lois de composition

Structures algébriques
Sadani. I
Loi de composition. Structures algébriques
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Structures algébriques
Sadani. I
Introduction. Les structures algébriques sont des notions abstraites qui généralisent et
donnent un fondement au calcul usuel qu’on fait à l’aide des opérations élémentaires sur les
nombres, et qui sont utilisés non seulement en mathématiques mais aussi dans d’autres
disciplines scientifiques telles que les sciences physiques.
1. Lois de compositions
1.1.
Loi de composition interne
Définition. Soit un ensemble non vide. Une loi de composition interne ∗sur , est une
application de × vers qui à tout couple ( , ) de × associe un élément de noté
∗ (et on lit « é
»).
Remarque. L’abréviation de « loi de composition interne » est « l.c.i ».―L’ensemble
muni de la l.c.i ∗ est noté( ,∗).
Exemple. L’addition et la multiplication sont des l.c.i (appelées lois usuelles) sur ℕ, ℤ, ℚ, ℝ et
ℂ.
―Dans l’ensemble des parties de , ( ), les lois ∪ et ∩ sont des l.c.i.
Pour avoir un intérêt pratique, une loi interne doit avoir des propriétés supplémentaires. Les
plus courantes sont les suivantes :
1.2.
Propriétés
Soit ( ,∗) un ensemble muni d’une l.c.i.
1.2.1.
Commutativité
Définition. On dit qu’une La loi interne est commutative ∗ si
∀ ,
∈ , ∗
=
∗
Exemple. L’addition et la multiplication sont commutatives dans ℕ, ℤ, ℚ, ℝ et ℂ.
1.2.2.
Associativité
Définition. On dit que la l.c.i ∗ est associative si
∀ , , ∈ ,( ∗ ) ∗ =
∗( ∗ )
Exemple. L’addition et la multiplication sont associatives dans ℕ, ℤ, ℚ, ℝ et ℂ.
1.2.3. Elément neutre
Définition. On dit que
∈
est élément neutre de la l.c.i ∗si
∀ ∈ , ∗
=
∗
=
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Remarque. L'élément neutre, lorsqu'il existe, est unique. En effet, si
pour ∗ alors on a = ∗ =
et ′ sont neutres
Exemple. Dans ℕ, ℤ, ℚ, ℝ et ℂ l’élément neutre pour l’addition est 0, de même dans ces
ensembles privés de 0 l’élément neutre pour la multiplication est 1.
1.2.4.
Elément symétrique (inverse)
Définition. Supposons que ∗ ait un élément neutre . On dit que l'élément
inverse (ou symétrique) l'élément ′ de si
∗
On dit que l’élément
=
∗
∈
a pour
=
est symétrisable.
Proposition. Si la loi ∗ est associative et a un élément neutre
existe, est unique.
Preuve. Soit
de
alors l'inverse, s'il
admettant pour inverses ′ et ′′. On a donc
=
∗
=
∗ ′′
Donc
∗( ∗
)=
∗( ∗
)
Par associativité, on a donc
(
Mais
∗
=
∗ )∗ ′=(
∗ )∗
donc la relation ci-dessus donne bien ′ = ".
Exemples.
•
•
L'addition dans ℕ est une loi interne associative et commutative, et a pour élément
neutre 0. Dans ℕ, seul 0 a un inverse pour la loi +. En revanche dans ℤ, tout élément
! a un inverse : c'est −!.
La multiplication dans ℕ ou ℤ est associative, commutative et a pour élément
neutre1.
Lorsque
possède deux lois internes ∗ et ⊤ (on lit truc), on peut définir la notion de
distributivité.
1.2.5.
Distributivité
Définition. Soit
un ensemble muni de deux lois internes ∗ et ⊤, on dit que ⊤
distributive par rapport à la ∗si
est
∀ , , ∈ , ⊤( ∗ ) = ( ⊤ ) ∗ ( ⊤ ) (distributivité à gauche)
Et
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∀ , , ∈ , ( ∗ )⊤ = ( ⊤ ) ∗ ( ⊤ ) (distributivité à droite)
Exemple. Dans ℕ, ℤ, ℚ ou ℝ, la multiplication est distributive par rapport à l'addition.
2. Structures algébriques
2.1.
Structure de groupe
Définition. Soit (%,∗) un ensemble non vide muni d’une l.c.i∗, on dit que (%,∗) est un groupe
si
1.
2.
3.
4.
La l.c.i ∗ est associative
∗ possede un élément neutre
Tout élément de % est symétrisable.
Si de plus la l.c.i ∗est commutative, alors(%,∗) est un groupe commutatif ou encore
groupe abélien.
