CHAPITRE 0 - Structures algebriques reduit imprimer

Structures Algébriques
Groupe – Anneau - Corps
Soit G un ensemble. Une loi notée * est dite loi de composition interne si et seulement si :
xG , yG , x*y  G
Exemples : xIR , yIR , x+y  IR.
Donc + est une loi de composition interne dans IR.
xIN , yIN , x+y  IN , mais x-y  IN ( on peut avoir ce cas )
Donc + est une loi de composition interne dans IN
et – n’est pas une loi de composition interne dans IN.
 xIR ,  yIR , je définie la loi notée * par :
x*y = x+y+x.y
* Est une loi de composition interne dans IR
Commutativité
* est une loi de composition interne , E un ensemble.
* est dite commutative si et seulement si :
 xIR ,  yIR , x*y = y*x
Associativité
Soit * une loi de composition interne sur un ensemble E
* est dite une loi associative si et seulement si :
 xIR ,  yIR ,  zIR , on a : ( x*y)*z= x*(y*z)
Exercice : Dans IR, on définit la loi * par :
x*y = x + y + x.y
Etudier la commutativité et l’associativité de la loi *.
Distributivité
Soient * et T deux lois de composition internes d’un ensemble E.
Dire que * est distributive par rapport à la loi T si et seulement si :  ( x , y , z)E3 , x*(yTz) = (x*y)T(x*z)
Exemple
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 ( x , y , z)IR3 , x.(y+z) = (x.y)+(x.z)
Donc (x) ou ( . ) est distributive par rapport à la loi + dans IR.
Exercice : Etudier la distributivité de la loi ( x ) par rapport à la loi * définie par : x*y = x+y+x.y , xIR , yIR
Elément neutre
Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne notée *. e est dit élément neutre de l’ensemble
E pour la loi de composition interne * si et seulement si :
 a E , a * e = e * a
Exemple : Dans ( IN,+) ,  a IN , a + 0 = a
0 est alors l’élément neutre pour + dans IN. 1 est l’élément neutre pour la loi ( x ) dans IN.
Elément symétrisable
Soit E un ensemble muni d’une LCI notée (*). Soit e l’élément neutre de E pour la loi (*)
Soit a un élément de E. a est dit un élément symétrisable si et seulement si :  ãE / a* ã= ã*a=e
ã est dit l’inverse ou le symétrique de a. Le symetrique ã est unique.
GROUPE
Soit G un ensemble, e un élément de G et (*) une loi de composition interne dans G.
On dit que (G,e,*) est un groupe si et seulement si :
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La loi * est associative
* admet e pour élément neutre
Tout élément est symétrisable
Autrement : (G,e,*) est un groupe si et seulement si :
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 aG ,  bG ,  cG , (a*b)*c = a*(b*c)
 aG , a*e = e*a = a
 aG ,  ãG / a* ã= ã*a=e
Remarque:
Si (*) est commutative, alors (G,*) est dit groupe commutatif ou groupe abélien.
Exercice : (IN,+) , (Z,+ ) , (IN,+) , (Z,x) sont ils des groupes ?
Sous groupe
Soit (G,e,*) un groupe et H un sous ensemble non vide de G.
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On dit que H est un sous groupe de G si et seulement si :
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 aH ,  bH , a*bH
eH
 a , ãH
Proposition
Pour qu’un sous ensemble H d’un groupe soit un sous groupe de G il faut et il suffit que:
1. H 
2. aH , bH , a*~b H
Exemple : (Z,0,+) est un sous groupe de (IR,0,+)
En effet : 1) 0Z  Z
2) aZ , bZ , a-b Z
•
(Q*,1 , x ) est un sous groupe de (IR*, 1 , x )
Proposition :
Un sous groupe est un groupe ( car c’est un sous ensemble de ce groupe).
Anneau
Un anneau est un quadruplet ( A,e,*,T ) qui vérifie les propriétés suivantes :
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(A,e,*) est un groupe commutatif
La loi T est associative
La loi T est distributive par rapport à la loi *
Autrement : A est un anneau si et seulement si :
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a,b,c A , (a*b)*c=a*(b*c)
a A , a*e=e*a=a
a A , a*ã =ã*a=e
a,b A , a*b=b*a
a,b,c A , (aTb)Tc=aT(bTc)
a,b,c A , aT(b*c)=(aTb)*(aTc)
a,b,c A , (a*b)Tc = (aTc)*(bTc)
L’anneau est dit unitaire si T admet un élément neutre noté e’, c.a.d : a A , aTe’ = e’Ta = a.
L’anneau unitaire (A,e,*,T) est dit corps si et seulement si :
a A-{0} , aTã = ãTa = e’
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