Enoncer les critères de divisibilité par 2,3,4,5,9

Triangle rectangle et trigonométrie
fiche sur le triangle rectangle : définition et propriétés (Pythagore, cercle circonscrit et trigonométrie)
Prérequis 1 : Un nouveau type d’équations
1) compléter avec
 ou
10
70
......
8,0
56
4
3
.....
15
12
35
28
....
5
4
2) compléter les pointillés par un nombre :
7,0
......
3,6
6
.......
5
3
8,1
......
54
8
...... 
3)
MN
BC
AB
AB 65
5,7
5
854
6
6
4
Mise en situation – problème : calcul d’une longueur (découverte du sinus et tangente)
livre ex p. 186 n° 35
livre ex p. 176 activité 1
Objectif 3G1 : Connaître dans un triangle rectangle les relations entre le cosinus, le sinus ou la
tangente d’un angle aigu et les longueurs des deux côtés.
C.A. p. 98 n° 1 – 2 - 3 – 4
C.A. p. 99 n° 5 à 11
livre p. 183 n° 5 – 6 – 7 – 8
Exercice de groupe :
Objectifs 3G2 – 3G3 – 3G4 : Utiliser dans un triangle rectangle les relations entre le cosinus, le
sinus et la tangente d’un angle aigu pour calculer une longueur de côté ou la valeur d’un angle.
Déterminer, à l’aide de la calculatrice des valeurs approchées du cosinus, du sinus et de la
tangente d’un angle aigu donné. Déterminer, à l’aide de la calculatrice des valeurs approchées de
l’angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente.
1) Triangles aires et longueurs
Une unité de longueur étant choisie, on considère un triangle ABC tel que : AB = 5, AC = 4 et BAC = 60°.
On se propose de calculer la longueur BC et les deux angles ABC et ACB.
1. Soit H le pied de la hauteur issue de C. Calculer les valeurs exactes des longueurs CH et AH. En
déduire la longueur BH.
2. Calculer la valeur exacte de la longueur BC, puis une valeur approchée à 0,01 prés.
3. Calculer la valeur exacte de cos ABC, puis donner une valeur approchée de l'angle ABC en degrés à
0,1° prés par défaut. En déduire une valeur approchée de l'angle ACB .
2) livre p 188 n° 46 – 47 – 48 – 49
3) livre p 190 n° 64

4) Triangle rectangle
ABC est un triangle rectangle en A, H le pied de la hauteur issue de A.
1. En écrivant de deux façons le cosinus de l’angle ABC , montrer que BA²= BH× BC . De même montrer
que CA² = CH× BC
2. En écrivant BC = BH + CH et en utilisant Pythagore dans ABC ainsi que les relations précédentes
montrer que AH² = BH×CH .
3. Montrer que
²
1
²
1
²
1ACABAH 
4. On applique les relations précédentes au triangle ABC où AB = 6 et AC = 8. Calculer BC, HB, HC et HA
on pourra utiliser la relation du 3. même si elle n’est pas démontrée…).
5) Sinus de 75°
Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle, H est le pied de la hauteur issue de A. BAH 45 , HAC
30 et AH = 6 cm.
Le cercle (C) de diamètre [AH] et de centre O coupe (AB) en D et (AC) en E.
1. a. Calculer AB et AC.
b. Montrer que AHE est un triangle rectangle.
c. Montrer que AE =
33
cm.
2. a. Démontrer que AHE = ADE = 60° et ACB= 60°.
b. En déduire que les triangles BAC et EAD sont semblables.
c. Après avoir rempli le tableau de proportionnalité des longueurs, déduisez-en que le rapport de
similitude qui fait passer du triangle BAC au triangle EAD est
4
6
. S’agit-il d’une réduction ou d’un
agrandissement ? Expliquer.
6) L’espace … Livre p 189 n° 52 – 53
7) La boule de billard
L'unité de longueur est le centimètre.
Le rectangle ci-dessus représente une table de billard.
Deux boules de billard N et B sont placées telles que : CD = 90 ; NC = 25 ; BD = 35.
(Les angles sont droits.)
Un joueur veut toucher la boule N avec la boule B en suivant le trajet BEN, E étant entre C et D, et tel que la
mesure de l'angle est égale à celle de .

