = 100rads −1
ϕ = 2π
τ
T
= 0, 75rad = 42, 8°
R = 51, 2Ω ≈ 51Ω , Y = tan(ϕ ) X = 47, 7Ω ≈ 48Ω
Im(Z ) = Y ≥ 0 : on peut donc modéliser le dipôle par une résistance r = X en série avec une bobine
Y
d’inductance L telle que Lω = Y, soit L =
= 0, 48H
ω
Ex8 :
€
Ex.9 :
Ex.10 :
Ex.11 :Adaptation d’impédance : Zu=Ru+jXu, , Zg=Rg+jXg ; Ru=Rg ; Xu=-Xg