L`essentiel des probabilités

PRÉSENTATION
Le formidable développement des outils informatiques et de leur puissance de calcul permet de
traiter de très grands nombres de données, d’obtenir rapidement des résultats et des interprétations et il est peu de domaines aujourd’hui qui ne fassent appel aux statistiques comme sources
d’informations. Que l’on s’intéresse à la physique, fondamentale ou appliquée, que l’on travaille
dans la finance, le commerce, l’assurance, la biologie, dans le monde de la recherche comme dans
celui de l’entreprise, les données sont relevées, analysées, et exploitées.
La première tâche de la statistique consiste à décrire de façon précise et rigoureuse les ensembles
qu’elle étudie sous l’angle particulier qui l’intéresse mais la tâche ne s’arrête pas là. Au-delà des
observations qu’elle peut effectuer, la statistique cherche à construire des modèles, à élaborer
des hypothèses plus ou moins probables concernant certains événements échappant à son
observation directe ; soit parce que ces événements concernent des ensembles plus vastes que ceux
qui ont été observés, soit qu’il s’agisse d’événements à venir.
Cette deuxième phase de l’étude statistique, appelée statistique inductive ou statistique inférentielle
part des résultats obtenus sur les échantillons observés et, connaissant les différents modèles développés par la théorie des probabilités, permet d’élaborer des hypothèses valables avec de fortes
probabilités portant sur la population alors même que celle-ci n’aura pas été observée de façon
exhaustive.
Cet ouvrage reprend les bases de la théorie des probabilités et les lois de probabilités permettant la modélisation de situations concrètes. Les méthodes de la statistique inférentielle
sont étudiées dans un deuxième ouvrage avec, d’une part, la résolution de problèmes d’estimations
de paramètres et, d’autre part, avec des problèmes portant sur le contrôle des normes à partir de
l’observation d’échantillons ou enfin le contrôle de la validité des modèles formulés.
SOMMAIRE
Chapitre 1 - Éléments de probabilités
1-V
ocabulaire
2-A
lgèbre des événements
3-P
robabilités
9
9
10
12
■■ Axiomes de définition
■■ Règles de calcul
■■ Théorèmes des probabilités
a)Théorème des probabilités totales
b)Théorème des probabilités composées. Probabilités conditionnelles
12
13
13
13
16
4-O
utils d’aide à la résolution de problèmes avec conditionnement
22
■■ L’arbre de probabilité
■■ Le tableau de contingence
22
24
Chapitre 2 - Variables aléatoires et loi de probabilités
33
1-V
ariable aléatoire 2-P
rocessus aléatoire
3 - L oi de probabilité : fonction de distribution et fonction de répartition
33
34
34
■■ Le cas d’une variable discrète
a)Fonction de distribution
b)Fonction de répartition d’une variable discrète
■■ Le cas des variables aléatoires continues
a)Densité de probabilité, fonction de distribution
34
34
36
37
38
SOMMAIRE
b)La fonction de répartition
4 - Caractéristiques d’une variable aléatoire ■■ L’espérance mathématique E (X)
a)Dans le cas discret
b)Dans le cas continu
■■ Variance et écart-type
a)Dans le cas discret
b)Dans le cas continu
5 - Propriétés de l’espérance et de l’écart-type d’une variable aléatoire
■■ Changement de variable affine
■■ Somme et différence de variables aléatoires indépendantes
38
42
42
43
43
43
43
43
47
47
47
Chapitre 3 - Quelques lois de probabilités théoriques
discrètes57
1 - La loi uniforme
2 - L e processus de Bernoulli
■■ La loi de Bernoulli ou loi de l’alternative
a)Définition
b)Les caractéristiques de la variable de Bernoulli. ■■ La loi binomiale
a)Définition
b)Les caractéristiques d’une variable binomiale
c) Somme de variables aléatoires suivant une loi binomiale
■■ La loi géométrique
a)Définition b)Les caractéristiques d’une variable géométrique
3 - Le processus de Poisson
■■ La loi de Poisson
a)Définition b)Les caractéristiques d’une variable de Poisson
■■ Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson
57
58
58
59
59
59
59
60
60
63
63
63
64
65
65
66
69
1 - L a loi exponentielle
■■ Fonction de distribution et fonction de répartition
■■ Les caractéristiques d’une variable exponentielle ■■ La loi sans mémoire
2 - L a loi normale ou loi de Laplace Gauss
79
79
79
80
81
82
■■ La densité de probabilité
83
■■ Les caractéristiques d’une variable normale
83
■■ La courbe densité de la loi normale
83
■■ La variable normale centrée réduite
84
■■ Caractéristiques de la variable normale centrée réduite
84
■■ Fonction de répartition de la variable normale centrée réduite U85
■■ Calculs de probabilités
85
a)Calcul de la probabilité, connaissant la borne
86
On peut suivre les étapes suivantes :
86
b) Calcul de la borne, connaissant la probabilité
90
c) Calcul des bornes d’un intervalle centré autour de la moyenne,
connaissant sa probabilité
91
■■ Intervalles caractéristiques
92
■■ Fonction affine d’une variable normale
92
■■ Somme et différence de variables aléatoires normales indépendantes
92
■■ Approximation des lois de Poisson et binomiale par une loi normale
97
a)Approximation de la loi binomiale par une loi normale
97
b)Approximation d’une loi de Poisson par une loi normale
97
c) La correction de continuité
97
3 - L a loi du khi-deux
■■ Définition ■■ La courbe densité de la loi du khi-deux
■■ Les caractéristiques d’une variable du khi-deux
■■ Somme de deux variables du khi-deux indépendantes ■■ Approximation de la loi du khi deux par une loi normale 4 - L a loi de Student
99
99
100
100
101
101
102
SOMMAIRE
Chapitre 4 - Quelques lois de probabilités continues
SOMMAIRE
■■ Définition ■■ La courbe densité de la loi de Student
■■ Les caractéristiques d’une variable de Student
■■ Approximation d’une distribution de Student par une distribution normale
5 - La loi de Fisher Snedécor (loi F)
102
102
103
103
103
■■ Définition103
■■ Propriété104
■■ La courbe densité de la loi de Fisher
104
Annexes - Les tables de lois des probabilités
115