L3 Mathématiques Algèbre commutative Feuille 5

L3 Mathématiques
Algèbre commutative
Feuille 5
Exercice 1 (Caractéristique).
1. Soit A un anneau. Montrer qu’il existe un unique
morphisme d’anneaux f : Z → A et qu’il s’écrit f (k) = k1A . Son noyau est un
sous-anneau de Z, donc de la forme n0 Z avec n0 ∈ N. L’entier n0 est appelé la
caractéristique de A et noté Car(A). C’est le plus petit entier n ∈ N tel que na = 0
pour tout a ∈ A.
2. Montrer que le sous anneau premier de A est isomorphe à Z/Car(A)Z.
3. Montrer que si A est un sous anneau de B alors Car(A) = Car(B).
4. On suppose qu’il existe un morphisme d’anneaux f : A → B. Comparer la caractéristique de A et celle de B. En déduire que si Car(A) et Car(B) sont premiers
entre eux alors il n’existe pas de morphisme d’anneaux entre A et B.
5. Quelle est la caractéristique de Z/nZ? De Z? De Q? De R? De R[X]?
6. Quelle est la caractéristique de Z/4Z × Z/2Z? De Z/8Z × Z/6Z?
7. Quelle peut être la caractéristique d’une anneau intègre? D’un corps?
8. Montrer qu’il n’existe pas de morphisme entre deux corps n’ayant pas la même caractéristique.
Exercice 2. Soit A un anneau de caractéristique 0. Que peut-on dire du cardinal de A?
√
Exercice 3. Montrer que Z[i] et Z[i 2] sont euclidiens pour le stathme N (z) = |z|2 .
√
Exercice 4. Soit d ∈ N∗ , d ≥ 3 tel que d 6= N.
√
√
1. Montrer que 2 et i d sont irréductibles dans Z[i d].
√
√
√
2. On suppose d = 2k, k ≥ 2. Montrer que i d|2(k + i d). En déduire que Z[i d]
n’est pas euclidien.
√
3. On suppose d impair. En utilisant le fait que 2|d + 1, montrer que Z[i d] n’est pas
euclidien.
Exercice 5.
1. Si K est un corps, montrer qu’un polynôme P de degré 2 ou 3 dans
K[x] est irréductible si et seulement si il n’a pas de zéro dans K.
2. Trouver tous les polynômes irréductibles de degré 2 et 3 à coefficients dans Z/2Z.
3. En utilisant la partie précédente, montrer que les polynômes 5x3 + 8x2 + 3x + 15 et
x5 + 2x3 + 3x2 − 6x − 5 sont irréductibles dans Z[x].
4. Décrire tous les polynômes irréductibles de degré 4 et 5 sur Z/2Z.
Exercice 6.
1. Trouver tous les polynômes irréductibles de degré 2, 3 à coefficients
dans le corps F3 = Z/3Z.
2. Décomposer les polynômes suivants en facteurs irréductibles dans F3 [x].
x2 + x + 1 ,
x3 + x + 2 ,
x4 + x3 + x + 1 .
Exercice 7. Trouver pgcd(X n − 1, X m − 1) dans Z[X].
2
Solutions.
Exercice 1.
1. Ker f est un sous-anneau de Z, donc de la forme nZ. Si n 6= 0, n est le plus petit
entier positif tel que n1 = 0. f (na) = f (n1)f (a) = f (0)f (a) = 0.
2. A0 = {n1A ; n ∈ Z} = {n1A ; n ∈ {0, 1, ..., Car(A) − 1}}.
3. Evident.
4. Car(B) divise Car(A). En effet le morphisme vérifie f (n1A ) = n1B . Donc 0 =
f (Car(A)1A = Car(A)1B . D’où Car(B) ≤ Car(A) mais de plus tous les n tels que
n1B = 0 sont des multiples de Car(B), d’où le résultat.
5. n, 0, 0, 0, 0.
6. La caractéristique de Z/nZ × Z/pZ est le ppcm de n et p.
7. Si elle est non nulle, c’est un nombre premier, sinon on aurait des diviseurs de 0.
8. Soit K1 et K2 deux corps de caractéristiques différentes k1 et k2 et soit φ : K1 7→ K2
un morphisme d’anneaux.
Cas 1. k1 = 0 et k2 ∈ N∗ . Alors k2 1K1 est inversible mais son image par φ est
nulle. C’est impossible.
Cas 2. k1 ∈ N∗ et k2 = 0. Alors 0 = φ(0) = φ(k1 1K1 ) = k1 1K2 6= 0. C’est
impossible.
Cas 3. 0 < k1 < k2 se traite comme le cas 2.
Cas 4. 0 < k2 < k1 se traite comme le cas 1.
