LOGIQUE en T°S

Terminales S
Quelques éléments de Logique
A . Équivalence
Voici une proposition ( c’est à dire une affirmation ): « un triangle ABC est équilatéral » , on l’appelle p .
En voici une autre: « un triangle ABC a trois cotés égaux » , on l’appelle q .
Dire si les phrases suivantes sont vraies:
1. Si un triangle ABC est équilatéral alors il a trois cotés égaux .
2. Si un triangle ABC a trois cotés égaux alors il est équilatéral .
La phrase n° 1 se traduit mathématiquement par p ⇒ q , le signe ⇒ ( implique) remplace les mots « si …alors » .
Remarque importante: en mathématique , « alors » veut dire « alors forcément » .
Traduire de même la phrase n° 2 en langage mathématique :
Si les deux phrases sont vraies ( c’est à dire p ⇒ q et q ⇒ p ) , alors on dit que les propositions p et q sont
équivalentes et on le note: « p équivaut à q » en terminale ou p ⇔ q en Sup.....
q ⇒ p est la réciproque de p ⇒ q .
Dans cet exemple , les propositions sont-elles équivalentes ?
Exercice: dire si les propositions suivantes sont équivalentes , quand la réponse est NON, écrire l’implication qui est vraie .
Proposition p: le quadrilatère ABCD a deux angles droits
Proposition q: ABCD est un rectangle
Proposition a: ABCD est un rectangle
Proposition b: ABCD a 4 angles droits
Proposition c: ABCD est un carré
Proposition d: ABCD a 4 angles droits
Proposition x: une fonction f est définie
Proposition y: f est continue
Proposition m: f est dérivable
Proposition p: f est continue
Proposition p:
D f =ℝ *
Proposition q:
f (x) =
Proposition e:
z =1
1
x
Proposition g: z est sur le cercle de centre O et de rayon 1
Proposition h: AM = BM
Proposition i: M est le milieu de [AB]
Proposition r: f '(3) = 0
Proposition s: f a un maximum en x = 3
B . Montrer que c’est vrai , montrer que c’est faux
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Exemple 1 : f ( x) = x 2 + 2 x + 1 et g ( x ) = ( x − 1) 2
Ces deux expression sont-elles égales?
La question sous-entendue est « sont-elles égales pour tout x?»
Pour prouver qu’elles ne sont pas égales pour tout x , il suffit de trouver un x pour lequel ça na marche pas :
Pour x =
:
On a f ( x) =
Et g ( x) =
Donc ( on en déduit que):
Exemple 2: f ( x) = ( x − 1)( x + 3) et g ( x ) = x 2 + 2 x − 3
Ces deux expression sont-elles égales?
La question sous-entendue est «sont-elles égales pour tout x?»
Pour prouver qu’elles sont égales pour tout x , il faut ( il est nécessaire de ) développer f ( x ) et trouver comme résultat
l’expression
g ( x) :
Conclusion:
Pour prouver qu’une affirmation est fausse , il suffit de trouver un contre-exemple .
Pour prouver qu’une affirmation est vraie , il faut ( il est nécessaire de ) faire le calcul pour un x quelconque .
Exercice: Dire si ces phrases sont vraies ou fausses , justifier .On accepte les dessins en guise de démonstration .
1.
2.
3.
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10.
f (x) = x − 1 +
3
x2 − 4x + 6
peut s’écrire f ( x ) =
( x − 1)( x − 3)
x −3
Si (un ) est une suite bornée , alors elle est convergente .
Quand il pleut au lycée Artaud , tous les élèves sont trempés .
Si la fonction f est définie en 0 alors elle est dérivable en 0 .
Si la fonction f est dérivable en 0 alors elle est continue en 0 .
Si la fonction f est continue en 0 alors elle est dérivable en 0 .
Si la fonction f est définie en 0 alors elle est continue en 0 .
Si deux suites ont la même limite , alors elles sont adjacentes .
Le nombre 0.5 est un rationnel .
