L3 Mathématiques Algèbre commutative Feuille 5

L3 Mathématiques
Algèbre commutative
Feuille 5
Exercice 1 (Caractéristique).1. Soit Aun anneau. Montrer qu’il existe un unique
morphisme d’anneaux f:Z→Aet qu’il s’écrit f(k) = k1A. Son noyau est un
sous-anneau de Z, donc de la forme n0Zavec n0∈N. L’entier n0est appelé la
caractéristique de Aet noté Car(A). C’est le plus petit entier n∈Ntel que na = 0
pour tout a∈A.
2. Montrer que le sous anneau premier de Aest isomorphe à Z/Car(A)Z.
3. Montrer que si Aest un sous anneau de Balors Car(A) = Car(B).
4. On suppose qu’il existe un morphisme d’anneaux f:A→B. Comparer la carac-
téristique de Aet celle de B. En déduire que si Car(A)et Car(B)sont premiers
entre eux alors il n’existe pas de morphisme d’anneaux entre Aet B.
5. Quelle est la caractéristique de Z/nZ? De Z? De Q? De R? De R[X]?
6. Quelle est la caractéristique de Z/4Z×Z/2Z? De Z/8Z×Z/6Z?
7. Quelle peut être la caractéristique d’une anneau intègre? D’un corps?
8. Montrer qu’il n’existe pas de morphisme entre deux corps n’ayant pas la même car-
actéristique.
Exercice 2. Soit Aun anneau de caractéristique 0. Que peut-on dire du cardinal de A?
Exercice 3. Montrer que Z[i]et Z[i√2] sont euclidiens pour le stathme N(z) = |z|2.
Exercice 4. Soit d∈N∗,d≥3tel que √d6=N.
1. Montrer que 2et i√dsont irréductibles dans Z[i√d].
2. On suppose d= 2k,k≥2. Montrer que i√d|2(k+i√d). En déduire que Z[i√d]
n’est pas euclidien.
3. On suppose dimpair. En utilisant le fait que 2|d+ 1, montrer que Z[i√d]n’est pas
euclidien.

Exercice 5. 1. Si Kest un corps, montrer qu’un polynôme Pde degré 2 ou 3 dans
K[x]est irréductible si et seulement si il n’a pas de zéro dans K.
2. Trouver tous les polynômes irréductibles de degré 2et 3à coefficients dans Z/2Z.
3. En utilisant la partie précédente, montrer que les polynômes 5x3+ 8x2+ 3x+ 15 et
x5+ 2x3+ 3x2−6x−5sont irréductibles dans Z[x].
4. Décrire tous les polynômes irréductibles de degré 4et 5sur Z/2Z.
Exercice 6. 1. Trouver tous les polynômes irréductibles de degré 2,3à coefficients
dans le corps F3=Z/3Z.
2. Décomposer les polynômes suivants en facteurs irréductibles dans F3[x].
x2+x+ 1 , x3+x+ 2 , x4+x3+x+ 1 .
Exercice 7. Trouver pgcd(Xn−1, Xm−1) dans Z[X].
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Solutions.
Exercice 1.
1. Ker fest un sous-anneau de Z, donc de la forme nZ. Si n6= 0,nest le plus petit
entier positif tel que n1=0.f(na) = f(n1)f(a) = f(0)f(a) = 0.
2. A0={n1A;n∈Z}={n1A;n∈ {0,1, ..., Car(A)−1}}.
3. Evident.
4. Car(B)divise Car(A). En effet le morphisme vérifie f(n1A) = n1B. Donc 0 =
f(Car(A)1A=Car(A)1B. D’où Car(B)≤Car(A)mais de plus tous les ntels que
n1B= 0 sont des multiples de Car(B), d’où le résultat.
5. n,0,0,0,0.
6. La caractéristique de Z/nZ×Z/pZest le ppcm de net p.
7. Si elle est non nulle, c’est un nombre premier, sinon on aurait des diviseurs de 0.
8. Soit K1et K2deux corps de caractéristiques différentes k1et k2et soit φ:K17→ K2
un morphisme d’anneaux.
Cas 1. k1= 0 et k2∈N∗. Alors k21K1est inversible mais son image par φest
nulle. C’est impossible.
Cas 2. k1∈N∗et k2= 0. Alors 0 = φ(0) = φ(k11K1) = k11K26= 0. C’est
impossible.
Cas 3. 0< k1< k2se traite comme le cas 2.
Cas 4. 0< k2< k1se traite comme le cas 1.
Exercice 2. Infini car il contient le sous-goupe Z1Aqui est isomorphe à Z.
Exercice 3. L’anneau Z[i]est un réseau dans C. La distance aux coins du centre de
chaque cellule est 1/√2. Or 1/√2<1. Soit z1, z2∈Z[i], avec z26= 0. Le quotient z1/z2
est un nombre complexe qui va appartenir à une cellule. Donc sa distance à au moins un
des coins sera strictement inférieure à 1. Soit wun tel coin, w∈Z[i]et on a
z1
z2
=w+r , |r|<1,
i.e.
z1=wz2+rz2, N(rz2) = |r|2N(z2)< N(z2).
