Annexe 1

Valeurs approchées
1 ) Exemples - Définitions
Exemple 1 (Voir papier millimétré)
On considère le nombre N = 7,42
Une valeur approchée de N à 0,1 près est un nombre dont la différence avec N n'excède
pas 0,1.
Il y a une infinité de valeurs approchées de N à 0,1 près : les valeurs approchées de N à 0,1
près sont tous les nombres compris entre N – 0,1 et N + 0,1, soit entre 7,32 et 7,52.
Formulation équivalente : les valeurs approchées de N à 0,1 près sont les nombres de
l'intervalle [7,32 ; 7,52].
Une valeur approchée de N à 0,1 près peut être inférieure ou égale à N, elle est alors
comprise entre 7,32 et 7,42 et l'on dit que c'est une valeur approchée de N à 0,1 près par
défaut.
Une valeur approchée de N à 0,1 près peut être supérieure ou égale à N, elle est alors
comprise entre 7,42 et 7,52 et l'on dit que c'est une valeur approchée de N à 0,1 près par
excès.
Il y a une infinité de valeurs approchées de N à 0,1 près, que ce soit par défaut ou par
excès : il faut être précis dans le langage employé, et dire « une valeur approchée de N à
0,1 près » et non pas « la valeur approchée de N à 0,1 près ».
Exemple 2 (Voir papier millimétré)
On considère le nombre N = 5,36
Une valeur approchée de N à 0,1 près est nombre appartenant à l'intervalle [5,26 ; 5,46].
Une valeur approchée de N à 0,01 près est un nombre appartenant à l'intervalle [5,35 ; 5,37]
L'intervalle [5,35 ; 5,37] étant inclus dans l'intervalle [5,26 ; 5,46], une valeur approchée de N
à 0,01 près est une valeur approchée de N à 0,1 près.
De même, une valeur approchée de N à 0,001 près est une valeur approchée de N à 0,01
près, donc également à 0,1 près. (Visualiser sur le schéma les intervalles successifs
emboîtés)
Attention, la réciproque de ce qui précède n'est pas vraie : une valeur approchée de N à
0,01 près n'est pas forcément une valeur approchée de N à 0,001 près.
Par exemple : 5,353 est une valeur approchée de N à 0,1 près, c'est également une valeur
approchée de N à 0,01 près, mais ce n'est pas une valeur approchée de N à 0,001 près.
(Voir croix rouges sur le schéma)
Lorsque l'on parle de valeur approchée, il faut donc être rigoureux et indiquer
systématiquement la précision.
Dire que 5,369 est une valeur approchée de 5,36 n'a aucun sens.
En revanche, dire que 5,369 est une valeur approchée de 5,36 à 0,01 près est pertinent.

2) Quelques questions :
Soit le nombre N = 2,36
1) Le nombre 2,348 est-il une valeur approchée de N au centième près ?
La réponse est non. Voici deux façons simples de le justifier :
a) N-2,348 = 0,012 ce qui est strictement supérieur à un centième.
b) Les valeurs approchées de N au centième près sont les nombres compris entre 2,35 et
2,37 et le nombre 2,348 n'est pas dans l'intervalle [2,35 ; 2,37].
2) Peut-on trouver une valeur approchée de N au centième près dont le chiffre des dixièmes
est 4 ?
Non, car les valeurs approchées de N au centième près sont tous les nombres de l'intervalle
[2,35 ; 2,37] : ils ont tous 3 comme chiffre des dixièmes.
3) Peut-on trouver une valeur approchée de N au centième près dont le chiffre des millièmes
est 8 ?
Oui, les nombres possibles sont 2,358 et 2,368.
3) Conclusion
Remarque : il ne faut pas confondre les notions de valeur approchée et d'arrondi.
L'arrondi du nombre 8,742 à deux chiffres après la virgule est 8,74 Il est unique.
8,74 est une valeur approchée de 8,742 à 0,01 près, mais ce n'est pas la seule.
La notion de valeur approchée est une notion essentielle.
D'une part, en mathématiques, elle permet de consolider la compréhension du système de
numération que nous utilisons.
D'autre part, elle intervient de façon importante dans plusieurs sciences : mathématiques,
physique, chimie, biologie.