Définition. Soit (%,∗) un groupe et & un sous-ensemble non vide de%. On appelle (&,∗)
Un sous-groupe de (%,∗) si
1. & est stable par ∗ i.e pour tout ( , ) ∈ & × & alors ∗ ∈ &
2. tout élément de & a son inverse dans & i.e. pour tout ∈ &, on a ∈ &.
Remarque. un sous groupe contient toujours au moins l’élément neutre de l.c.i.
Exemple. Les ensembles (ℤ, +)est un groupe et l'ensemble des entiers relatifs pairs 2ℤ muni
de la loi + est un sous-groupe de (ℤ, +). En revanche, (ℕ, +) n'est pas un groupe (pourquoi ?).
2.2. Structure d’anneau
Définition. Soit un ensemble non vide muni de deux lois internes ∗ et ⊤. on dit que
(),∗, *) est un anneau si les conditions suivantes sont vérifiées :
1. (A,∗) est un groupe commutatif,
2. La l.c.i « * » est associayive et admet un élément neutre,
3. La l.c.i « * » est distributive par rapport à la l.c.i « ∗ ». i.e.
Si la loi ⊤ est commutative, on dit que (),∗, ⊤) est un anneau commutatif
Si de plus ) admet un élément neutre pour « * », l’ensemble(),∗, *) est dit anneau
unitaire.
Exemple. L’ensemble (ℤ, +,×) est un anneau commutatif unitaire.
2.2.1. Sous anneau
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Définition. Soit (),∗, ⊤) est un anneau d’éléments neutres pour la moi ∗ et ℎ pour la loi
⊤, et . ⊂ ), une partie de de ). On dit que . est un sous-anneau de (),∗, ⊤) si
1. (.,∗) est un sous-groupe de (),∗)
2. . est stable par la loi ⊤ i.e. ∀ , ∈ ., ⊤ ∈ ..
3. ℎ ∈ ..
Exemple.
•
•
(ℤ, +,×) est un sous anneau de (ℝ, +,×)
(2ℤ, +,×) est un sous anneau de (ℤ, +,×)
2.3. Structure de corps
Définition. Soit(0,∗, ⊤) un anneau d’éléments neutres pour la loi ∗ et ℎ pour la loi ⊤. On dit
que (K,∗, ⊤) est un corps si
1. tout élément de 0 distinct de l'élément neutre pour la loi ∗ a un inverse pour la loi ⊤.
2. ≠ ℎ
Si de plus la loi ⊤ est commutative, on dit que (0,∗, ⊤) est un corps commutatif.
Exemple. (ℤ, +,×) n’est pas un corps (car seuls 1 et -1 ont un inverse dans ℤ pour la
multiplication). En revanche (ℚ, +,×) et (ℝ, +,×) sont des corps.
Définition. Soient (0,∗, ⊤) un corps d’éléments neutres
une partie de 0. On dit que 3 est un sous corps de 0 si
pour la loi ∗ et ℎ pour la loi ⊤, et 3
1. (3,∗, ⊤) est un sous anneau de (0,∗, ⊤)
2. Tout élément de 3 different de est inversible pour la loi ⊤.
Exemple. ℚ est un sous corps de (ℝ, +,×), lui-même sous corps de (ℂ, +,×).
3. Homomorphisme de groupes. Isomorphisme de groupes
Définition. Soient ( ,∗) un groupe d’élément neutre , et (4, ⊤) un groupe d’élément neutre
ℎ. Soit5 une application de dans 4. On dit que 5 est un
1. Homomorphisme de groupes (ou morphisme de groupes) de
∀ ,
2. Isomorphisme de groupes de
vers4 si
∈ , 5( ∗ ) = 5( )⊤5( )
vers 4si 5 est un homomorphisme et 5 bijective.
3. Si ( ,∗) = (4, ⊤): l’homomorphisme est appelé endomorphisme du groupe( ,∗).
4. Si ( ,∗) = (4, ⊤) l’isomorphisme 5 est appelé automorphisme du groupe ( ,∗).
5. On dit que deux groupes sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de groupes entre
eux.
Propriétés. Si 5:
→ 4 est un morphisme de groupes alors
5( ) = ℎ et pour tout
∈ , 5(
89 )
= :5( );89
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Exemple. 1. L’application 5: ↦ 2 est un isomorphisme de (ℝ, +) dans lui-même. Mais
n’est pas un isomorphisme de (ℝ, +) dans (ℝ,×).
1. L’application 5: ↦ 2= est un homomorphisme de (ℕ, +) dans (ℕ,×), mais n’est pas
un isomorphisme.
2.
>: (ℝ, +) → (ℝ∗ ,×) est un isomorphisme.
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