Fiche Démonstration

Fiche Démonstration
Triangle Rectangle
4e
Démonstration de la propriété :
Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans un cercle
dont le diamètre est son hypoténuse.
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Soit un triangle ABC rectangle en B, et O le milieu de [AC].
Soit D le symétrique de B par rapport à O, alors O est le milieu
du segment [BD].
Les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu,
donc ABCD est un parallélogramme.
Puisque le parallélogramme ABCD possède un angle droit, alors
c’est un rectangle.
Or, dans un rectangle, les diagonales sont de même longueur, donc
OA=OB=OC.
Ce qui signifie que le triangle ABC est inscrit dans le cercle de
centre O, c’est-à-dire de diamètre [AC].
Démonstration de la propriété :
Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est l’un
de ses côtés, alors il est rectangle.
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Soit un cercle de centre O et de diamètre [BC], et un point A de
ce cercle tel que Æ;OAB =x° et Æ;OAC =y°.
Les segments [OB], [OC] et [OA] sont des rayons du cercle de
centre O, donc les triangles BAO et CAO sont isocèles en O.
Les angles adjacents à la base d’un triangle isocèle étant de
même mesure, on déduit que Æ;ABO =x° et Æ;ACO =y°.
D’autre part, la mesure de l’angle Æ;BAC vaut x+y°.
Dans le triangle ABC, on a, d’après la somme des angles d’un
triangle,
Æ;ABC + Æ;CAB + Æ;BCA = 180°.
Il vient donc que 2x+2y=180°
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En factorisant, on déduit que 2(x+y)=180° ;
Donc finalement Æ;BAC = x+y = 90° ;
Cela signifie que le triangle ABC est rectangle en A.