. On pose ED = x.
l.
a. Donner un encadrement de x.
b. Exprimer CE en fonction de x.
2. Dans le triangle BED, exprimer en fonction de x.
3. Dans le triangle NEC, exprimer en fonction de x.
4.
a. En égalant les deux quotients trouvés aux questions 2. et 3.,
on trouve l'équation : 35(90 - x) = 25 x.
On ne demande pas de le justifier.
Résoudre cette équation.
b. En déduire la valeur commune des angles et arrondie au degré.
8) Le panier de basket
1. Paul veut installer chez lui un panier de basket.
Il doit le fixer à 3,05 m du sol.
L’échelle dont il se sert mesure 3,20 m de long.
À quelle distance du pied du mur doit-il placer l'échelle pour que son sommet soit juste au niveau du panier ?
(Donner une valeur approchée au cm près.)
2. Calculer l'angle formé par l'échelle et le sol. (Donner une valeur approchée au degré près.)
9) Le rectangle
ABCD désigne un rectangle tel que AB = 7,2 cm et BC = 5,4 cm.
1. Dessiner en grandeur réelle ce rectangle et sa diagonale [AC].
2. Calculer la mesure arrondie au degré de l'angle .
3. Démontrer que les angles et sont égaux.
4. La médiatrice du segment [AC] coupe la droite (AB) en E.
Placer le point E et montrer que le triangle ACE est isocèle.
5. En déduire une valeur approchée de la mesure de l'angle .
10) aire et périmètre d’un trapèze

ABCD est un trapèze rectangle, le côté AB est perpendiculaire aux bases BC et AD.
AB = 7 cm, l’angle ABD mesure 60°, BC = CD , le point H est le pied de la perpendiculaire abaissée de C
sur la droite (BD).
1° Construire la figure.
2° Calculer AD, BD, BH puis BC. Donner une valeur exacte du périmètre de ABCD, puis une valeur
approchée à 0,01 cm près.
3° Calculer l’aire du trapèze rectangle ABCD, puis donner une valeur approchée à 0,01
11) L’aire du parallélogramme
Construire le parallélogramme ABCD tel que: AD = 7 cm DC = 9 cm l’angle ADC mesure 64°
2° Tracer la hauteur AH perpendiculaire au côté DC, calculer la longueur AH et l’aire du parallélogramme
ABCD (Indiquer la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01 près).
12) le triangle et sa hauteur
ABC est un triangle de hauteur AH, le point H est sur le segment [BC].
AH = 3,6 cm CH = 4,8 cm AB = 3,9 cm .
Déterminer simplement à la calculatrice une valeur approchée arrondie à 0,01° près des angles ACB et
AB C
13) Calculer l’angle FBD.
14) Des triangles rectangles
On connaît les distances suivantes :
AD = 5 m ; DC = 3 m ; AB = 6 m.
Calculer AM, CM et DM.
(On pourra calculer d’abord BC )
15) Cercle et triangle

Les lettres M, N et P symbolisent trois ports de pêche d’iles du Pacifique. Ces trois ports se trouvent
sur un même cercle représenté en pointille sur le schéma ci-contre.
Son centre O est le milieu de [PN].
Problème : donner une valeur approchée de l’angle P au centième de degré près.
1- Essaie de résoudre le problème pendant 10 minutes.
Si tu n’as pas réussi à résoudre le problème, effectue les questions suivantes.
2- Essaie de faire une figure a l’échelle sur laquelle un centimètre représente un km, et déduis-en a
l’aide d’un instrument de mesure une solution approchée du problème.
Si tu n’as pas réussi a construire les figures, ce n’est pas grave, passe à la question suivante.
3- Démontre que le triangle MNP est rectangle en M.
A l’aide de cette information supplémentaire, tu peux, si tu n’as pas réussi a construire les figures
dans la question 2, les construire maintenant.
4- Calcule PN.
5- Calcule l’arrondi au centième de degré de l’angle P puis réponds au problème pose.
Aide : utilise le cosinus de cet angle !
6- Prends une calculatrice et tape tan–1 (4/3). Que remarques-tu ?
Tape ensuite sin–1 (4/5). Que remarques-tu cette fois ?
16) L’avion
Quelle distance en m l’avion va-t-il parcourir
avant de toucher le sol ? Tu donneras l’arrondi à
l’unité du résultat.
17) _L’échelle
On place une échelle de 1,8 m contre un mur. Le
point qui ouche le mur se trouve a 1,5 m de
hauteur. Le sol est glissant : si la mesure de
l’angle _BAC ci-contre est inferieure a 60°, une
personne qui grimperait en haut de l’échelle
risquerait de faire tomber l’échelle.
Probleme : l’angle que fait l’échelle avec le sol
est-il suffisant pour que quelqu’un puisse
grimper en haut de l’échelle ?