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Concernant Z[i√2], la distance des centres aux coins des cellules est √3/2>1. Le
raisonnement précédent marche donc encore. On voit par contre que dès Z[i√3] le raison-
nement ne fonctionne plus car dans ce cas la demi-diagonale d’une cellule est √4/2=1.
Nous allons étudier tous les Z[i√d]où d≥3n’est pas un carré, dans l’exercice 4.
Exercice 4. Si nest impair, on a
2|n+ 1 = (1 + i√n)(1 −i√n),
ce qui montre que Z[i√n]n’est pas factoriel et donc pas euclidien.
Exercice 5.
1. Soit Pun polynôme de degré d= 2 ou 3de K[X].
Si Pa une racine a∈K, alors (X−a)|P, et Pn’est pas irréductible.
Réciproquement, si Pn’est pas irréductible, i.e. P=AB avec A, B ∈K[X]et
A, B /∈K[X]∗=K\{0}, alors deg(A)≥1,deg(B)≥1, et deg(A)+deg(B) = d= 2
ou 3, donc l’un au moins des deux polynômes Aet Best de degré 1. On peut
supposer que c’est A. Notons A=aX +b. Alors (X+a−1b)|P, et −a−1best racine
de P.
Finalement Pa une racine ssi Pn’est pas irréductible.
2. Irréductibles de degré 2de Z/2Z: Soit P=aX2+bX +cun polynôme de degré 2.
a6= 0 donc a= 1.
Pirréductible ⇔Pn’a pas de racine
⇔(P(0) 6= 0
P(1) 6= 0
⇔(P(0) = 1
P(1) = 1
⇔(c= 1
1 + b+ 1 = 1
⇔P=X2+X+ 1
Ainsi, il y a un seul irréductible de degré 2, c’est I2=X2+X+ 1.
Irréductibles de degré 3de Z/2Z: Soit P=aX3+bX2+cX +dun polynôme de
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degré 2.a6= 0 donc a= 1.
Pirréductible ⇔Pn’a pas de racine
⇔(d= 1
1 + b+c+ 1 = 1
⇔(d= 1
(b, c) = (1,0) ou (b, c) = (0,1)
⇔P=X3+X+ 1 ou P=X3+X2+ 1
Ainsi, il y a deux irréductibles de degré 3dans Z/3Z[X]:I3=X3+X+ 1 et
I0
3=X3+X2+ 1.
3. Soit P= 5X3+ 8X2+ 3X+ 15 ∈Z[X]. Soient Aet Bdeux polynômes tels
que P=AB. L’application Z→Z/2Z, n 7→ ¯ninduit une application Z[X]→
Z/2Z[X], P =PaiXi7→ ¯ P=P¯aiXi. Cette application est compatible avec
les opérations: en particulier AB =¯ A¯ B(pourquoi?). Ainsi on a: ¯ P=¯ A¯ B. Or
¯
P=X3+X+ 1 est irréductible, donc (quitte à échanger les rôles de Aet Bon
peut supposer que) ¯ A= 1 et ¯ B=X3+X+ 1. On en déduit que Best au moins de
degré 3, d’où deg(A) = 0.A∈Zet A|P, donc A|5,A|8,A|3, et A|15. On en déduit
que A=±1. Finalement, A=±1et B∼P.Pest donc irréductible dans Z[X].
Soit P=X5+ 2X3+ 3X2−6x−5∈Z[X]. Soient Aet Bdeux polynômes tels que
P=AB. On a comme précédemment: ¯ P=¯ A¯ Boù ¯ P=X5+X2+ 1.¯ Pn’a pas de
racine dans Z/2Z, donc si ¯ Pest réductible, il doit être le produit d’un irréductible
de degré 2et d’un irréductible de degré 3. Or ¯ P6=I2I3et ¯ P6=I2I0
3(faire le calcul!),
donc ¯ Pest irréductible. Le même raisonnement montre alors que Pest irréductible
dans Z[X].
4. Un polynôme de degré 4est réductible ssi il a une racine ou est le produit de deux
irréductibles de degré 2. Soit P=P4
i=0 aiXi∈Z/2Z[X], avec a4= 1.
Pirréductible ⇔
P(0) 6= 0
P(1) 6= 0
P6=I2
2
⇔
a0= 1
1 + a3+a2+a1+ 1 = 1
P6=I2
2
⇔P∈ {X4+X3+ 1, X4+X+ 1, X4+X3+X2+X+ 1}
Un polynôme de degré 5est irréductible ssi il n’a pas de racine et n’est pas le produit
d’un irréductible de degré 2et d’un irréductible de degré 3. Tous calculs fait, on
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