2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie

2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 1
Dans ce qui suit, on désignera par k un corps commutatif, E un k espace vectoriel,
et F un sous-espace vectoriel de E. On rappelle que :
E/F = {x | x œ E},
où, pour x œ E :
x = {y œ E | y ≠ x œ F }.
Question de cours
Expliciter les uniques lois interne et externe sur E/F qui font de la surjection canonique p : E æ E/F, x ‘æ x une application linéaire.
Exercice
1) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) E/F est de dimension finie.
(ii) Il existe S un supplémentaire de F dans E qui soit de dimension finie.
Sous ces hypothèses, montrer que l’on a de plus dim S = dim E/F .
2) On suppose E de dimension finie. Montrer qu’alors, F est de codimension finie
dans E si et seulement si E/F est de dimension finie.
2
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 2
Soient n œ Nú , et A œ Mn (R) vérifiant :
5
A3 ≠ A2 + 2A + In = 0.
2
(ı)
La matrice A est-elle diagonalisable ?
Indication. Si P est un polynôme annulateur de A, que peut-on dire des éventuelles
valeurs propres de A ?
3
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 3
On désigne par k un corps commutatif, et on fixe n œ Nú , M œ Mn (k).
1) a. Montrer que, pour toute matrice P œ GLn (k), M et P M P ≠1 ont mêmes
déterminant, trace, et polynôme caractéristique.
b. Inversement, deux matrices ayant même déterminant, trace, ou polynôme
caractéristique sont-elles semblables ?
2) a. On suppose M trigonalisable. Montrer que la trace de M correspond à la
somme de ses valeurs propres, et que le déterminant de M correspond au
produit de ses valeurs propres.
b. On suppose k = C. Que peut-on dire de la somme des valeurs propres de M ?
et de son déterminant ?
4
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 4
Dans tout ce qui suit, nous désignerons par k un corps commutatif et E un k-espace
vectoriel de dimension finie n > 0.
1) Soient u, v œ End(E). On suppose que ⁄ œ k est une valeur propre de v, et on
note V⁄ le sous-espace propre de v associé à la valeur propre ⁄.
a. Montrer que V⁄ est stable par v.
b. Montrer que si u ¶ v = v ¶ u, alors V⁄ est également stable par u.
2) Soit U = (ui )iœI une famille d’endomorphismes diagonalisables de E vérifiant,
pour tous i, j œ I, ui ¶ uj = uj ¶ ui . Montrer qu’il existe une base B de E telle
que, pour tout i œ I, la matrice de ui dans B soit diagonale.
Indication. On pourra commencer par traiter le cas où tous les endomorphismes
de U sont des homothéties, puis dans le cas contraire, raisonner par récurrence
sur la dimension de E.
3) Soient u, v œ End(E) diagonalisables et vérifiant u ¶ v = v ¶ u. Montrer que les
endomorphismes u + v et u ¶ v sont diagonalisables.
5
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 5
On se donne E un C-espace vectoriel de dimension n > 2, et on désigne par T
l’ensemble des matrices de Mn (C) de trace nulle, et S le sous-ensemble de T constitué
des matrices à coefficients diagonaux nuls.
1) Soit u œ End(E).
a. Montrer que si u stabilise toute droite vectorielle de E, i.e. pour tout x œ E,
u(x) œ Vect(x), alors u est une homothétie.
b. On suppose que u n’est pas une homothétie. Montrer qu’alors, il existe a œ E
tel que la famille (a, u(a)) soit libre, puis qu’il existe une base de E dans
laquelle la matrice de u a pour première colonne le vecteur t (0, 1, 0, . . . , 0).
c. En déduire que tout élément de T est semblable à un élément de S.
2) Soient :
Q
c
c
= c
c
a
1
0
0
..
.
2
..
.
0
···
···
..
.
..
.
0
R
0
.. d
. d
d,
d
0 b
n
et g l’endomorphisme de Mn (C) défini, pour X œ Mn (C), par g(X) =
a. Déterminer l’image de g.
X ≠X .
b. En déduire que si M œ S, il existe D, N œ Mn (C) telles que D soit diagonale
et M = DN ≠ N D.
c. Montrer que si M œ T , il existe A, B œ Mn (C) telles que A soit diagonalisable
et M = AB ≠ BA.
6
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 6
Dans ce qui suit, on désignera par k un corps commutatif et E un k espace vectoriel.
Si F un sous-espace vectoriel de E, on pose :
où, pour x œ E :
E/F = {x | x œ E},
x = {y œ E | y ≠ x œ F }.
Question de cours
Soient x1 , x2 œ E, et F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que x1 = x2 si et
seulement s’il existe xF œ F tel que x2 = x1 + xF .
Exercice
On suppose E de dimension finie n > 0.
1) Soient u œ End(E), F un sous-espace vectoriel de E stable par u, et p : E æ E/F
la surjection canonique.
a. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme w œ End(E/F ) satisfaisant à
w ¶ p = p ¶ u. On dit que w est l’endomorphisme de E/F déduit de u par
passage au quotient.
b. Si w est l’endomorphisme de E/F déduit de u par passage au quotient, et si
v = u|F , montrer que ‰u = ‰v ‰w , ‰u (resp. ‰v , ‰w ) désignant le polynôme
caractéristique de u (resp. v, w).
c. En déduire que u est trigonalisable si et seulement si v et w le sont.
2) Soit U = (ui )iœI une famille d’endomorphismes vérifiant, pour tous i, j œ I,
ui ¶ uj = uj ¶ ui .
a. Soit i œ I, et supposons que ⁄ œ k est une valeur propre de ui . Montrer que,
pour tout j œ I, l’espace propre de ui associé à la valeur propre ⁄ est stable
par uj .
b. Déduire de tout ce qui précède que si U est constituée d’endomorphismes
trigonalisables, alors il existe une base B de E telle que, pour tout i œ I, la
matrice de ui dans B soit triangulaire supérieure.
Indication. On pourra raisonner par récurrence sur n = dim E, en traitant
préalablement le cas où tous les éléments de U sont des homothéties.
7
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 7
Soient k un corps commutatif, E un k espace vectoriel de dimension finie n > 0, et
„ œ End(E). Dans chacun des cas suivants, dire si l’assertion proposée est vraie ou
fausse, en justifiant soigneusement votre réponse.
1) L’endomorphisme „ possède au moins une valeur propre.
2) Un vecteur v œ Er{0E } peut être associé à deux valeurs propres distinctes de „.
3) Si P est un polynôme annulateur de „, alors toute valeur propre de „ est racine
de P .
4) Si „ est inversible, alors toute valeur propre de „ est non nulle.
5) On suppose k µ C. Si „ est trigonalisable sur R et diagonalisable sur C, alors „
est diagonalisable sur R.
8
2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2015/2016
Sujet no 8
Soient E un Q-espace vectoriel de dimension finie n > 0, et „ un endomorphisme de
E vérifiant :
„2 = 2 idE .
(ı)
L’endomorphisme „ est-il trigonalisable ?
Indication. Si P est un polynôme annulateur de „, que peut-on dire des éventuelles
valeurs propres de „ ?
9