TP Informatique 18 - Calcul approché d`intégrales 1 1 Méthode des

821 - Lycée du Parc
2011-2012
TP Informatique 18 - Calcul approché d'intégrales 1
1
Méthode des rectangles (sommes de Riemann)
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]. On cherche à calculer l'intégrale
Z
f (t)dt, ou du
b
=
n→+∞
b
a
moins à en connaître une valeur approchée à ε près. On sait que
lim
Z
f (t)dt
a
et
Z
lim
=
n→+∞
b
f (t)dt
a
Remarquons que si f est une fonction monotone sur [a, b], alors on peut majorer et minorer facilement
l'intégrale.
Posons Rn =
Un calcul mathématique montre alors que :
si |f | 6 M sur [a, b],
0
Z b
M
alors f (t)dt − Rn 6 (b − a)2
n
a
Exercice 18.1
On se propose de calculer une valeur approchée de
Z
1
2
e−t dt. Ecrire un programme nommé méthode
0
des rectangles
Z 1 qui calcule une valeur approchée par excès et une valeur approchée par défaut à
2
10−4 près de
e−t .
0
r
2
2
−x , on a ∀x > 0, |f 0 (x)| 6
On admettra que si f : x 7→ e
e
2
Utilisation des points médians
Cette méthode est une application de la formule de Riemann sur les points médians des subdivisions.
On pose donc Mn =
Un calcul mathématique montre alors que :
Z b
K (b − a)3
si |f | 6 K sur [a, b] f (t)dt − Mn 6
24 n2
a
00
Exercice 18.2
Ecrire un programme
nommé méthode point median qui calcule une valeur approchée à au moins
Z
2
10−5 près de
1
e−t
√ .
t
On admettra que si
e−t
f : x 7→ √ ,
t
on a
∀x > 1, |f 00 (x)| 6
1
11
4e
3
Méthode probabiliste
Méthode :
Si f est positive et continue sur [a, b], alors
b
Z
f (t)dt représente l'aire comprise entre les droites d'équa-
a
tions x = a, x = b, la courbe Cf et l'axe des abscisses.
On inscrit la surface dans un rectangle de dimensions connues, puis grâce au générateur de nombres
aléatoires, on créé n points dont les coordonnées suivant des lois uniformes sur chacun des intervalles
dénissant le rectangle (abscisses et ordonnées).
On compte ensuite le nombre de points situés dans la surface à calculer. On désigne par p ce nombre
p
de points. Le rapport est une valeur "probable" du rapport entre la surface cherchée et la surface du
n
rectangle.
Exercice 18.3
1
Chercher une valeur approchée de l'intégrale √
π
à chaque essai de 1000 × n points aléatoires.
Z
n
2
e−t dt, ceci pour n de plus en plus grand, à l'aide
0
En déduire une valeur approchée de :
1
√
π
Z
+∞
e
0
−t2
1
dt = lim √
n→+∞
π
2
Z
0
n
2
e−t dt