Exercices chapitre 20 Espaces vectoriels

PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet
Exercices chapitre 20
Espaces vectoriels
Exercice 1. Ça joue ou ça joue pas ?
On considère l’ensemble R2, muni des lois suivantes. Dire dans chacun des cas si cela forme un espace
vectoriel :
1. (x,y)+(x0,y0)=(y+y0,x+x0) et λ.(x,y)=(λx,λy),
2. (x,y)+(x0,y0)=(x+x0,y+y0) et λ.(x,y)=(λy,λx),
3. (x,y)+(x0,y0)=(x+x0,y+y0) et λ.(x,y)=(λx,y),
4. (x,y)+(x0,y0)=(x+x0,y+y0) et λ.(x,y)=(λx,0),
5. (x,y)+(x0,y0)=(xx0,y y0) et λ.(x,y)=(λx,λy),
6. (x,y)+(x0,y0)=(0,0) et λ.(x,y)=(λx,λy).
Exercice 2. Quelques ensembles de fonctions.
Les ensembles suivants (munis de leurs lois usuelles) sont-ils des espaces vectoriels ?
1. L’ensemble des fonctions réelles dérivables en 0 ;
2. L’ensemble des fonctions monotones sur R;
3. L’ensemble des fonctions réelles prenant la valeur 1 en 0 ;
4. L’ensemble des fonctions réelles à support borné (nulles en dehors d’un segment).
Exercice 3. Quelques sous-ensembles de R2.
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R2?
1. ©(x,y)∈R2|xÉyª;
2. ©(x,y)∈R2|xy =0ª;
3. ©(x,y)∈R2|x=yª;
4. ©(x,y)∈R2|x+y=1ª.
Exercice 4. Quelques ensembles de suites.
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de RN?
1. ©(un)∈RN|(un) bornéeª;
2. ©(un)∈RN|(un) monotoneª;
3. ©(un)∈RN|(un) convergenteª;
4. ©(un)∈RN|(un) arithmétiqueª.
Exercice 5. Encore deux sous-espaces de fonctions.
Montrer que les parties de F([a,b],R) suivantes sont des espaces vectoriels :
1. F=©f∈C1([a,b],R)|f0(a)=f0(b)ª;
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2. G=½f∈C0([a,b],R)|Zb
a
f(t)dt=0¾.
Exercice 6. On est dans Rou dans C?
Soit ω∈C. On note ω.R={ωx|x∈R}.
1. Montrer que ω.Rest un sous-espace vectoriel de Cvu comme R-espace vectoriel.
2. À quelle condition ω.Rest-il un sous-espace vectoriel de Cvu comme C-espace vectoriel ?
Exercice 7. Un résultat à retenir.
Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E.
Montrer que F∪Gest un sous-espace vectoriel de Esi, et seulement si, F⊂Gou G⊂F.
Exercice 8. On commencera par bien réfléchir.
Soient Aet Bdeux sous-ensembles quelconques d’un espace vectoriel E.
Comparer Vect(A∩B) et Vect(A)∩Vect(B).
Exercice 9. Une analyse-synthèse.
Soient F=©f∈C1(R,R)|f(0) =f0(0) =0ªet G=©x7→ ax +b|(a,b)∈R2ª.
Montrer que Fet Gsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de C1(R,R).
Exercice 10. Les amours de l’hyperplan et de la droite.
Soient H={(x1,x2,...,xn)∈Kn|x1+x2+ · · · + xn=0}et ~ u=(1,...,1) ∈Kn.
Montrer que Het Vect(~ u) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de Kn.
Exercice 11. Mais où est-il, ce supplémentaire ?
Soit F={f∈F(R,R)/f(0)+f(1) =0}.
1. Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de F(R,R).
2. Déterminer un supplémentaire de Fdans F(R,R).
Exercice 12. Mais qui est-il, ce supplémentaire ?
Soit n∈Net A∈Kn[X]un polynôme non nul.
Montrer que F={P∈Kn[X],A|P}est un sous-espace vectoriel de Kn[X]et en déterminer un sup-
plémentaire.
Exercice 13. Linéarité, quand tu nous tiens.
Les applications entre R-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires :
1. f:R3→Rdéfinie par f(x,y,z)=x+y+2z,
2. f:R2→Rdéfinie par f(x,y)=x+y+1,
3. f:R2→Rdéfinie par f(x,y)=xy,
4. f:R3→Rdéfinie par f(x,y,z)=x−z?
