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Les équations de droites - Classe de 2nde
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I - Équation de droites
1) Caractérisation analytique d’une droite
Propriétés : Soient m, p et c des nombres réels
Dans un repère, l’ensemble des points M (x; y) tels que x = c ou y = mx + p est une droite.
Réciproquement, dans un repère, toute droite possède une équation soit de la forme x = c, soit de
la forme y = mx + p
ht
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:/
/c
dp
m
Remarques :
• ces équations sont appelées équations réduites de droites.
• une droite possédant une équation de la forme x = c sera parallèle à l’axe des ordonnées
• dans une équation de la forme y = mx + p, le réel p est appelé ordonnée à l’origine car il
indique l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées et le réel m
est appelé coefficient directeur car il indique la direction de la droite.
• La droite d’équation y = mx + p est la représentation graphique de la fonction affine f définie
sur IR telle que f (x) = mx + p.
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Exemple : Représentons les droites d’équations y = 2x − 3 et x = 2 dans un repère (O;~
i ;~
j ).
Pour cela, soit on détermine les coordonnées de deux points par lesquels passe la droite, soit on
utilise les valeurs de l’ordonnée à l’origine et du coefficient directeur.
y = 2x − 3
x =2
/c
dp
m
J
0
I
~
v
coefficient directeur : +2
P
:/
ordonnée à l’origine : -3
M
ht
tp
Propriété : Deux droites D et D 0 d’équations respectives y = mx + p et y = m 0 x + p 0 sont :
• parallèles si et seulement si m = m 0
• sécantes si et seulement si m 6= m 0
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2) Déterminer l’équation d’une droite
Propriété : Soient A(x A ; y A ) et B (x B ; y B ) deux points d’une droite D, le coefficient directeur m de
D est tel que :
yB − y A
m=
xB − x A
/c
dp
m
Exemple : Cette propriété permet alors de déterminer l’équation réduite d’une droite passant par
deux points.
Déterminons alors l’équation de la droite D : y = mx + p passant par les points A(2; −1) et B (−1; 5).
On a :
y B − y A 5 − (−1)
m=
=
= −2
xB − x A
−1 − 2
donc D a pour équation y = −2x + p et comme D passe par le point A(2; −1), on en déduit que :
−1 = −2 × 2 + p
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soit p = 3
La droite D a donc pour équation y = −2x + 3.
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II - Systèmes
1) Définitions

Définition :
ax + b y = c
Résoudre un système linéaire (S) :
, c’est trouver tous les couples de nombres réels
a 0 x + b 0 y = c 0
(x; y) qui vérifient à la fois les deux équations. Ces couples sont appelées solutions du système.
x + 3y = 8,1
car :
/c
dp
m
Exemple : Le couple (1,8; 2,1) est solution du système

3x + 2y = 9,6
ht
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:/

3 × 1,8 + 2 × 2,1 = 5,4 + 4,2 = 9,6
1,8 + 3 × 2,1 = 1,8 + 6,3 = 8,1
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2) Interprétation graphique
Définition :
Interpréter graphiquement un système consiste à associer une droite à chacune des équations du
système.
Les deux droites représentent les deux fonctions affines associées au système.
Propriété : Les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites, si ce point existe, constituent alors la solution du système.
/c
dp
m
Exemple : Considérons le système suivant :

x + 2y = 8
2x − y = 1
:/
On exprime y en fonction de x dans les deux équations :
x + 2y = 8
2x − y = 1
2y = −x + 8
−1
x +4
y=
2
ht
tp
−y = −2x + 1
y = 2x − 1
On obtient alors deux équations de droites associées respectivement à des fonctions affines f et g .
Représentons graphiquement ces deux fonctions :
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Cg
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J
0
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Cf
M
I
2
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Le point d’intersection M des deux droites a pour coordonnées
(2 ;3). Ce couple est également la

x + 2y = 8
solution du système
2x − y = 1
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