lois de composition
Structures algébriques Sadani. I
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Loi de composition. Structures algébriques
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Introduction. Les structures algébriques sont des notions abstraites qui généralisent et
donnent un fondement au calcul usuel qu’on fait à l’aide des opérations élémentaires sur les
nombres, et qui sont utilisés non seulement en mathématiques mais aussi dans d’autres
disciplines scientifiques telles que les sciences physiques.
1. Lois de compositions
1.1. Loi de composition interne
Définition. Soit un ensemble non vide. Une loi de composition interne sur , est une
application de vers qui à tout couple de associe un élément de noté
(et on lit « »).
Remarque. L’abréviation de « loi de composition interne » est « l.c.i ».―L’ensemble
muni de la l.c.i est noté
Exemple. L’addition et la multiplication sont des l.c.i (appelées lois usuelles) sur et
.
―Dans l’ensemble des parties de , les lois et sont des l.c.i.
Pour avoir un intérêt pratique, une loi interne doit avoir des propriétés supplémentaires. Les
plus courantes sont les suivantes :
1.2. Propriétés
Soit un ensemble muni d’une l.c.i.
1.2.1. Commutativité
Définition. On dit qu’une La loi interne est commutative si
Exemple. L’addition et la multiplication sont commutatives dans et .
1.2.2. Associativité
Définition. On dit que la l.c.i est associative si
Exemple. L’addition et la multiplication sont associatives dans et .
1.2.3. Elément neutre
Définition. On dit que est élément neutre de la l.c.i si
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Remarque. L'élément neutre, lorsqu'il existe, est unique. En effet, si et sont neutres
pour alors on a
Exemple. Dans et l’élément neutre pour l’addition est 0, de même dans ces
ensembles privés de 0 l’élément neutre pour la multiplication est 1.
1.2.4. Elément symétrique (inverse)
Définition. Supposons que ait un élément neutre . On dit que l'élément de a pour
inverse (ou symétrique) l'élément de si
On dit que l’élément est symétrisable.
Proposition. Si la loi est associative et a un élément neutre alors l'inverse, s'il
existe, est unique.
Preuve. Soit admettant pour inverses et . On a donc
Donc
Par associativité, on a donc
Mais
donc la relation ci-dessus donne bien .
Exemples.
• L'addition dans est une loi interne associative et commutative, et a pour élément
neutre 0. Dans , seul a un inverse pour la loi +. En revanche dans , tout élément
! a un inverse : c'est "!.
• La multiplication dans ou est associative, commutative et a pour élément
neutre#.
Lorsque possède deux lois internes et $ (on lit truc), on peut définir la notion de
distributivité.
1.2.5. Distributivité
Définition. Soit un ensemble muni de deux lois internes et $, on dit que $ est
distributive par rapport à la si
$ $$ (distributivité à gauche)
Et
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$ $$ (distributivité à droite)
Exemple. Dans ou , la multiplication est distributive par rapport à l'addition.
2. Structures algébriques
2.1. Structure de groupe
Définition. Soit % un ensemble non vide muni d’une l.c.i, on dit que % est un groupe
si
1. La l.c.i est associative
2. possede un élément neutre
3. Tout élément de % est symétrisable.
4. Si de plus la l.c.i est commutative, alors% est un groupe commutatif ou encore
groupe abélien.
Définition. Soit % un groupe et & un sous-ensemble non vide de%. On appelle &
Un sous-groupe de %si
1. & est stable par i.e pour tout & &alors &
2. tout élément de &a son inverse dans & i.e. pour tout & on a
&
Remarque. un sous groupe contient toujours au moins l’élément neutre de l.c.i.
Exemple. Les ensembles 'est un groupe et l'ensemble des entiers relatifs pairs ( muni
de la loi + est un sous-groupe de ' En revanche, ' n'est pas un groupe (pourquoi ?).
2.2. Structure d’anneau
Définition. Soit un ensemble non vide muni de deux lois internes et $. on dit que
) * est un anneau si les conditions suivantes sont vérifiées :
1. (A,) est un groupe commutatif,
2. La l.c.i +*,est associayive et admet un élément neutre,
3. La l.c.i +*, est distributive par rapport à la l.c.i + ,. i.e.
Si la loi $ est commutative, on dit que ) $ est un anneau commutatif
Si de plus ) admet un élément neutre pour +*,, l’ensemble) * est dit anneau
unitaire.
Exemple. L’ensemble ' est un anneau commutatif unitaire.
2.2.1. Sous anneau
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Définition. Soit ) $ est un anneau d’éléments neutres pour la moi et - pour la loi
$, et . / ), une partie de de ) On dit que . est un sous-anneau de ) $ si
1. . est un sous-groupe de )
2. . est stable par la loi $ i.e. . $ .
3. - .
Exemple.
• ' est un sous anneau de '
• ( ' est un sous anneau de '
2.3. Structure de corps
Définition. Soit0 $ un anneau d’éléments neutres pour la loi et - pour la loi $. On dit
que 1 $ est un corps si
1.
tout élément de 0distinct de l'élément neutre pour la loi a un inverse pour la loi $.
2.
2 -
Si de plus la loi $ est commutative, on dit que 0 $ est un corps commutatif.
Exemple. ' n’est pas un corps (car seuls 1 et -1 ont un inverse dans pour la
multiplication). En revanche ' et ' sont des corps.
Définition. Soient 0 $ un corps d’éléments neutres pour la loi et - pour la loi $, et 3
une partie de 0. On dit que 3 est un sous corps de 0 si
1. 3 $ est un sous anneau de 0 $
2. Tout élément de 3 different de est inversible pour la loi $.
Exemple. est un sous corps de ', lui-même sous corps de '.
3. Homomorphisme de groupes. Isomorphisme de groupes
Définition. Soient un groupe d’élément neutre et 4 $ un groupe d’élément neutre
- Soit5 une application de dans 4 On dit que 5 est un
1. Homomorphisme de groupes (ou morphisme de groupes) de vers4 si
5 5$5
2. Isomorphisme de groupes de vers 4si 5 est un homomorphisme et 5 bijective.
3. Si 4 $: l’homomorphisme est appelé endomorphisme du groupe
4. Si 4 $ l’isomorphisme 5 est appelé automorphisme du groupe
5. On dit que deux groupes sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de groupes entre
eux.
Propriétés. Si 56 7 4 est un morphisme de groupes alors
5 - et pour tout 5
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:5;
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