ME6_Poly_Lois de Képler

CH16 – TMC :
V.1 ) Lois de Képler
Le système solaire :
Une étoile (soleil) + 8 planètes
Masse SOLEIL : m S ≈ 2 ⋅ 1 0 3 0 k g
Masse TERRE : m T ≈ 6 ⋅ 1 0 2 4 k g
Masse JUPITER : m J ≈ 320 mT ≈ 2 ⋅ 10 27 kg
(La plus lourde du système solaire)
Conséquences :
La masse des planètes est négligeable devant celle du soleil
Le soleil peut être considéré comme immobile
(Faible influence des planètes sur sa position)
On peu considérer que chaque planète n’est soumise qu’à 1 force centrale
(Gravitation du soleil)
Trois lois
lois de Képler :
Képler a formulé les lois du mouvement des planètes du système solaire à partir de ses observations (et celles de Tycho-Brahé)
a) Première loi (1605) :
les trajectoires des planètes sont des ellipses dont le soleil occupe l’un des foyers.
b) Seconde loi (1604) :
le rayon vecteur Soleil - Planète balaye des aires égales en des temps égaux.
c) Troisième loi (1618) :
le carré de la période orbitale T des planètes est proportionnel au cube du grand
axe de leur ellipse :
T2
4π 2
=
Cstte
=
a3
GM
Justification :
a) Force newtonienne (Centrale + Conservative + en 1/r2) Mouvement plan, elliptique, parabolique ou hyperbolique
b) Force Centrale
Loi des aires
(Obtenue par observation en 1600 !!!)
c) Troisième loi : exprime le caractère constant de la vitesse aréolaire
(Voir démonstration dans le cas circulaire)
V.2)
Cas particulier
Cas particulier du
mouvement
circulaire :
du mouvement circulaire
Etude énergétique :
 − v2 
rɺ 
−Rθɺ2 
0 
et
R
=
a=
 =
 ɺ
ɺ
Rθɺɺ  POL  Rθɺɺ 
rθ POL Rθ POL
POL
GMm
GMm
Force gravitationnelle f = −
⋅ er
⇒ EP = −
r2
r
1 2 1
(vitesse radiale nulle)
EC = mv = mvθ 2
2
2
2
− GMm   − mv 
1
GMm −1
GM
2
f = ma =  R  =
⇒ EC = mv2 =
= EP ⇒ v = cstte =
R 

 
2
2
R
2
R
 0   mRθɺɺ 
Etudions le cas particulier d’un mouvement circulaire de rayon R : v = 
Energie potentielle :
Energie cinétique :
PFD pour relier les 2 :
Démonstration de la 3ème loi de Képler dans le cas d’
d’une orbite circulaire :
Constante des aires :
Loi des aires :
C = R 2θɺ = Rv = R
GM
=
R
RGM
⇒
dA 1 2 ɺ C
C
= r θ = , et en intégrant : Adisque = T = π R 2
dt
2
2
2
Cette loi se généralise au cas elliptique en prenant R = a :
⇒
T 2 4π 2
=
= Cstte
R3 GM
T 2 4π 2
=
= Cstte
a3 GM