2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie

2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie
Mathématiques Année 2015/2016
Sujet no1
Dans ce qui suit, on désignera par kun corps commutatif, Eun kespace vectoriel,
et Fun sous-espace vectoriel de E. On rappelle que :
E/F ={x|xœE},
où, pour xœE:
x={yœE|y≠xœF}.
Question de cours
Expliciter les uniques lois interne et externe sur E/F qui font de la surjection cano-
nique p:EæE/F, x ‘æ xune application linéaire.
Exercice
1) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i)E/F est de dimension finie.
(ii)Il existe Sun supplémentaire de Fdans Equi soit de dimension finie.
Sous ces hypothèses, montrer que l’on a de plus dim S=dimE/F .
2) On suppose Ede dimension finie. Montrer qu’alors, Fest de codimension finie
dans Esi et seulement si E/F est de dimension finie.
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Mathématiques Année 2015/2016
Sujet no2
Soient nœNú,etAœMn(R)vérifiant :
A3≠5
2A2+2A+I
n=0.(ı)
La matrice Aest-elle diagonalisable ?
Indication. Si Pest un polynôme annulateur de A, que peut-on dire des éventuelles
valeurs propres de A?
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Mathématiques Année 2015/2016
Sujet no3
On désigne par kun corps commutatif, et on fixe nœNú,MœMn(k).
1) a. Montrer que, pour toute matrice PœGLn(k),Met PMP≠1ont mêmes
déterminant, trace, et polynôme caractéristique.
b. Inversement, deux matrices ayant même déterminant, trace, ou polynôme
caractéristique sont-elles semblables ?
2) a. On suppose Mtrigonalisable. Montrer que la trace de Mcorrespond à la
somme de ses valeurs propres, et que le déterminant de Mcorrespond au
produit de ses valeurs propres.
b. On suppose k=C. Que peut-on dire de la somme des valeurs propres de M?
et de son déterminant ?
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Sujet no4
Dans tout ce qui suit, nous désignerons par kun corps commutatif et Eun k-espace
vectoriel de dimension finie n>0.
1) Soient u, v œEnd(E). On suppose que ⁄œkest une valeur propre de v, et on
note V⁄le sous-espace propre de vassocié à la valeur propre ⁄.
a. Montrer que V⁄est stable par v.
b. Montrer que si u¶v=v¶u, alors V⁄est également stable par u.
2) Soit U=(ui)iœIune famille d’endomorphismes diagonalisables de Evérifiant,
pour tous i, j œI,ui¶uj=uj¶ui. Montrer qu’il existe une base Bde Etelle
que, pour tout iœI, la matrice de uidans Bsoit diagonale.
Indication. On pourra commencer par traiter le cas où tous les endomorphismes
de Usont des homothéties, puis dans le cas contraire, raisonner par récurrence
sur la dimension de E.
3) Soient u, v œEnd(E)diagonalisables et vérifiant u¶v=v¶u. Montrer que les
endomorphismes u+vet u¶vsont diagonalisables.
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Sujet no5
On se donne Eun C-espace vectoriel de dimension n>2, et on désigne par T
l’ensemble des matrices de Mn(C)de trace nulle, et Sle sous-ensemble de Tconstitué
des matrices à coefficients diagonaux nuls.
1) Soit uœEnd(E).
a. Montrer que si ustabilise toute droite vectorielle de E,i.e. pour tout xœE,
u(x)œVect(x), alors uest une homothétie.
b. On suppose que un’est pas une homothétie. Montrer qu’alors, il existe aœE
tel que la famille (a, u(a)) soit libre, puis qu’il existe une base de Edans
laquelle la matrice de ua pour première colonne le vecteur t(0,1,0,...,0).
c. En déduire que tout élément de Test semblable à un élément de S.
2) Soient :
=
Q
c
c
c
c
a
10··· 0
02 ....
.
.
.
.
.......0
0··· 0n
R
d
d
d
d
b
,
et gl’endomorphisme de Mn(C)défini, pour XœMn(C), par g(X)=X≠X.
a. Déterminer l’image de g.
b.En déduire que si MœS,ilexisteD, N œMn(C)telles que Dsoit diagonale
et M=DN ≠ND.
c. Montrer que si MœT,ilexisteA, B œMn(C)telles que Asoit diagonalisable
et M=AB ≠BA.
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