Chapitre 2 Introduction à l`algèbre linéaire

Chapitre 2
Introduction à l’algèbre linéaire
Dans tous les chapitres du cours d’algèbre, la lettre Kdésigne un corps commutatif.
2.1 Espaces Vectoriels
2.1.1 Définition et exemples
Définition 2.1.1
Soit (E,+)un groupe commutatif d’élément neutre 0. On dit que Eest muni d’une structure de
K-espace vectoriel si, et seulement si, il existe une application
K×E−→ E
(λ,x)7−→ λ·x
satisfaisant les propriétés suivantes :
1. ∀(x,y)∈E2∀λ∈Kλ·(x+y)=λ·x+λ·y
2. ∀(λ,µ)∈K2∀x∈E (λ+µ)·x=λ·x+µ·y
3. ∀(λ,µ)∈K2∀x∈Eλ·(µ·x)=(λµ)·x
4. ∀x∈E 1·x=x
Les éléments de Esont alors appelés vecteurs et ceux de Ksont appelés scalaires. L’opération +est
appelée addition et l’opération ·est appelée multiplication externe.
Beaucoup d’objets étudiés jusqu’à présent sont des espaces vectoriels. Voici des exemples :
Exemple 2.1.2
1. Rest un R-espace vectoriel.
2. Cest un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel.
3. Le plan vectoriel −→ Pest un espace vectoriel sur R.
4. L’espace vectoriel de dimension 3 −→ Eest un R-espace vectoriel.
5. Plus généralement, si n>1, l’ensemble Knest un K-espace vectoriel lorsqu’on a défini les opérations
suivantes :
∀(x1,..., xn)∈Kn∀(y1,..., yn)∈Kn(x1,..., xn)+(y1,..., yn)=(x1+y1,...,xn+yn)
et ∀(x1,..., xn)∈Kn∀λ∈Rλ·(x1,...,xn)=(λx1,...,λxn)
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6. Si A est un ensemble non vide et E est un K-espace vectoriel, l’ensemble F(A,E) est un K-espace
vectoriel lorsqu’on le munit des opérations
∀(f,g)∈F(A,E)2∀a∈A (f+g)(a)=f(a)+g(a)
et ∀f∈F(A,E) ∀λ∈K∀a∈A (λ·f)(a)=λ·(f(a))
En particulier, l’ensemble des fonctions de A dans Kest un espace vectoriel sur K.
2.1.2 Règles de calcul
Les propriétés définissant un espace vectoriel sont le minimum vital pour pouvoir travailler
avec ces objets. Comme (E,+) est un groupe commutatif, on sait déjà (voir le chapitre sur les struc-
tures) que 0Eest l’unique élement neutre pour l’addition et que tout élément de E admet un unique
opposé.
Nous allons donc, dans cette partie, élaborer sur la définition 1.1 pour obtenir les autres règles
de calcul élémentaires dans un espace vectoriel.
On commence par rappeler :
Proposition 2.1.3
Soit Eun K-espace vectoriel. L’ensemble
{e∈E| ∀x∈Ex+e=e+x=x}
est un singleton.
Preuve : Déjà fait dans le chapitre sur les structures algébriques. 
Proposition 2.1.4
Soit Eun K-espace vectoriel, soit x ∈E. L’ensemble
{y∈E|x+y=y+x=0E}
est un singleton. L’unique élément qu’il contient est noté −x.
Preuve : Même chose. 
