Exercices chapitre 20 Espaces vectoriels

PCSI 1, 2016/2017
Mathématiques
Lycée Berthollet
Exercices chapitre 20
Espaces vectoriels
Exercice 1. Ça joue ou ça joue pas ?
On considère l’ensemble R2 , muni des lois suivantes. Dire dans chacun des cas si cela forme un espace
vectoriel :
1. (x, y) + (x0 , y0 ) = (y + y0 , x + x0 ) et λ.(x, y) = (λ x, λ y),
2. (x, y) + (x0 , y0 ) = (x + x0 , y + y0 ) et λ.(x, y) = (λ y, λ x),
3. (x, y) + (x0 , y0 ) = (x + x0 , y + y0 ) et λ.(x, y) = (λ x, y),
4. (x, y) + (x0 , y0 ) = (x + x0 , y + y0 ) et λ.(x, y) = (λ x, 0),
5. (x, y) + (x0 , y0 ) = (xx0 , yy0 ) et λ.(x, y) = (λ x, λ y),
6. (x, y) + (x0 , y0 ) = (0, 0) et λ.(x, y) = (λ x, λ y).
Exercice 2. Quelques ensembles de fonctions.
Les ensembles suivants (munis de leurs lois usuelles) sont-ils des espaces vectoriels ?
1. L’ensemble des fonctions réelles dérivables en 0 ;
2. L’ensemble des fonctions monotones sur R ;
3. L’ensemble des fonctions réelles prenant la valeur 1 en 0 ;
4. L’ensemble des fonctions réelles à support borné (nulles en dehors d’un segment).
Exercice 3. Quelques sous-ensembles de R2 .
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R2 ?
©
ª
1. (x, y) ∈ R2 | x É y ;
©
ª
2. (x, y) ∈ R2 | x y = 0 ;
©
ª
3. (x, y) ∈ R2 | x = y ;
©
ª
4. (x, y) ∈ R2 | x + y = 1 .
Exercice 4. Quelques ensembles de suites.
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de RN ?
©
ª
1. (u n ) ∈ RN | (u n ) bornée ;
©
ª
2. (u n ) ∈ RN | (u n ) monotone ;
©
ª
3. (u n ) ∈ RN | (u n ) convergente ;
ª
©
4. (u n ) ∈ RN | (u n ) arithmétique .
Exercice 5. Encore deux sous-espaces de fonctions.
Montrer que les parties de F ([a, b] , R) suivantes sont des espaces vectoriels :
©
ª
1. F = f ∈ C 1 ([a, b] , R) | f 0 (a) = f 0 (b) ;
1
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½
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0
2. G = f ∈ C ([a, b] , R) |
Z
b
a
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¾
f (t)dt = 0 .
Exercice 6. On est dans R ou dans C ?
Soit ω ∈ C. On note ω.R = {ω x | x ∈ R}.
1. Montrer que ω.R est un sous-espace vectoriel de C vu comme R-espace vectoriel.
2. À quelle condition ω.R est-il un sous-espace vectoriel de C vu comme C-espace vectoriel ?
Exercice 7. Un résultat à retenir.
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E.
Montrer que F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E si, et seulement si, F ⊂ G ou G ⊂ F.
Exercice 8. On commencera par bien réfléchir.
Soient A et B deux sous-ensembles quelconques d’un espace vectoriel E.
Comparer Vect(A ∩ B) et Vect(A) ∩ Vect(B).
Exercice 9. Une analyse-synthèse.
©
ª
©
ª
Soient F = f ∈ C 1 (R, R) | f (0) = f 0 (0) = 0 et G = x 7→ ax + b | (a, b) ∈ R2 .
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de C 1 (R, R).
Exercice 10. Les amours de l’hyperplan et de la droite.
Soient H = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Kn | x1 + x2 + · · · + xn = 0} et ~
u = (1, . . . , 1) ∈ Kn .
Montrer que H et Vect(~
u) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de K n .
Exercice 11. Mais où est-il, ce supplémentaire ?
Soit F = { f ∈ F (R, R)/ f (0) + f (1) = 0}.
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de F (R, R).
2. Déterminer un supplémentaire de F dans F (R, R).
Exercice 12. Mais qui est-il, ce supplémentaire ?
Soit n ∈ N et A ∈ Kn [X ] un polynôme non nul.
Montrer que F = {P ∈ Kn [X ] , A | P } est un sous-espace vectoriel de Kn [X ] et en déterminer un supplémentaire.
Exercice 13. Linéarité, quand tu nous tiens.
Les applications entre R-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires :
1. f : R3 → R définie par f (x, y, z) = x + y + 2z,
2. f : R2 → R définie par f (x, y) = x + y + 1,
3. f : R2 → R définie par f (x, y) = x y,
4. f : R3 → R définie par f (x, y, z) = x − z ?
