Une petite perle P (de tuasse ni) est solidaire d`une rigole semi

PCSI. 01/02. Durée 4 heures. Physique.
Devoir surveillé N°3.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Exercice 1. Régime de vent dans l’atmosphère.
On définit le repère Oxyz associé au référentiel terrestre RT :
O est un point de la surface de la Terre (de centre T). L'axe Ox est porté par un parallèle et orienté dans le
sens Ouest-Est. L'axe Oy est porté par un méridien et orienté dans le sens Sud-Nord. L'axe Oz est porté
par le rayon (TO) et orienté de T vers O.
Le référentiel terrestre n'est pas considéré galiléen ; par contre on supposera confondue la verticale en O
avec le rayon (TO).
Une particule fluide de l'atmosphère, de masse m, est étudiée dans le référentiel terrestre RT.
La particule fluide est soumise à des forces de pression
x x y y z z
F F e F e F e  
.
On note
( , , )v x y z
et
( , , )a x y z
respectivement la vitesse et l'accélération de la particule dans RT.
Des observations sont réalisées pendant une durée T = 24 h jusqu'à l'altitude de la troposphère ( c'est-à-
dire 10000 m ) sur une région d'environ 1000 km de diamètre au sol et située à des latitudes voisines de
= 45°. Ces observations montrent que les composantes horizontales de la vitesse
v
de la particule fluide :
x
et
y
, sont de l'ordre de U = 10 m/s et que la composante verticale est de l'ordre de W = 1 cm/s. De
plus si on néglige les « coups de vent » (effets turbulents de courte durée), pour ne retenir qu'un vent
moyen, les composantes
de l'accélération
a
ne dépassent pas
U
T
pour
x
et
y
(respectivement
W
T
pour
z
).
1. Etablir la relation entre
, , ,a v F m
, le champ de pesanteur
g
et le vecteur rotation de la Terre sur
elle-même
T
(on donne
5
7,29.10
T
rad/s et g = 9,81 m/s2 )
2. Projeter cette relation sur le repère Oxyz.
Montrer que l'on peut procéder à un certain nombre de simplifications. On pourra effectuer des
applications numériques pour faciliter les comparaisons. Donner le nouveau système
d’équations différentielles.
En déduire que la vitesse horizontale de la particule est orthogonale au champ de force
horizontal
horizontal
F
.
Quelle relation a-t-on entre
horizontal
v
et
horizontal
F
?

3. En mécanique des fluides on démontre que les forces de pression s'exerçant sur un petit volume
de fluide de masse m sont équivalentes à
m
F gradp
( p est la pression atmosphérique au
point M où se trouve la particule fluide et sa masse volumique). Montrer que
horizontal
F
est
orthogonale aux courbes isobares, obtenues par intersection entre une surface isobare et un plan
horizontal, et orientée des zones de hautes pressions (anticycloniques) vers les zones de basses
pressions (dépressionnaires). En déduire la direction et le sens des vents dans le cas de la figure
ci-après établie dans l’hémisphère Nord.
4. Estimer la vitesse moyenne des vents dans le cas de la figure ci-après.
(on prendra = 1,3 kg.m-3 pour la masse volumique de l'air)
Exercice 2 . Equilibre et petits mouvements d’une perle solidaire d’un cerceau et liée
à un ressort.
Une petite perle M, de masse m, est solidaire d'une rigole semi-circulaire (de centre O, de rayon a et
contenue dans un plan vertical fixe Oxy) sur laquelle elle peut glisser sans frottement. La perle M est
liée à un ressort de raideur k de longueur à vide
2
o
la
et de masse négligeable, dont l'autre
extrémité est fixée en O’ (O’O = a et O’ appartient à la verticale Ox).
L’ensemble perle M-ressort est repéré, par l'angle =
' , 'O x O M
, avec
44
.
1. Déterminer la distance O’M en fonction de a et cos .
2. Déterminer l'expression de l'énergie potentielle totale Ep(
) du système perle-ressort, en
fonction de g, k, lo, m, a et cos .
3. Montrer que le système admet trois positions d'équilibre qu'on déterminera à l'aide des
données.
4. On choisit les caractéristiques du ressort :
2
3
oa
l
et
3mg
ka
; dans ces conditions déterminer
les positions d’équilibre et préciser leur stabilité.
5. Déterminer l’équation différentielle du second ordre vérifiée par (t).
On donne a = 20 cm et g = 9,8 m/s2

Exercice 3. Amplificateur différentiel. Soustracteur pondéré de tensions.
On supposera les amplificateurs opérationnels idéaux et en fonctionnement linéaire.
On considère le montage suivant :
1. Montrer que ce dispositif qui est un amplificateur différentiel délivre à la sortie la tension :
21s
v A v v
.
Exprimer le gain différentiel A en fonction du coefficient k sans dimension.
On considère maintenant l’opérateur soustracteur pondéré, représenté ci-dessous.
2. Exprimer la tension de sortie
s
v
en fonction des tensions d’entrée
12
,vv
et des coefficients
1
k
et
2
k
.
3. Quelle relation doit lier
1
k
et
2
k
pour obtenir un amplificateur différentiel dont on déterminera le
gain différentiel en fonction de
1
k
.
4. Déterminer les résistances d’entrée de chacune des voies 1 et 2.

Exercice 4. Réponse d’un circuit RLC à deux mailles à un échelon de tension.
Dans le réseau représenté ci-dessous, le condensateur est déchargé à l’instant t = 0 où on ferme
l’interrupteur K.
1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par
2()it
.
Donner ensuite son expression numérique.
L = 1 H, r = 100, R = 1000 , C = 10 F et E = 200 V.
2. Déterminer la solution
2()it
.