Exercice 2. Infini car il contient le sous-goupe Z1A qui est isomorphe à Z.
Exercice 3. L’anneau
√ Z[i] est√un réseau dans C. La distance aux coins du centre de
chaque cellule est 1/ 2. Or 1/ 2 < 1. Soit z1 , z2 ∈ Z[i], avec z2 6= 0. Le quotient z1 /z2
est un nombre complexe qui va appartenir à une cellule. Donc sa distance à au moins un
des coins sera strictement inférieure à 1. Soit w un tel coin, w ∈ Z[i] et on a
z1
= w + r , |r| < 1 ,
z2
i.e.
z1 = wz2 + rz2 , N (rz2 ) = |r|2 N (z2 ) < N (z2 ) .
3
√
√
Concernant Z[i 2], la distance des centres aux coins des cellules est √
3/2 > 1. Le
raisonnement précédent marche donc encore. On voit par contre que dès Z[i 3]√le raisonnement ne fonctionne plus car dans
√ ce cas la demi-diagonale d’une cellule est 4/2 = 1.
Nous allons étudier tous les Z[i d] où d ≥ 3 n’est pas un carré, dans l’exercice 4.
Exercice 4. Si n est impair, on a
√
√
2|n + 1 = (1 + i n)(1 − i n) ,
√
ce qui montre que Z[i n] n’est pas factoriel et donc pas euclidien.
Exercice 5.
1. Soit P un polynôme de degré d = 2 ou 3 de K[X].
Si P a une racine a ∈ K, alors (X − a)|P , et P n’est pas irréductible.
Réciproquement, si P n’est pas irréductible, i.e. P = AB avec A, B ∈ K[X] et
A, B ∈
/ K[X]∗ = K \{0}, alors deg(A) ≥ 1, deg(B) ≥ 1, et deg(A)+deg(B) = d = 2
ou 3, donc l’un au moins des deux polynômes A et B est de degré 1. On peut
supposer que c’est A. Notons A = aX + b. Alors (X + a−1 b)|P , et −a−1 b est racine
de P .
Finalement P a une racine ssi P n’est pas irréductible.
2. Irréductibles de degré 2 de Z/2Z: Soit P = aX 2 + bX + c un polynôme de degré 2.
a 6= 0 donc a = 1.
P irréductible ⇔ P n’a pas de racine
(
P (0) 6= 0
⇔
P (1) 6= 0
(
P (0) = 1
⇔
P (1) = 1
(
c
=1
⇔
1+b+1 =1
⇔ P = X2 + X + 1
Ainsi, il y a un seul irréductible de degré 2, c’est I2 = X 2 + X + 1.
Irréductibles de degré 3 de Z/2Z: Soit P = aX 3 + bX 2 + cX + d un polynôme de
4
degré 2. a 6= 0 donc a = 1.
P irréductible ⇔ P n’a pas de racine
(
d
=1
⇔
1+b+c+1 =1
(
d
=1
⇔
(b, c) = (1, 0) ou (b, c) = (0, 1)
⇔ P = X 3 + X + 1 ou P = X 3 + X 2 + 1
Ainsi, il y a deux irréductibles de degré 3 dans Z/3Z[X]: I3 = X 3 + X + 1 et
I30 = X 3 + X 2 + 1.
3. Soit P = 5X 3 + 8X 2 + 3X + 15 ∈ Z[X]. Soient A et B deux polynômes tels
que P = AB. P
L’application Z →
n 7→ n̄ induit une application Z[X] →
PZ/2Z,
i
i
Z/2Z[X], P =
ai X 7→ P̄ =
āi X . Cette application est compatible avec
les opérations: en particulier AB = Ā B̄ (pourquoi?). Ainsi on a: P̄ = ĀB̄. Or
P̄ = X 3 + X + 1 est irréductible, donc (quitte à échanger les rôles de A et B on
peut supposer que) Ā = 1 et B̄ = X 3 + X + 1. On en déduit que B est au moins de
degré 3, d’où deg(A) = 0. A ∈ Z et A|P , donc A|5, A|8, A|3, et A|15. On en déduit
que A = ±1. Finalement, A = ±1 et B ∼ P . P est donc irréductible dans Z[X].
Soit P = X 5 + 2X 3 + 3X 2 − 6x − 5 ∈ Z[X]. Soient A et B deux polynômes tels que
P = AB. On a comme précédemment: P̄ = ĀB̄ où P̄ = X 5 + X 2 + 1. P̄ n’a pas de
racine dans Z/2Z, donc si P̄ est réductible, il doit être le produit d’un irréductible
de degré 2 et d’un irréductible de degré 3. Or P̄ 6= I2 I3 et P̄ 6= I2 I30 (faire le calcul!),
donc P̄ est irréductible. Le même raisonnement montre alors que P est irréductible
dans Z[X].
4. Un polynôme de degré 4 est réductible
P4 ssi il ia une racine ou est le produit de deux
irréductibles de degré 2. Soit P = i=0 ai X ∈ Z/2Z[X], avec a4 = 1.