Corollaire 2.1.5
Soit Eun espace vectoriel. Alors
∀x∈E 0K·x=0E
∀λ∈Kλ·0E=0E
et enfin ∀λ∈K∀x∈Eλ·x=0E⇐⇒ x=0Eou λ=0K
Preuve : Soit x∈E. D’après le point 2de la définition 1.1,
0K·x=(0K+0K)·x=0K·x+0K·x
On ajoute aux deux membres de cette égalité le vecteur −0K·xpour conclure :
0E=0K·x
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Pour le second point, on procède de manière similaire. Soit λ∈K. D’après le point 2de la
définition 1.1,
λ·0E=λ·(0E+0E)=λ·0E+λ·0E
On ajoute alors aux deux membres le vecteur −(λ·0E) pour obtenir
0E=λ·0E
Le dernier point est une équivalence, dont une direction vient d’être démontrée. On prouve
l’autre direction. Soient x∈E et λ∈Ktels que λ·x=0E. Soit λest nul, auquel cas on a fini ; soit λ
n’est pas nul, auquel cas on peut écrire, d’après les règles 3et 4de la définition 1.1,
x=1·x=(λ−1λ)·x=λ−1·(λ·x)=λ−1·0E=0E
Corollaire 2.1.6
Soit Eun K-espace vectoriel. Alors
∀x∈E (−1)·x= −x
Preuve : Soit xun élément quelconque de E. Pour établir que (−1)·xn’est autre que −x, il suffit de
montrer, d’après la proposition 1.4, que (−1)·x+x=0E. On utilise les règles 4et 2de la définition
1.1 ainsi que le corollaire 1.5 :
(−1)·x+x=(−1)·x+1·x=(−1+1)·x=0K·x=0E
Corollaire 2.1.7
Soit Eun espace vectoriel. On a
∀λ∈K∀x∈E−(λ·x)=(−λ)·x
Preuve : Soient x∈E et λ∈K. D’après le corollaire 1.5 et le point 3de la définition 1.1,
−(λ·x)=(−1)·(λ·x)=(−1×λ)·x=(−λ)·x
Corollaire 2.1.8
Soit Eun espace vectoriel. On a
∀λ∈K∀(x,y)∈E2λ·(x−y)=λ·x−λ·y
et ∀(λ,µ)∈K∀x∈E (λ−µ)·x=λ·x−µ·y
Preuve : C’est simple, d’après tout ce qui précède. En effet, si λest un scalaire et x,ysont deux
vecteurs,
λ·(x−y)=λ·x+λ·(−y)=λ·x+λ·(−1·y)=λ·x+(−λ·y)=λ·x−λ·y
De même, si λet µsont deux scalaires et xest un vecteur,
(λ−µ)·x=λ·x+(−µ·x)=λ·x−µ·x
Toutes ces propriétés montrent qu’au final, la multiplication externe et l’addition se mani-
pulent de la même manière que le produit ou l’addition usuels sur les réels, avec les mêmes règles
de distributivité, de signes, le fait qu’un produit est nul si et seulement si l’un des termes est nul,
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etc. Donc, comme tout marche comme d’habitude, on laisse tomber la notation λ·xet on écrira
simplement λx.
De même, on abandonne les 0Eet 0Kpour la notation uniforme 0, en sachant que le contexte
rendra clair à chaque fois de quel 0 il s’agit.
2.1.3 Sous-espaces vectoriels
L’un des buts de l’algèbre est d’étudier des ensembles, munis d’une structure (règles de cal-
cul), de la manière la plus générale possible. Pour certaines structures algébriques, il y a besoin de
livres entiers pour faire cela. Pour d’autres, comme les espaces vectoriels, deux années de cours
suffisent. Mais dans tous les cas, le plan d’étude est de décomposer notre gros ensemble en sous-
ensembles ayant la même structure algébrique, puis de les décomposer eux-mêmes, et encore et
encore, en espérant qu’à un moment on aura atteint un état « irréductible » de la structure étudiée,
suffisamment simple pour qu’il puisse être compris entièrement. C’est la raison pour laquelle on
introduit la notion de sous-espace :
Définition 2.1.9
Soit Eun K-espace vectoriel. Soit F⊂E. On dira que Fest un K-sous-espace vectoriel de Esi
et seulement si F, muni de la restriction à F×Fde l’addition, et de la restriction à K×Fde la
multiplication, est un K-espace vectoriel.
Montrer qu’une partie F d’un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel requiert a priori
la vérification des 4 propriétés de la définition 1.1. C’est douloureux et on donne un critère per-
mettant de vérifier sans trop de mal si F est ou pas un sous-espace vectoriel de E.
