Planche d`exercices 15 Exercice 1. Soit E = {a, b} un ensemble `a

Planche d’exercices 15
Exercice 1. Soit E={a, b}un ensemble `a deux ´el´ements.
a) D´efinir sur Eune l.c.i. associative et non commutative.
b) D´efinir sur Eune l.c.i. commutative et non associative.
Exercice 2 (pos´e en cours).Donner un exemple d’ensemble fini Emuni d’une l.c.i. ∗, avec neutre,
telle qu’il existe un ´el´ement a∈Eayant deux sym´etriques distincts dans Epour ∗.
Exercice 3. Si on pose ∀(a, b)∈R2,a∗b= ln(ea+eb), la loi ∗est-elle une loi de groupe sur R?
Exercice 4. Soit E=Q∗×Q, muni de la loi ∗d´efinie par ∀((a, b),(a0, b0)) ∈E2, (a, b)∗(a0, b0) =
(aa0, ab0+b).
Est-ce que (E, ∗) est un groupe ?
Exercice 5 (r´esultat de cours).Soit (G, ·) un groupe et H⊂G.
Montrer l’´equivalence entre la d´ef. de “Hsous-groupe de (G, .) ” et la caract. : “Hest non vide
et ∀(a, b)∈H2,a.b−1∈H”.
Exercice 6 (r´esultat de cours).Montrer que si (A, +,×) est un anneau et B⊂Aest un sous-
anneau de Asuivant la d´ef. du m´emento, alors (B, +,×) est un anneau.
Exercice 7 (r´esultats de cours).a) Montrer que (F(R,R),+,×) n’est pas un corps.
b) Soit D={a/10n, a ∈Z, n ∈N}l’ensemble des nombres d´ecimaux.
(i) Montrer que Dest un sous-anneau de (Q,+,×).
(ii) (D, +,×) est-il un corps ?
Exercice 8 (Jouons avec les axiomes d’anneau).Soit (A, +,×) un anneau. On note 0 le neutre
pour + et 1 le neutre pour ×.
a) Montrer que ∀a∈A, a ×0=0×a= 0. (On dit que 0 est ´el´ement absorbant pour la
multiplication).
b) Pour tout ´el´ement x∈A, on note −xle sym´etrique de xpour + (appel´e oppos´e de x).
Montrer que ∀(a, b)∈A2,−(a×b)=(−a)×b.
Remarque : La motivation de cet exercice est de faire comprendre qu’`a l’aide des seules propri´et´es
donn´ees dans la d´ef. d’un anneau, on retrouve d’autres propri´et´es “naturelles” du calcul avec +et ×aux
quelles nous sommes habitu´es dans (Z,+,×)par exemple.
Exercice 9. Soit Q(√2) := {a+b√2,(a, b)∈Q2}. Montrer que l’ensemble (Q(√2),+,×) est un
corps.
Exercice 10. Montrer que tout sous-corps de (R,+,×) contient Q.
MPSI 1 Semaine du 26 novembre 2013

Planche d’exercices 15
Solution 1 a) C.N. sur une telle loi : si une telle loi existe, alors :
•1er cas : a∗b=a. Dans ce cas, pour avoir la non commutativit´e, on doit avoir b∗a=b. En
outre, pour avoir l’associativit´e, on doit avoir a∗(b∗a)=(a∗b)∗a. Autrement dit a∗b=a∗a
autrement dit a=a∗a. Le mˆeme calcul avec bdonne b∗b=b.
Conclusion dans ce premier cas la table de la loi est : ∗a b
a a a
bbb
•2`eme cas : a∗b=b. Le raisonnement du premier cas adapt´e ici donne : ∗a b
aab
b a b
Fin de la C.N. : On vient de montrer qu’ on a au plus deux l.c.i. possibles sur Ecandidates
pour les deux propri´et´es du a).
R´ecip. Soit ∗par exemple comme dans le 1`eme cas. On remarque qu’alors par construction
pour tout (α, β)∈E2,α∗β=α.
Lemme : Si une l.c.i. ∗sur un ensemble Ev´erifie : ∀(α, β)∈E2,α∗β=αalors ∗est
associative.
Preuve du lemme : Soit (α, β, γ)∈E3.
D’un cˆot´e α∗(β∗γ) = αpar la prop. du lemme. De l’autre (α∗β)∗γ=α∗γ=αD’o`u la
conclusion.
Application du lemme `a notre exercice : la premi`ere loi donn´ee par le tableau pr´ec´edent
convient. En fait la deuxi`eme aussi convient car elle v´erifie la prop. analogue : ∀(α, β)∈E2,
α∗β=β. Autrement dit, par notre m´ethode, on a trouv´e toutes les lois qui r´epondait `a la
question.
b) Prenons par exemple a∗b=b∗a=a, ce qui donne la commutativit´e.
Reste `a d´efinir a∗aet b∗bpour que la loi ne soit pas associative.
Par exemple si on prend b∗b=aet a∗a=balors a∗(b∗b) = a∗a=b, et (a∗b)∗b=a∗b=a.
D’o`u la non-associativit´e.
Solution 2 On consid`ere E={e, a, b}avec trois ´el´ements distincts. On consid`ere une l.c.i. ∗
sur Etelle que esoit neutre, et aait pour inverse lui-mˆeme et b. C’est possible en remplissant
le tableau comme suit :
∗e a b
e e a b
a a e e
b b e
Ensuite on donne une valeur quelconque (e, a ou b) `a la
derni`ere case.
Solution 3 a) R´eponse rapide : non car ∗n’a pas d’´el´ement neutre. Par l’absurde si ∗avait un
´el´ement neutre qu’on note ε∈Ralors pour tout a∈R,a∗ε=a. Autrement dit ln(ea+eε) = a
i.e. ln(ea+eε) = ln(ea) et par injectivit´e du ln, ea+eε=eaet finalement eε= 0, contradiction.
b) R´eponse plus touristique : on commence par montrer que ∗est une l.c.i. (´evident car ln(ea+eb)
est bien d´efini pour tout (a, b)∈Ret est un r´eel). Puis que ∗est associative : pour tout (a, b, c)
(a∗b)∗c= ln((ea+eb) + ec) = ln(ea+ (eb+ec)) = a∗(b∗c) et ∗est aussi commutative.
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