2
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Exercice 14. Un automorphisme de R2 , que l’on connait bien.
Soit f : R2 → R2 définie par f (x, y) = (x + y, x − y).
Montrer que f est un automorphisme de R2 et déterminer son automorphisme réciproque.
Exercice 15. Changement de point de vue sur un problème connu.
Soit ϕ : C ∞ (R, R) → C ∞ (R, R) définie par ϕ( f ) = f 00 − 3 f 0 + 2 f .
Montrer que ϕ est un endomorphisme et préciser son noyau.
Exercice 16. Une projection.
Soient a un élément d’un ensemble X non vide et E un K-espace vectoriel.
1. Montrer que E a : F (X , E) → E définie par E a ( f ) = f (a) est une application linéaire.
2. Déterminer l’image et le noyau de l’application E a .
Exercice 17. Espaces vectoriels, polynômes et équations différentielles.
Soit ϕ : Kn+1 [X ] → Kn [X ] définie par ϕ(P) = (n + 1)P − X P 0 .
1. Justifier que ϕ est bien définie et que c’est une application linéaire.
2. Déterminer le noyau de ϕ.
Exercice 18. La division euclidienne comme projection.
Soit A un polynôme non nul de R [X ] et r : R [X ] → R [X ] l’application définie par :
∀P ∈ R [X ] , r(P) est le reste de la division euclidienne de P par A
1. Montrer que r est un endomorphisme de R [X ] tel que r 2 = r ◦ r = r.
2. Déterminer le noyau et l’image de cet endomorphisme.
Exercice 19. Ça y était presque.
Soit E le R-espace vectoriel des applications indéfiniment dérivables sur R.
Soient ϕ : E → E et ψ : E → E les applications définies par :
ϕ( f ) = f 0 et ψ( f ) est donnée par :
Z
∀ x ∈ R, ψ( f )(x) =
x
f (t)dt
0
1. Montrer que ϕ et ψ sont des endomorphismes de E.
2. Exprimer ϕ ◦ ψ et ψ ◦ ϕ.
3. Déterminer images et noyaux de ϕ et ψ.
Exercice 20. L’image d’une base.
Démontrer qu’il existe une unique application linéaire f de R3 dans R2 telle que :
f ((1, 0, 0)) = (0, 1) ,
f ((1, 1, 0)) = (1, 0)
3
et
f ((1, 1, 1)) = (1, 1) .
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Exercice 21. Un résultat avec du potentiel.
Soit E un espace vectoriel, et f et g deux éléments de L (E). Montrer que si f et g commutent, alors
Ker( f ) et Im( f ) sont stables par g.
Exercice 22. Reformulation.
Soient f et g deux endomorphismes d’un K-espace vectoriel E.
Montrer que g ◦ f = 0 si, et seulement si, Im f ⊂ Ker g.
Exercice 23. Une fois, ça suffit.
Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E. Montrer
1. Im f ∩ Ker f = {0} ⇔ Ker f = Ker f 2 .
2. E = Im f + Ker f ⇔ Im f = Im f 2 .
Exercice 24. N’aurait-on pas déjà fait cet exercice ?
Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L (E) tel que f 2 − 3 f + 2Id = 0.
1. Montrer que f est inversible et exprimer son inverse en fonction de f .
2. Établir que Ker ( f − Id) et Ker ( f − 2Id) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.
Exercice 25. Encore une projection.
Soit E l’ensemble des fonctions continues sur R et 1-périodiques. On considère ϕ : E → E définie par
Z 1
f (t)dt, pour f ∈ E.
ϕ( f ) = f −
0
Montrer que ϕ est une projection, dont on déterminera le noyau et l’image.
Exercice 26. Comme souvent, commençons par faire un dessin.
Soient E un K-espace vectoriel et p ∈ L (E).
1. Montrer que p est un projecteur si, et seulement si, Id − p l’est.
2. Exprimer alors Im(Id − p) et Ker (Id − p) en fonction de Imp et Ker p.
Exercice 27. Quand on mélange deux projecteurs.
Soient p, q ∈ L (E). Montrer l’équivalence entre les assertions :
(i) p ◦ q = p et q ◦ p = q ;
(ii) p et q sont des projecteurs de même noyau.
Exercice 28. Un petit tour dans C.
Soit E un C-espace vectoriel, et f ∈ L (E) tel que f 2 = −IdE . On pose F = { x ∈ E, f (x) = ix} et
G = { x ∈ E, f (x) = −ix}.
1. Montrer que F et G sont des sous espaces supplémentaires de E.
2. Exprimer f en fonction des projecteurs associés à F et G.
4