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Exercice 14. Un automorphisme de R2, que l’on connait bien.
Soit f:R2→R2définie par f(x,y)=(x+y,x−y).
Montrer que fest un automorphisme de R2et déterminer son automorphisme réciproque.
Exercice 15. Changement de point de vue sur un problème connu.
Soit ϕ:C∞(R,R)→C∞(R,R) définie par ϕ(f)=f00 −3f0+2f.
Montrer que ϕest un endomorphisme et préciser son noyau.
Exercice 16. Une projection.
Soient aun élément d’un ensemble Xnon vide et Eun K-espace vectoriel.
1. Montrer que Ea:F(X,E)→Edéfinie par Ea(f)=f(a) est une application linéaire.
2. Déterminer l’image et le noyau de l’application Ea.
Exercice 17. Espaces vectoriels, polynômes et équations différentielles.
Soit ϕ:Kn+1[X]→Kn[X]définie par ϕ(P)=(n+1)P−X P0.
1. Justifier que ϕest bien définie et que c’est une application linéaire.
2. Déterminer le noyau de ϕ.
Exercice 18. La division euclidienne comme projection.
Soit Aun polynôme non nul de R[X]et r:R[X]→R[X]l’application définie par :
∀P∈R[X],r(P) est le reste de la division euclidienne de Ppar A
1. Montrer que rest un endomorphisme de R[X]tel que r2=r◦r=r.
2. Déterminer le noyau et l’image de cet endomorphisme.
Exercice 19. Ça y était presque.
Soit Ele R-espace vectoriel des applications indéfiniment dérivables sur R.
Soient ϕ:E→Eet ψ:E→Eles applications définies par :
ϕ(f)=f0et ψ(f) est donnée par :
∀x∈R,ψ(f)(x)=Zx
0f(t)dt
1. Montrer que ϕet ψsont des endomorphismes de E.
2. Exprimer ϕ◦ψet ψ◦ϕ.
3. Déterminer images et noyaux de ϕet ψ.
Exercice 20. L’image d’une base.
Démontrer qu’il existe une unique application linéaire fde R3dans R2telle que :
f((1,0,0)) =(0,1), f((1,1,0)) =(1,0) et f((1,1,1)) =(1,1).
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Exercice 21. Un résultat avec du potentiel.
Soit Eun espace vectoriel, et fet gdeux éléments de L(E). Montrer que si fet gcommutent, alors
Ker(f) et Im(f) sont stables par g.
Exercice 22. Reformulation.
Soient fet gdeux endomorphismes d’un K-espace vectoriel E.
Montrer que g◦f=0 si, et seulement si, Imf⊂Ker g.
Exercice 23. Une fois, ça suffit.
Soit fun endomorphisme d’un K-espace vectoriel E. Montrer
1. Imf∩Ker f={0}⇔Ker f=Ker f2.
2. E=Imf+Ker f⇔Imf=Imf2.
Exercice 24. N’aurait-on pas déjà fait cet exercice ?
Soient Eun K-espace vectoriel et f∈L(E) tel que f2−3f+2Id =0.
1. Montrer que fest inversible et exprimer son inverse en fonction de f.
2. Établir que Ker(f−Id) et Ker(f−2Id) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.
Exercice 25. Encore une projection.
Soit El’ensemble des fonctions continues sur Ret 1-périodiques. On considère ϕ:E→Edéfinie par
ϕ(f)=f−Z1
0f(t)dt, pour f∈E.
Montrer que ϕest une projection, dont on déterminera le noyau et l’image.
Exercice 26. Comme souvent, commençons par faire un dessin.
Soient Eun K-espace vectoriel et p∈L(E).
1. Montrer que pest un projecteur si, et seulement si, Id−pl’est.
2. Exprimer alors Im(Id−p) et Ker(Id−p) en fonction de Impet Ker p.
Exercice 27. Quand on mélange deux projecteurs.
Soient p,q∈L(E). Montrer l’équivalence entre les assertions :
(i) p◦q=pet q◦p=q;
(ii) pet qsont des projecteurs de même noyau.
Exercice 28. Un petit tour dans C.
Soit Eun C-espace vectoriel, et f∈L(E) tel que f2= −IdE. On pose F={x∈E,f(x)=ix}et
G={x∈E,f(x)= −ix}.
1. Montrer que Fet Gsont des sous espaces supplémentaires de E.
2. Exprimer fen fonction des projecteurs associés à Fet G.
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