Le nombre 2 est un décimal .
Attention aux quantificateurs: il existe , tous , certains , quel que soit , il y a ….
Vrai ou faux: justifier
1. En terminale il y a des filles .
2. Tous les élèves de terminale sont des filles .
3. Certains élèves de terminale sont des garçons .
4. Il existe des fonctions non définies en 0 .
5. Les élèves de ma classe sont au lycée Artaud , quel que soit leur âge .
6. Pour tout x supérieur à 1 , on a x 2 supérieur à x .
7. Toute suite est majorée .
8. Il existe des suites majorées .
C . Schéma inclusif
Dessiner l’ensemble des filles , l’ensemble des élèves de terminale et l’ensemble des lycées .
Dire si ces phrases sont vraies ou fausses:
1. Toutes les filles sont en terminale .
2. Tous les élèves de terminale sont au lycée .
3. Il peut y avoir des garçons en terminale .
4. Il peut exister une fille qui n’est pas au lycée .
5. Certains élèves du lycée ne sont pas en terminale .
6. Les élèves du lycée sont soit en terminale , soit des filles .
Avec cette méthode , résoudre les énigmes suivantes:
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a) Tous les chats ont des griffes , Hamilcar a des griffes donc Hamilcar est un chat: c’est vrai?
b) Dans tout losange les diagonales sont perpendiculaires , ABCD a ses diagonales perpendiculaires donc c’est un losange:
c’est vrai?
c) Tout homme est solitaire , or Jean est un homme , donc il est solitaire .
d) Les élèves de T°S3 ont Mr AF en maths , Mélanie à Mr AF en math donc elle est en T°S3 .
e) Tout décimal est un rationnel .
f) Parmi les décimaux , il y a des entiers .
g) Tout polygone est un quadrilatère .
h) Il existe des rectangles qui sont des losanges .
i) Tous les parallélogrammes sont des polygones .
j) Tous les carrés sont des parallélogrammes .
k) Aucun losange n’est un rectangle .
l) Tous les polynômes de degré deux ont au moins une racine .
m) Si n est un nombre impair alors il est premier .
n) Tous les nombres premiers sont impairs.
o) Deux nombres égaux ont des carrés égaux , on a x 2 = y 2 donc x = y .
p) Les cétacés sont des mammifères marins , l’orque s’attaque aux baleines donc l’orque est un cétacé .
q) Le yaourt est un médicament dangereux , les médicaments dangereux sont en vente dans tous les supermarchés donc le
yaourt est en vente dans tous les supermarchés .
On considère un ensemble non vide de pions qui sont blancs ou noirs , ronds ou carrés , en plastique ou en pierre . On sait que
aucun pion blanc n’est en plastique et que tout pion en plastique est rond . Dire si les phrases suivantes sont vraies ou fausses:
• Il peut exister un pion noir en plastique et carré .
• Il peut exister un pion blanc et rond .
• Il peut exister un pion noir et en pierre .
• Il peut exister un pion blanc en plastique et rond .
• Il peut exister un pion noir et carré .
Soit B un ensemble de 100 boules qui sont soit rouge soit verte , soit pleine soit creuse . On considère les deux énoncés
suivants:
X: « toute boule rouge est creuse »
Y: « il existe une boule verte et creuse »
Répondre par vrai ou faux:
• Pour prouver que X est faux , il suffit de trouver une boule rouge pleine .
• Pour prouver que X est vrai , il suffit de vérifier que toutes les boules vertes sont pleines .
• Pour prouver que X est faux , il est nécessaire de trouver une boule rouge pleine .
• Si Y est vrai alors X est nécessairement faux .
• Si X est faux alors Y est nécessairement vrai .
Soit un ensemble de dix boules qui sont soit noire soit blanche , soit pleine soit creuse .
On considère X un ensemble de trois boules parmi ces dix , tel que:
a) il existe au moins une boule blanche et creuse
b) si X contient une boule pleine alors elle est noire .
