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LES LOIS DE KEPLER
1.) Introduction
De l’Antiquité à la renaissance, la Terre était considérée comme le centre
de l’Univers. Il faudra attendre le XVIIème siècle pour qu’un astronome,
Kepler, en exploitant les données astronomiques récoltées par l'astronome
danois Tycho Brahé, propose une description correcte du mouvement des
planètes et des satellites.
Visionner la vidéo à l'adresse suivante :
JOHANNES KEPLER
(1571-1630)
http://www.cea.fr/jeunes/mediatheque/animations-flash/physiquechimie/les-lois-de-kepler.
1.1.) A quoi correspond le système géocentrique ?
1.2.) Quel est l'apport de Copernic ? Comment est décrit le mouvement des planètes
dans le système copernicien ?
1.3.) Décrire le mouvement des planètes après les découvertes de Képler.
1.4.) Combien de lois Képler a t-il déterminées ?
1.5.) En vous inspirant de la méthode décrite à l'adresse suivante
http://serge.bertorello.free.fr/astrophy/kepnew/kepnew.html#ellipse,
tracer, à l'aide d'une ficelle et de deux punaises ou épingles, une ellipse.
Les deux punaises représentent les foyers F et F' de l'ellipse. Vérifier, pour différents points
M sur l'ellipse, qu'on a la propriété FM + F'M = longueur de la ficelle.
Document 1
Excentricité e :
M
A
e=
Planète
c
a
avec :
Soleil
O
F
c
F'
* c : la distance entre le centre O de
l'ellipse et un foyer
* a : la longueur du demi-grand axe.
B
F
2a
F'
Ellipse
Si c = 0, l'ellipse est un cercle de
rayon a.
▪ Rechercher la définition de l'orbite d'un satellite.
Placer sur le document 1 précédent les points correspondants au périhélie et à l'aphélie,
en précisant leur définition.
▪ Plus généralement, rechercher et noter les définitions des termes périastre et apoastre.
Pour un satellite terrestre, quels noms donne-t-on aux deux termes précédents ?
▪ Dans l'étude sur les lois de Képler, et plus généralement en astronomie solaire, on utilise
l'unité astronomique (notée ua ou AU pour les anglo-saxons). Rechercher et noter sa
définition. Donner sa valeur en mètres.
Afin de vérifier les lois de Képler, rendez-vous à l'adresse suivante :
http://astro.unl.edu/naap/pos/animations/kepler.swf
2.) La première loi de Képler
Après avoir choisi la planète
Mercure (M), cocher les cases
nécessaires, comme sur le
document 2 ci contre.
2.1.) En modifiant la
position du point M à l'aide
de la souris, que peut-on
dire de la somme FM +
F'M ? Que peut-on déduire
sur l'orbite de Mercure ?
Document 2
F
F'
2.2.) Recommencer
l'animation pour les autres
planètes.
2.3.) Énoncer la première
loi de Képler pour les
planètes du système
solaire.
M
3.) La deuxième loi de Képler ou loi des aires
Revenir à la planète Mercure et augmenter l’excentricité au maximum (0,700). Choisir une
vitesse d'animation 0,1 yrs/s et cliquer sur Start animation.
3.1.) Nommer les points pour lesquels l'astre va le plus vite, le plus lentement.
Dans l’onglet Newtonian features, faire apparaître les vecteurs vitesse et accélération en
cochant les quatre cases vector et line.
3.2.) Sans soucis d’échelle, représenter, sur le document 1, ces deux vecteurs aux
points A et B.
3.3.) Qu’est-ce qui permet de dire que le mouvement est accéléré en A et ralenti en B ?
3.4.) Vers quel point est orienté le vecteur accélération ?
3.5.) Mettez l'excentricité de Mercure à la valeur 0,4. Dans l’onglet Kepler’s 2nd law,
lorsque la planète passe en A puis en B, cliquer sur start sweeping.
Vous devez ainsi obtenir une figure du même type que celle du Document 3 qui fait
apparaître deux secteurs délimitées par les points F, M 1 et M'1 d'une part et F, M2 et M'2
d'autre part.
M1
M'1
A1
Document 3
F
A2
M'2
M2
La durée mise par la planète pour aller de M 1 à M'1 est la même que celle pour se rendre de
M2 à M'2.
3.5.1.) Calculer les aires A1 et A2 des deux secteurs en vous aidant du document 4.
M1
α
L'aire A du secteur hachuré est donné
par :
M2
A≈
F
O
Soleil
F'
M1
FM1⋅FM2
⋅α ,
2
FM1 : distance entre F et M1.
FM2:distance entre F et M2.
α : angle entre FM1 et FM2. Cet angle
doit être exprimé en radians.
Document 4
3.5.2.) Que peut-on dire de ces aires ?
3.5.3.) Après avoir recherché l'énoncé de la deuxième loi de Képler, est-elle vérifiée
dans le cas étudié ?
4.) La troisième loi de Képler
4.1.) A l'aide d'une recherche sur les caractéristiques des planètes du système solaire,
compléter le tableau 1.
On rappelle que la période de révolution de la Terre est de 365,26 jours.
Tableau 1
Planète
a : ½ grand-axe (ua)
T : période de révolution
(années terrestres)
Période de révolution
(jours terrestres)
Mercure
Vénus
Terre
Mars
Jupiter
Saturne
Uranus
Neptune
4.2.) Reporter les valeurs du tableau dans un tableur (le plus adapté, pour la suite, est le
tableur EXCEL).
4.3.) Tracer la courbe T 2 =f ( a3 ) .
4.4.) Vérifier que la courbe obtenue est une droite passant par l'origine en utilisant les
fonctionnalités du logiciel. Déterminer le coefficient directeur de cette droite en jour 2.ua-3
et en s2.m-3.
4.5.) Rechercher l'énoncé et la formulation mathématique de la troisième loi de Képler.
Est-elle vérifiée dans ce cas ?
5.) Application de la troisième loi de Képler
En utilisant les lois qu'il avait lui même découvertes, Newton montra, quelques années
après l'énoncé des lois de Képler, que :
2
2
T
4π
=
3
G⋅M
a
S
G : constante de gravitation universelle = 6,67 × 10-11N.m2.kg-2.
T : période de révolution d'un astre soumis à l'attraction du Soleil.
a : ½ grand-axe de l'orbite elliptique de cet astre.
MS : masse du Soleil.
Déterminer à partir de la relation précédente la masse du Soleil. Vérifier.