Le mouvement brownien

Le mouvement brownien
I/ Mouvement brownien
Premières découvertes
-Ingenhousz (1785) observe le mouvement erratique de poussières de charbon dans de l’alcool
-Buffon et autres naturalistes montrent que les particules de toutes natures, organiques ou inorganiques, en
suspension dans un fluide ont un mouvement surprenant et désordonné dont on ignore l’origine
-Robin Borin : goutte d’eau emprisonnée dans le quartz – dans la goutte d’eau, grand nombre de particules
minuscules animées d’un mouvement irrégulier et incessant (plus question de vitalité conservée longtemps
après la mort d’un organisme
-Brown (1773-1858) observe le mouvement imprévisible de particules dans des grains de pollen en suspension
dans l’eau
-Einstein (1905) propose une méthode pour déterminer le nombre d’Avogadro N A pour convaincre de la réalité
des atomes. La relation relie deux phénomènes à priori distincts, à savoir la diffusion de particules dans un
fluide, et la dissipation visqueuse :
D=
kT
6π aη
Propriétés
Lorsqu’une particule solide est placée dans un fluide, elle est soumise au bombardement incessant des
molécules qui composent le fluide. Ces molécules sont très petites par rapport à la particule. Par contre, elles
sont en très grand nombre. Leur vitesse est isotrope, régulièrement répartie dans l’espace.
Le phénomène se retrouve dans tous les fluides.
Le mouvement est :
-très irrégulier et imprévisible, (il n’est pas possible d’assigner des tangentes à la trajectoire)
- indépendant de la nature de la particule
- d’autant plus erratique que la particule est petite, la température élevée, la viscosité faible
- est incessant (éternel et spontané)
-Il y a indépendance complète des mouvements de deux particules, même quand elles s’approchent à une
distance inférieure à leur diamètre
On peut dire que la caractéristique essentielle du mouvement brownien réside dans une façon très particulière
de transporter la matière. En effet, alors que dans un mouvement « habituel », balistique, le déplacement est
proportionnel au temps, pour une particule brownienne, c’est le carré du déplacement moyen qui est
proportionnel au temps.
II/ Equation de Langevin et relation d’Einstein
Si on appliquait le principe fondamental de la dynamique, il faudrait écrire toutes les équations relatives à
toutes les molécules et les résoudre pour déterminer la dynamique du système. Il est bien plus simple d’utiliser
le modèle de Langevin qui consiste à « simuler » l’effet du fluide sur la particule par :
•
Une force de frottement : -mαv(t) qui représente l’effet systématique du fluide
•
Une force aléatoire f(t) qui représente la partie fluctuante de l’effet du fluide
On obtient alors :
Equation de Langevin
Les hypothèses sur f sont :
•
<f(t)>=0
•
où
une impulsion de Dirac. g est appelée fonction de
corrélation
Evolution de la vitesse à partir d’un état initial bien défini
On suppose
La résolution de l’équation de Langevin nous donne :
 Comme <f(t)>=0, <v>=
La vitesse moyenne s’amortit avec le temps de relaxation

d s’interprète comme le coefficient de diffusion dans l’espace des vitesses

donc
Or, la physique statistique nous dit qu’à l’équilibre thermodynamique
Finalement :
Evolution de la position à partir d’un état initial bien défini
Par intégration de la vitesse que l’on moyenne ensuite, il vient :

Pour t
,
diffusion spatiale :
, de même que
, croit en
. On peut donc définir un coefficient de
Relation d’Einstein
Expérimentalement, il est facile de mesurer la mobilité :
On obtient alors :
, qui s’écrit, si on considère que la force de frottement fluide est la force de Stokes et
que la particule est une sphère de rayon a ,
. C’est la relation d’Einstein.
III/ Expérience pour déterminer le nombre d’Avogadro NA
But de l’expérience : En observant le mouvement brownien des particules en suspension dans un liquide et en
utilisant la relation entre le libre parcours moyen des particules microscopiques et NA, on peut déterminer NA.
Principe de l’expérience :
- un microscope à objectifs à immersion avec de l’huile à immersion à déposer sur la lamelle)
- émulsion qu’il faut diluer plusieurs fois
- lames creuses et lamelles, thermomètre, lampe puissante pour éclairer le microscope + miroir plan, cuvette
avec quadrillage, feuille de papier, règle graduée, chrono
ou une caméra intégrée au microscope et reliée à un magnétoscope + pc muni d’une carte d’acquisition vidéo
et un logiciel de traitement d’images
La manipulation s’effectue pendant un temps raisonnable (pour éviter que T n’augmente trop sous l’effet de la
lampe). Elle consiste à suivre une particule dans son mouvement désordonné et à pointer sa position à
intervalle de temps régulier. En joignant toute ces positions, on obtient la trajectoire
Si on appelle L la distance entre deux positions (supposées horizontales) successives (2 chocs) ; la valeur
quadratique moyenne de cette grandeur est :
L2 = x 2 + y 2 = 2 Dt = 2
kT
RT
t= 2
t
6π aη
6π aη N a
Les expériences effectuées par J. Perrin et Brillouin (1908) donnèrent :
5,5 × 10 23 < N a < 8,0 × 10 23
D : coefficient de diffusion d’Einstein
a : rayon d’une particule (0,5 μm)
η : viscosité du liquide (0,8513 mPa.s)
k : constante de Boltzmann
R : constante des gaz parfaits (8,32 J.mol.K)
T : température (298K)