•
•
•
•
•
il peut exister une boule noire creuse
toute boule creuse est blanche
aucune boule blanche n’est pleine
toute boule noire est pleine
toutes les boules peuvent être blanches .
Un peu plus difficile:
Dans un QCM , chaque question comporte cinq affirmations notées A , B , C , D , E .
Dans l’une des questions il est précisé qu’une seule affirmation est exacte .
Un candidat a remarqué avec raison que pour cette question:
a) si B est vraie alors E l’est aussi
b) si A est vraie alors au moins l’une des affirmations B ou D est vraie ( et peut-être les deux)
c) D est fausse si et seulement si E est vraie .
•
•
•
•
•
C est nécessairement vraie
C est nécessairement fausse
Il est possible que D soit vraie
E est nécessairement fausse
Ces seules données ne lui permettent pas de trouver les cinq bonnes réponses à cette question .
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D . Le raisonnement déductif valide
Un raisonnement peut être logiquement valide , même si la conclusion semble erronée .
Exemple d’énoncé :
Paris se trouve à Mayotte , Max habite à Paris: quelle est votre conclusion?
Compléter par une phrase:
a) ………
b) or , ce champignon est une amanite
c) donc il est mortel
a) parmi les champignons mortels se trouvent les amanites
b) or ………………
c) donc c’est une amanite
a) ………………..
b) or ce champignon n’est pas mortel
c) donc ce n’est pas une amanite
a) ………………
b) or Rémy a 17 ans et demi
c) donc Rémy a l’autorisation de conduire une voiture
E . La négation d’une phrase:
Exercice 1: intuitivement: indique dans chacune des phrases suivantes , la phrase qui correspond à sa négation .
Cet élève est calme et attentif .
A: Cet élève est agité et inattentif .
B: Cet élève est calme et inattentif .
C: Cet élève est agité ou attentif .
D: Cet élève est agité ou inattentif .
Il y aura du vent ou de la neige .
A: Il y aura du vent et pas de neige .
B: Il y aura de la neige et pas de vent .
C: Il n’y aura pas de vent et pas de neige .
D: Il n’y aura pas de vent ou pas de neige .
Dans ce village , tous les chats sont noirs .
A: Dans ce village , tous les chats sont blancs .
B: Dans ce village , aucun chat n’est noir .
C: Dans ce village , il y a au moins un chat qui n’est pas noir .
D: Dans ce village , il y a au moins un chat blanc .
Maintenant on rappelle les règles du langage , puis on corrige les erreurs éventuelles de l’exercice 1 :
• La négation de «A et B» est « non-A ou non-B »
• La négation de « A ou B » est « non-A et non-B »
• La négation de « Tous…A » n’est pas « Aucun…A » mais c’est « Il existe au moins un…A »
Exercice 2 : même consigne
Ce nombre est multiple de 3 et multiple de 7 .
A: Ce nombre n’est pas multiple de 3 et n’est pas multiple de 7 .
B: Ce nombre est multiple de 3 et n’est pas multiple de 7 .
C: Ce nombre n’est pas multiple de 3 et est multiple de 7 .
D: Ce nombre n’est pas multiple de 3 ou n’est pas multiple de 7 .
Le triangle ABC est rectangle ou isocèle .
A: Le triangle ABC est rectangle et pas isocèle .
B: Le triangle ABC est isocèle et pas rectangle .
C: Le triangle ABC n’est pas rectangle et pas isocèle .
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D: Le triangle ABC n’est pas rectangle ou pas isocèle .
Dans cette liste , tous les nombres sont décimaux .
A: Dans cette liste , tous les nombres sont entiers .
B: Dans cette liste , aucun nombre n’est décimal .
C: Dans cette liste , il y a au moins un nombre non décimal .
D: Dans cette liste , il y a au moins un nombre entier .
La fonction f est continue et strictement croissante .
A: La fonction f est continue mais pas strictement monotone car sur
B: La fonction f est discontinue ou décroissante .
