Statistiques II Session normale

NOM : …................. Promotion : 2012 – 2015
FIPA – BTP Module : Statistiques II
Prénom : …................. Session : Normale
Statistiques II
Session normale
Thème:
Lois de probabilités
Intervalle de confiance, tests d'hypothèses
Durée: 2H00
Outils autorisés: Calculatrice uniquement.
Un formulaire est joint au sujet.
(Le sujet contient 6 pages à rendre avec la copie)
Notes à l'attention des candidats:
La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.
Les détails de calculs doivent clairement apparaître sur la copie.
M. Basnary S. FIPA – BTP – 12_15_M_1 – Rattrapage Page n°1/6

EXERCICE n°1: (4 points) Probabilités et variables aléatoires
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Les résultats seront arrondis à 10 – 3 près.
Une urne opaque contient 4 boules blanches et 6 boules noires indiscernables au toucher. Soit
l'expérience aléatoire suivante : On choisit deux boules dans l'urne. On note les évènements
suivants:
B : « la boule choisie est blanche » et N =
B
: « la boule choisie est noire »
N0 : « Aucune boule noire n'a été choisie. »
N1 : « Une seule boule noire a été choisie. »
N2 : « Deux boules noires ont été choisies. »
Partie A. Tirage sans remise
L'expérience aléatoire est réalisée sans remise de la boule choisie dans l'urne.
1. Construire l'arbre de probabilités associé à l'expérience aléatoire ainsi définie.
a) Déterminer P (N0) et P (N2).
b) Déterminer P (N1).
2. Soit X la variable aléatoire égale au nombre k de boules noires choisies.
a) Quelle est la probabilité d'avoir choisie deux boules blanches.
b) Compléter le tableau ci-dessous qui donne la loi de probabilité de la variable aléatoire X, puis
déterminer l'espérance mathématique E(X ) et l'écart-type σ(X ) de la variable aléatoire X.
k0 1 2 E(X ) =
P ( X = k ) σ(X ) =
Rappel(s):
EX=∑pi×xi , VX=∑pi×xi
2−
EX
2 et  X=
VX
Partie B. Tirage avec remise et comparaison
Dans cette partie, l'expérience aléatoire est réalisée avec remise de la boule choisie dans l'urne.
1. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre k de boules noires choisies.
a) Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Compléter le tableau ci-dessous qui donne la loi de probabilité de la variable aléatoire Y, puis
déterminer l'espérance mathématique E(Y ) et l'écart-type σ(Y ) de la variable aléatoire Y.
k0 1 2 E(Y ) =
P ( Y = k ) σ(Y ) =
2. Comparer les valeurs d'espérance mathématique E et d'écart-type σ pour les deux variables
aléatoires X et Y.
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EXERCICE n°2: (4 points) Loi binomiale et loi de Poisson.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Les résultats seront arrondis à 10 – 3 près.
Partie A. Loi de Poisson
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ. Compléter le tableau ci-
dessus en indiquant les valeurs des probabilités demandées.
Paramètre λProbabilité Valeur associée
λ = 8,5 P ( X = 5 )
λ = 0,3 P ( X  1 )
λ = 1 P ( X > 2)
λ = 5,5 P ( X ≠ 6)
λ = 0,5 P ( X  2)
λ = 3 P ( X < 4)
Partie B. Détermination d'un paramètre de la loi
1. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n inconnue et p = 0,01.
Déterminer la valeur de n à partir de laquelle P ( X = 0 )  0,01.
2. Soit Y une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ inconnu.
Déterminer la valeur exacte puis approchée de λ telle que P ( Y  1 ) = 0,93.
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EXERCICE n°3: (4 points) Loi normale N ( m , σ ) et intervalle de confiance.
Les probabilités seront arrondies à 10 – 4 près.
Les valeurs de α, x1, x2 et t seront arrondies à 10 – 2 près.
Compléter les informations manquantes du tableau ci-dessous ligne par ligne.
Donnée(s): Par propriété de symétrie de la figure, on note α le seuil de risque, tel que:
P (m – h  X  m + h) = 1 – α.
L'intervalle [ m – h ; m + h ] est appelé intervalle de confiance au taux de confiance 1 – α .
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,m–h,m+h
P (m–h < X ≤ m+h )
,mX
Loi N ( m ; σ )
X = σ × T + m
,-t , t
P (-t < T ≤ t )
, 0T
Loi N (0;1)
½ α ½ α
½ α ½ α
X – m
σ
T =
Données
N°
7 50 1,2 0,08 47,90 52,10 0,9200 1,75 0,0400 0,9600 0,9200
14 46 1,3 0,15 44,13 47,87 0,8500 1,44 0,0750 0,9250 0,8500
16 20 1,8 0,26 17,97 22,03 0,7400 1,13 0,1300 0,8700 0,7400
18 20 1,8 0,3 18,13 21,87 0,7000 1,04 0,1500 0,8500 0,7000
Variable aléatoire X : Loi N (m ;σ ) Variable aléatoire T associée: Loi N (0;1)
,m,σ,α,x1= m – h
,x2 = m + h
P( x1< X ≤ x2 )
,t P( T ≤ -t ) P( T ≤ t ) P( -t < T ≤ t )

EXERCICE n°4: (8 points) Lois de probabilités, intervalle de confiance et test d'hypothèse.
Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes.
Les résultats seront arrondis à 10 – 3 près.
On s'intéresse au chantier de construction d'un tronçon de TGV. Les travaux de terrassement
nécessitent la mise à disposition d'une flotte importante de pelles sur chenilles et de camions-benne.
La réalisation de l'ouvrage nécessite de grandes quantités de fers à béton.
Partie A. Loi normale
On note X la variable aléatoire qui, à chaque pelle prélevée au hasard dans la flotte, associe le
nombre de m3 de matériaux extraits pendant la première heure du chantier. On suppose que la
variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 150 et d'écart-type 15.
1. Calculer P ( 130  X  170 )
2. Calculer la probabilité que la pelle prélevée extraie moins de 120 m3 pendant la première heure
du chantier.
Partie B. Loi de Poisson
On note Y la variable aléatoire qui, à toute heure travaillée prise a hasard pendant la première
semaine du chantier, associe le nombre de camions-benne entrant dans la zone 1 du chantier pour
charger des matériaux.
On suppose que la variable aléatoire Y suit une loi de Poisson de paramètre λ = 4,5.
1. Calculer la probabilité de l'évènement suivant :
A : « pendant une heure prise au hasard il n'entre aucun camion-benne sur la zone 1 du chantier ».
2. Calculer la probabilité de l'évènement suivant :
B : « pendant une heure prise au hasard il entre au plus trois camions-benne sur la zone 1 du
chantier ».
Partie C. Loi binomiale
On note E l'événement « un camion-benne pris au hasard dans la flotte n'a pas de panne ou de
sinistre pendant le premier mois du chantier ». On suppose que la probabilité de E est 0,95.
On prélève au hasard 15 camions-benne dans la flotte pour les affecter à une zone du chantier.
Le nombre de camions-benne de la flotte est assez important pour que l'on puise assimiler ce
prélèvement à un tirage avec remise de 15 camions-benne.
On désigne par Z la variable aléatoire qui a tout prélèvement de ce type associe le nombre de
camions-benne n'ayant pas eu de panne ou de sinistre pendant le premier mois du chantier.
1. Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun des camions-benne n'ait de panne ni
de sinistre pendant le premier mois du chantier.
3. Calculer la probabilité P ( Z 14 ).
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