P (0) 6= 0
P irréductible ⇔ P (1) 6= 0


P 6= I22


a0 = 1
⇔ 1 + a3 + a2 + a1 + 1 = 1


P 6= I22
⇔ P ∈ {X 4 + X 3 + 1, X 4 + X + 1, X 4 + X 3 + X 2 + X + 1}
Un polynôme de degré 5 est irréductible ssi il n’a pas de racine et n’est pas le produit
d’un irréductible de degré 2 et d’un irréductible de degré 3. Tous calculs fait, on
5
obtient la liste suivante: {X 5 + X 2 + 1, X 5 + X 3 + 1, X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + 1, X 5 +
X 4 + X 3 + X + 1, X 5 + X 4 + X 2 + X + 1, X 5 + X 3 + X 2 + X + 1, }.
Exercice 6.
1. On raisonne exactement comme pour l’exercice 5. On peut réduire un peu les discussions en remarquant que puisqu’on est sur un corps, on peut se contenter de
chercher les irréductibles unitaires: on obtient les autres en multipliant les irréductibles unitaires par les inversibles, soit ±1.
Les irréductibles de degré 2 sont caractérisés par P (0) 6= 0, P (1) 6= 0 et P (−1) 6= 0.
On obtient finalement la liste suivante: {X 2 +1, X 2 −X −1, −X 2 −1, −X 2 +X +1}.
Sans commentaire, on obtient la liste suivante pour les irréductibles de degré 3 de
Z/3Z[X]: {±(X 3 + X 2 − X + 1), ±(X 3 − X 2 + X + 1), ±(X 3 − X 2 + 1), ±(X 3 − X +
1), ±(X 3 + X 2 + X − 1), ±(X 3 − X 2 − X − 1) ± (X 3 + X 2 − 1), ±(X 3 − X − 1), }.
2. X 2 + X + 1 = (X − 1)2
X 3 + X + 2 = (X + 1)(X 2 − X + 2)
X 4 + X 3 + X + 1 = (X + 1)(X 3 + 1) = (X + 1)4
0
Exercice 7. Soit d = pgcd(m, n). Notons n = dn0 et m = dm0 . Alors X n −1 = (X d )n −1.
0
Or (Y − 1)|Y n − 1 donc (X d − 1)|(X n − 1). De même, (X d − 1)|(X m − 1), et donc
(X d − 1)|pgcd(X n − 1, X m − 1).
Par ailleurs, soit D = pgcd(X n − 1, X m − 1). Les racines de D dans C sont des racines
à la fois n-iéme et m-ième de 1, qui sont touts simples : elles sont donc de la forme
k0
. Ainsi km0 = k 0 n0 . On a pgcd(m0 , n0 ) = 1, donc par le théorème
ω = ei2πα où α = nk = m
00
k0
de Gauss, on en déduit que k 0 est un multiple de m0 , soit m
= kd , et ω est donc une racine
d-ième de 1. On en déduit que D|X d − 1, et finalement :
pgcd(X n − 1, X m − 1) = X pgcd(m,n) − 1.
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