C: La fonction f est discontinue et strictement décroissante .
D: La fonction f est discontinue ou non strictement croissante .
E: La fonction f est discontinue ou non croissante .
[0;1] elle est constante .
Exercice 3: Ecrire la négation de ces phrases et la commenter !
Tous les nombres que nous connaissons sont réels .
Soit l’événement « tirer au moins une boule blanche ».
La suite
(un ) est croissante et majorée .
La suite (un ) est bornée .
Soit une fonction f définie et continue sur ℝ.
Je demande un DUT ou un BTS .
arg( z) =
π
2
ou
−
π
2
Soit M un point distinct de A et B .
Toute suite croissante n’admet pas de majorant .
Soit on a son bac soit on ne l’a pas .
Le français c’est plus compliqué que les maths!
Exercice 4: dans chacune des paires de phrases suivantes , les deux phrases se différentient par la place de la négation , ontelles le même sens ? justifier .
a) cette pièce n’est pas toujours nettoyée .
b) cette pièce n’est toujours pas nettoyée .
a) est-il vrai que deux droites qui sont parallèles ne sont pas perpendiculaires?
b) est-il vrai que deux droites qui ne sont pas parallèles sont perpendiculaires?
a) je te demande de ne pas faire cela .
b) je ne te demande pas de faire cela .
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a) est-il vrai que les nombres qui sont entiers peuvent ne pas s’écrire avec une virgule?
b) est-il vrai que les nombres qui ne sont pas entiers peuvent s’écrire avec une virgule?
a) ce travail n’est vraiment pas réussi .
b) ce travail n’est pas vraiment réussi .
F . La contraposée
On sait que « si ABC est un triangle rectangle en A alors
AB 2 + AC 2 = BC 2 »
Si on sait que « AB 2 + AC 2 ≠ BC 2 » , que peut-on affirmer pour le triangle ABC ?
Si on sait que « p ⇒ q » alors la contraposée est « non- q ⇒ non-p »
Pour démontrer que « p ⇒ q » on peut démontrer sa contraposée , cela revient au même .
Exemple: « Si je suis brésilien alors je ne suis pas européen » , écrire la contraposée .
Exercices de spécialité :
1. Démontrer de deux façons différentes le théorème « un nombre premier est premier avec tout entier qu’il ne divise pas » .
2. Même consigne « un carré parfait impair est forcément le carré d’un entier naturel impair » .
3. Même consigne « si l’entier n > 2 est premier alors n+7 n’est pas premier »
4. Démonter de la façon la plus facile que « soient deux entiers a et b , si a ne divise pas le produit bx quelque soit l’entier x ,
alors a ne divise pas b » .
5. Est-il vrai que « si l’entier a divise un entier n et l’entier b divise aussi n , alors n est divisible par le produit ab » ?
pourquoi ?
6. Améliorons la proposition précédente pour qu’elle devienne vraie , et démontrons-le .
Autres exercices de spécialité:
1:
1.
2.
3.
2:
Démontrer que le nombre n4 + 6n2 +5 n’est pas premier sauf pour une valeur (que l’on déterminera)de l’entier n .
Montrer que tout nombre premier p autre que 2 et 3 est de la forme 6n+1 ou 6n+5 , avec n naturel .
En déduire que , si p est premier au moins égal à 5 , p2 – 1 est divisible par 24 .
 x ≡ 10(23)

 x ≡ 4(7)
1. Déterminer un couple d’entiers (α ; β ) solution de: 23α + 7 β = 1.
Il s’agit de résoudre le système (S)
2.
En déduire un couple d’entiers (u0 , v0) solution particulière de l’équation ci-dessous , puis résoudre complètement
cette équation:
23u – 7v = - 6
3.
Démontrer que x est solution de (S) si et seulement si il existe (u, v) un couple d’entiers vérifiant: 
4.
En déduire l’ensemble des solutions de (S) .
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 23u − 7v = −6
 x = 10 + 23u
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