LES LOIS DE KEPLER. Correction 1.) Introduction

LES LOIS DE KEPLER. Correction
1.) Introduction
1.1.) Le système géocentrique
1.2.) Le système héliocentrique
Dans le système héliocentrique, le Soleil est
immobile au centre de l'univers et tous les autres
corps sont en mouvement autour de celui-ci.
Dans le système géocentrique, la Terre est
immobile au centre de l'univers et tous les
autres corps sont en mouvement autour de la
Terre.
Pour Copernic, les planètes décrivent des mouvements circulaires (la trajectoire est un cercle dont
le Soleil est le centre) uniformes (la vitesse est constante).
1.3.) Pour Képler, les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil est un foyer.
1.4.) Képler a déterminé 3 lois.
1.5.)
▪ L'orbite d'un corps céleste est la trajectoire d'un corps céleste en mouvement autour d'un autre.
M
Planète
Soleil
Périhélie : P
O
F
F'
Aphélie : A
B
F
2a
F'
Le périhélie est le point de l'orbite d'un corps céleste qui est le plus rapproché du Soleil.
L'aphélie est le point de l'orbite d'un objet céleste qui est le plus éloigné du Soleil.
▪ Le périastre est le point de l'orbite d'un corps céleste le plus rapproché corps attracteur. Pour un
satellite terrestre, ce pont s'appelle le périgée.
L'apoastre est le point de l'orbite d'un objet céleste le plus éloigné du corps attracteur. Pour un
satellite terrestre, ce pont s'appelle l'apogée.
▪ L'unité astronomique correspond à la disatnce moyenne Terre-Soleil (voir pou plus de précision
http://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9_astronomique)
En pratique, on peut considérer 1 ua = 1,50×1011 m.
2.) La première loi de Képler
2.1.) On constate que la somme FM + F'M reste constante au cours du temps. L'orbite de Mercure
est une ellipse.
2.2.) On remarque que la relation FM + F'M = constante est valable pour les autres planètes.
2.3.) Première loi de Képler : Les planètes décrivent une ellipse dont le Soleil est un foyer.
3.) La deuxième loi de Képler ou loi des aires
3.1.) La vitesse de la planète est la plus élevée au périhélie et la plus petite à l'aphélie.
M
A
Planète
⃗
vA
⃗
aA
3.2.)
F
O
Soleil
F'
⃗
aB B
F
⃗
vB
F'
3.3.) Qu’est-ce qui permet de dire que le mouvement est accéléré en A et ralenti en B ?
3.4.) On remarque que le vecteur ⃗
a accélération est toujours dirigé vers le Soleil.
3.5.)
3.5.1.) Sur le document 3, on relève :
FM2 = 8,3 cm ; FM'2 = 9,0 cm
̂
FM1, FM'1 = 11° = 0,19 rad,
FM1 = 4,1 cm ; FM'1 = 4,8 cm,
̂
FM1, FM'1 = 41° = 0,72 rad,
Donnant une aire :
Donnant une aire :
A 1=
4,1×4,8×0,72
2
=7,1 cm
2
A 2=
8,3×9,0×0,19
2
=7,1 cm
2
3.5.2.) On remarque que les deux aires calculées sont égales.
3.5.3.) La deuxième loi de Képler affirme : Pendant des durées égales les aires balayées par le
segment FM sont égales.
4.) La troisième loi de Képler
4.1.)
Tableau 1
Planète
a : ½ grand-axe (ua)
T : période de révolution
(années terrestres)
Période de révolution
(jours terrestres)
Mercure
0,38
0,24
88
Vénus
0,72
0,67
243
Terre
1
1
365
Mars
1,52
1,88
687
Jupiter
5,2
11,9
4335
Saturne
9,5
29,5
10758
Uranus
19,2
84,3
30799
Neptune
30,1
165
60225
4.2.) On reporte les valeurs dans un tableur.
4.3.) On trace la courbe T 2 =f ( a 3 ) , avec T en années et a en ua. On obtient les points suivants.
T2 ( année2)
Vérification loi des aires
30000
y = 1,0029x
25000
20000
15000
10000
5000
a3 ( ua3)
0
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
4.4.) Les points obtenus sont alignés sur une droite : T2 et a3 sont proportionnels.
Le coefficient directeur (coefficient de proportionnalité) de la droite vaut
k=1,00an2⋅ua 3=2,95 s2⋅m3 .
4.5.) La troisième loi de Képler affirme que le carré de la période de révolution d'un corps est
proportionnel au cube du ½ grand axe de l'ellipse parcourue par ce corps. On constate que cette
loi est bien vérifié par les corps célestes soumis à l'attraction du Soleil.
5.) Application de la troisième loi de Képler
D'après le résultat de la question 4.4, on peut écrire :
k=
4 π2
4 π2
4×π2
-30
→ MS=
=
kg .
-19
-11 → M S=2,00×10
G⋅MS
k⋅G 2,95×10 ×6,67×10
Une recherche donne : MS = 1,99×1030 kg.
On obtient un accord satisfaisant.