Planche d`exercices 15 Exercice 1. Soit E = {a, b} un ensemble `a

Planche d’exercices 15
Exercice 1. Soit E = {a, b} un ensemble à deux éléments.
a) Définir sur E une l.c.i. associative et non commutative.
b) Définir sur E une l.c.i. commutative et non associative.
Exercice 2 (posé en cours). Donner un exemple d’ensemble fini E muni d’une l.c.i. ∗, avec neutre,
telle qu’il existe un élément a ∈ E ayant deux symétriques distincts dans E pour ∗.
Exercice 3. Si on pose ∀ (a, b) ∈ R2 , a ∗ b = ln(ea + eb ), la loi ∗ est-elle une loi de groupe sur R ?
Exercice 4. Soit E = Q∗ × Q, muni de la loi ∗ définie par ∀ ((a, b), (a0 , b0 )) ∈ E 2 , (a, b) ∗ (a0 , b0 ) =
(aa0 , ab0 + b).
Est-ce que (E, ∗) est un groupe ?
Exercice 5 (résultat de cours). Soit (G, ·) un groupe et H ⊂ G.
Montrer l’équivalence entre la déf. de “H sous-groupe de (G, .) ” et la caract. : “H est non vide
et ∀ (a, b) ∈ H 2 , a.b−1 ∈ H”.
Exercice 6 (résultat de cours). Montrer que si (A, +, ×) est un anneau et B ⊂ A est un sousanneau de A suivant la déf. du mémento, alors (B, +, ×) est un anneau.
Exercice 7 (résultats de cours). a) Montrer que (F(R, R), +, ×) n’est pas un corps.
b) Soit D = {a/10n , a ∈ Z, n ∈ N} l’ensemble des nombres décimaux.
(i) Montrer que D est un sous-anneau de (Q, +, ×).
(ii) (D, +, ×) est-il un corps ?
Exercice 8 (Jouons avec les axiomes d’anneau). Soit (A, +, ×) un anneau. On note 0 le neutre
pour + et 1 le neutre pour ×.
a) Montrer que ∀ a ∈ A, a × 0 = 0 × a = 0. (On dit que 0 est élément absorbant pour la
multiplication).
b) Pour tout élément x ∈ A, on note −x le symétrique de x pour + (appelé opposé de x).
Montrer que ∀ (a, b) ∈ A2 , −(a × b) = (−a) × b.
Remarque : La motivation de cet exercice est de faire comprendre qu’à l’aide des seules propriétés
données dans la déf. d’un anneau, on retrouve d’autres propriétés “naturelles” du calcul avec + et × aux
quelles nous sommes habitués dans (Z, +, ×) par exemple.
√
√
√
Exercice 9. Soit Q( 2) := {a + b 2, (a, b) ∈ Q2 }. Montrer que l’ensemble (Q( 2), +, ×) est un
corps.
Exercice 10. Montrer que tout sous-corps de (R, +, ×) contient Q.
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Semaine du 26 novembre 2013
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Solution 1 a) C.N. sur une telle loi : si une telle loi existe, alors :
• 1er cas : a ∗ b = a. Dans ce cas, pour avoir la non commutativité, on doit avoir b ∗ a = b. En
outre, pour avoir l’associativité, on doit avoir a ∗ (b ∗ a) = (a ∗ b) ∗ a. Autrement dit a ∗ b = a ∗ a
autrement dit a = a ∗ a. Le même calcul avec b donne b ∗ b = b.
∗ a b
Conclusion dans ce premier cas la table de la loi est : a a a
b b b
∗ a b
• 2ème cas : a ∗ b = b. Le raisonnement du premier cas adapté ici donne : a a b
b a b
Fin de la C.N. : On vient de montrer qu’ on a au plus deux l.c.i. possibles sur E candidates
pour les deux propriétés du a).
Récip. Soit ∗ par exemple comme dans le 1ème cas. On remarque qu’alors par construction
pour tout (α, β) ∈ E 2 , α ∗ β = α.
Lemme : Si une l.c.i. ∗ sur un ensemble E vérifie : ∀ (α, β) ∈ E 2 , α ∗ β = α alors ∗ est
associative.
Preuve du lemme : Soit (α, β, γ) ∈ E 3 .
D’un côté α ∗ (β ∗ γ) = α par la prop. du lemme. De l’autre (α ∗ β) ∗ γ = α ∗ γ = α D’où la
conclusion.
Application du lemme à notre exercice : la première loi donnée par le tableau précédent
convient. En fait la deuxième aussi convient car elle vérifie la prop. analogue : ∀ (α, β) ∈ E 2 ,
α ∗ β = β. Autrement dit, par notre méthode, on a trouvé toutes les lois qui répondait à la
question.
b) Prenons par exemple a ∗ b = b ∗ a = a, ce qui donne la commutativité.
Reste à définir a ∗ a et b ∗ b pour que la loi ne soit pas associative.
Par exemple si on prend b ∗ b = a et a ∗ a = b alors a ∗ (b ∗ b) = a ∗ a = b, et (a ∗ b) ∗ b = a ∗ b = a.
D’où la non-associativité.
Solution 2 On considère E = {e, a, b} avec trois éléments distincts. On considère une l.c.i. ∗
sur E telle que e soit neutre, et a ait pour inverse lui-même et b. C’est possible en remplissant
∗ e a b
e e a b
le tableau comme suit :
Ensuite on donne une valeur quelconque (e, a ou b) à la
a a e e
b b e
dernière case.
Solution 3 a) Réponse rapide : non car ∗ n’a pas d’élément neutre. Par l’absurde si ∗ avait un
élément neutre qu’on note ε ∈ R alors pour tout a ∈ R, a ∗ ε = a. Autrement dit ln(ea + eε ) = a
i.e. ln(ea + eε ) = ln(ea ) et par injectivité du ln, ea + eε = ea et finalement eε = 0, contradiction.
b) Réponse plus touristique : on commence par montrer que ∗ est une l.c.i. (évident car ln(ea +eb )
est bien défini pour tout (a, b) ∈ R et est un réel). Puis que ∗ est associative : pour tout (a, b, c)
(a ∗ b) ∗ c = ln((ea + eb ) + ec ) = ln(ea + (eb + ec )) = a ∗ (b ∗ c) et ∗ est aussi commutative.
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