Td2 - LMPT

Université Francois Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Feuille de Travaux Dirigés n◦2
M1, Algèbre Semestre 2
Exercice 1 L’objectif de cette question est de montrer que Z[ξ] := {a+bξ |(a, b)∈Z2}où ξ=1 + i√19
2
est un anneau principal qui n’est pas euclidien. On aura besoin de la notion suivante. Une norme de
Dedekind-Hasse sur un anneau intègre Aest une application N:A−→ Ntelle que
∗N(x)=0si et seulement si x= 0.
∗Si x, y ∈A\{0}alors y|xou il existe (s, t)∈Atel que
0< N(sx −ty)< N(y).
1) Soit Aun anneau euclidien qui n’est pas un corps. Montrer qu’il existe un élément y∈Atel que
(a) y6= 0 et y /∈A∗
(b) Pour tout a∈A, il existe q∈Aet r∈A∗∪ {0}tel que a=qy +r.
[On prendra un élément minimal de A\A∗∪ {0}.]
2) Montrer que si Aest intègre et si Apossède une norme de Dedekind-Hasse alors Aest principal.
3) On définit N:Q[ξ]−→ Npar N(a+bξ) = a2+ab + 5b2.
(a) Montrer que N(xy) = N(x)N(y)pour tout x, y ∈Q[ξ].
(b) Déterminer l’ensemble des inversibles de Z[ξ].
(c) Montrer que 2et 3sont irréductibles dans Z[ξ].
(d) En utilisant les éléments x= 2 et x=ξ, montrer qu’il ne peut pas y avoir d’élément dans Z[ξ]
satisfaisant les conditions 1)(a) et 1)(b).
(e) En déduire que Z[ξ]n’est pas euclidien.
4) Dans cette question, on montre que Nest un norme de Dedekind-Hasse sur Z[ξ]. Soit x, y ∈Z[ξ]
deux éléments non nuls tels que yne divise pas x. On doit trouver des éléments s, t ∈Z[ξ]tels que
0< N(sx −ty)< N(y)c’est-à-dire tels que
(?) 0 < N(s·(x
y)−t)<1.
On pose
x
y:= a+ib√19 c=a−b c+2b cξ∈Q[ξ]
où pgcd(a, b, c)=1et c > 1.
(a) On suppose que c= 2. Montrer que le couple (1,(a−1) + ib√19
2)convient.
(b) On suppose que c= 3. Montrer que a2+19b2= 3q+roù 1≤r≤2et que le couple (a−ib√19, q)
convient.
(c) On suppose que c= 4. Ainsi aet bne sont pas tous les deux pairs.
i. Si aet bsont impairs montrer qu’il existe q∈Ntel que a2+ 19b2= 8q+ 4 et que le couple
(a−ib√19
2, q)convient.
ii. Si aou best pair montrer que a2+19b2= 4q+ravec 0< r < 4et que le couple (a−ib√19, q)
convient.
(d) On supppose que c≥5. Puisque pgcd(a, b, c)=1, il existe n1, n2, n3∈Ztel que
n1a+n2b+n3c= 1.
Soit (q, r)∈Ztel que n2a−19n1b=cq +ravec |r| ≤ c/2. Montrer que le couple
(n2+in1√19, q −in3√19)
convient.
1

(e) Conclure.
Exercice 2 (Lemme de Gauss et critère d’Eisenstein.)
1) (a) Soient (P, Q)∈Z[X]2et pun nombre premier. On suppose que pdivise tous les coefficients du
produit P Q. Montrer que pdivise tous les coefficients de Pou tous les coefficients de Q.
(b) (Lemme de Gauss) Si P∈Z[X], on note c(P)le pgcd des coeffcients de P. Montrer que
c(P Q) = c(P)c(Q)pour tout (P, Q)∈Z[X]2.
2) Montrer que si P∈Z[X]est irréductible dans Z[X]alors Pest irréductible dans Q[X].
3) (a) (critère d’Eisenstein) Soit P=anXn+. . . +a1X+a0∈Z[X]. On suppose qu’il existe un
nombre premier ptel que
(i)∀k∈ {0, . . . , n −1}, p |ak(ii)p-anet (iii)p2-a0.
Montrer que Pest irréductible dans Q[X].
(b) Application : Soit pun nombre premier et Φ(X) = Xp−1+. . . +X+ 1. Montrer que Φest
irréductible dans Q[X].[Aide : regarder XΦ(X+ 1).]
Exercice 3
1) Montrer que P=X2+X+ 1 ∈F2[X]est irréductible.
2) Construire un corps à 4 éléments. On calculera la table d’addition et de multiplication.
3) Montrer que P=X3+X+ 1 ∈F2[X]est irréductible.
4) Construire un corps à 8 éléments. On calculera la table d’addition et de multiplication.
Exercice 4 Compléter la table de mulitplication du corps F3[X]/(X2+ 1)
012X2X1+X1+2X2 + X2+2X
0000000000
1012X2X1+X1+2X2 + X2+2X
202
X0X
2X0 2X
1+X0 1+X
1+2X0 1+2X
2+X0 2+X
2+2X0 2+2X
Exercice 5
1. Montrer que Q=X3+ 2X2+ 1 est irréductible sur F3.
On identifie le corps fini à 27 éléments avec le quotient F3[X]/(Q). On note xla classe de X.
2. Vérifier, sans faire trop de calculs, que xengendre F∗
27.
3. Montrer que x, x3, x9sont les racines de Qdans F27.
4. Soit a∈F27. Résoudre l’équation w13 =a, en discutant, si besoin, selon les valeurs de a.
Exercice 6
1) Déterminer l’ensemble des polynômes irréductibles de degré plus petit que 5 dans F2[X].
2) Déterminer l’ensemble des polynômes irréductibles de degré plus petit que 3 dans F3[X].
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