Théorème 2.1.10
Soit Eun K-espace vectoriel. Soit Fun sous-ensemble de E.Fest un sous-espace vectoriel de Esi et
seulement si Fn’est pas vide et
∀(x,y)∈F2∀λ∈Kλx−y∈F (1)
Preuve : Il est clair que si F est un sous-espace vectoriel de E, il n’est pas vide (il contient 0) et il
vérifie la propriété énoncée dans la proposition.
Réciproquement, soit F un sous-ensemble de E, non vide, tel que
∀(x,y)∈F2∀λ∈Kλx−y∈F
En particulier, ∀x,y∈Fx−y∈F
donc (F,+) est un sous-groupe de (E,+).
Puis on prend xquelconque dans F, y=0 et λquelconque dans Ket on applique la propriété
(1). On conclut que λx∈F. Donc la multiplication externe, restreinte à K×F prend bien ses valeurs
dans F.
Ces opérations vérifient clairement les propriétés 1,2,3et 4d’un espace vectoriel, dans la
mesure où F ⊂E. 
Exemple 2.1.11
À l’aide du théorème 1.10, il est quasiment immédiat que les ensembles suivant sont des espaces vectoriels :
1. iRest un R-espace vectoriel (sous-espace de C) ;
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2. l’ensemble des fonctions de Rdans lui-même, admettant une limite nulle en +∞ (sous-espace de
RR) ;
3. l’ensemble des fonctions continues sur R(sous-espace de RR) ;
4. l’ensemble des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à un entier ndonné (sous-espace
de RR).
5. et plein d’autres.
En revanche, l’ensemble ©x∈Rn|
n
P
i=1xi=1ªn’est pas un sous-espace vectoriel de Rn. De même que
l’ensemble des fonctions sur Rqui tendent vers 26,92 en +∞. Pour une raison très simple : aucun d’eux ne
contient 0.
On peut se demander quelles opérations laissent stables les sous-espaces vectoriels. Si l’union
de deux sous-espaces vectoriels n’est pas toujours un sous-espace vectoriel, on a en revanche :
Théorème 2.1.12
Soit Eun K-espace vectoriel. Soit Fune famille quelconque, non vide, de sous-espaces vectoriels de
E. L’ensemble G=T
F∈F
Fest un sous-espaces vectoriel de E.
Preuve : Il suffit d’appliquer le critère donné par le théorème 1.10. D’une part, G n’est pas vide
puisqu’il contient le vecteur nul. D’autre part, donnons-nous xet ydans G et λun scalaire.
Par définition de G,
∀F∈Fx∈F et y∈F
Si F est un élément quelconque de F, c’est un sous-espace vectoriel de E donc λx−ys’y trouve.
Ceci étant établi pour tout F ∈F, on a montré que
λx−y∈T
F∈F
F=G
C’est tout ce dont on a besoin pour conclure : G est un sous-espace de E. 
2.1.4 Sous-espace engendré par une partie de E
Théorème 2.1.13
Soit Eun K-espace vectoriel. Soit Aune partie de E. Il existe un unique sous-espace vectoriel de E
contenant A, qui soit contenu dans tous les sous-espaces vectoriels de Econtenant A. On l’appelle
sous-espace de Eengendré par Aet on le note VectA, qui se lit vectorialisé de A.
Preuve : On note Fl’ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de E qui contiennent A.
Évidemment, la famille Fn’est pas vide : elle contient E, qui est bien un sous-espace vectoriel
de E contenant A. D’après le théorème 1.12, l’ensemble
G=T
F∈F
F
est un sous-espace vectoriel de E.
Évidemment, G contient A : tout élément de Fcontient A, donc leur intersection doit aussi
contenir A.
Enfin, par définition de G, il est contenu dans n’importe quel élément de F; c’est-à-dire que
tout sous-espace contenant A contient G. C’est ce qu’on voulait. 
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