Convertir en radians les mesures d`angles exprimées en degrés

TS. Exercices série 0- Fonctions trigonométriques Trigo
1Convertir en radians les mesures d’angles exprimées en degrés : 72◦, 105◦, 50◦et 44◦
Convertir en degrés les mesures d’angles exprimées en radians : 7π
24 ,−5π 18 ,π 9et −2π 5
En utilisant les valeurs remarquables, calculer les réels suivants : cos 7π
6sin³−
π
2´cosµ−9π 4¶sin 10π 3
2Sans calculatrice, dire si les réels suivants sont des mesures principales en radians d’angles orientés
7π
5−13π 5
π
4−3π 4
3π
2−2π 3−7π 6
37π
36
3Exprimer à l’aide de sin(x) et cos(x) les expressions suivantes :
A=cos(x+π)−cos(−x)+5cos(x) C =sin(π+x)cos(π−x)−sin(π−x)cos(π+x)
B=sin(π−x)+2sin(x+2π)+sin(x+3π) D =sin(x+11π)+sin(11π−x)−cos(11π−x)
4Soit a=sin³π
7´. Exprimer en fonction de a: sin³−
π
7´sinµ8π 7¶sinµ6π 7¶cosµ5π 14 ¶
5Soit θ∈[π, 2π] tel que cosθ=−4
5alors on a : ¬sinθ60sin2θ=1 5®sinθ=0,6 ¯sinθ=−3 5
6Soit θ∈·π
2;3π 2¸tel que sinθ=1 4alors on a : ¬cosθ60cosθ=3 4®cosθ=−
p15
4¯cosθ=
p15
4
7Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer les réels tde ] −π;π] tels que cos(t)=−1
2
1. Résoudre dans les équations suivantes :
a. cos(t)= −1
2b. cosx=cos π 4c. sinx=sin π 6d. cosx= −1 2e. sinx= −cos π 4
8Résoudre dans les équations suivantes : ¬cos(x)= −
p2
2sin(x)=
p3
2®cos(x)= −1¯sin(x)=0
Puis dans chaque cas, donner les solutions de l’intervalle [2π; 5π[
9À l’aide d’une figure, résoudre les équations et inéquations suivantes :
1. cos(x)=
p3
2pour x∈[0 ; 2π[
2. sin(x)= −
p2
2pour x∈[−π;π[
3. cos(x)>1
2pour x∈[−π;π[
4. sin(x)<1
2pour x∈[0 ; 2π[
10 Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer les réels tde ] −π;π] puis ceux de [0 ; 2π[ tels que
¬−1
26sin(t)6p2 2cos(t)60®1−2sin(t)>0
11 Sur l’intervalle [0 ; 2π], les solutions de l’inéquation cosθ>−1
2sont :
1. ·−2π
3;2π 3¸2. ·2π 3;4π 3¸3. ·4π 3; 2π¸4. ¸0 ; 2π 3·∪¸4π 3; 2π·
12 Résoudre dans l’équation (E) : sinx=cos π
3; puis résoudre l’équation (E) dans ] −π;π]
13 Démontrer que la représentation graphique de la fonction fdéfinie, sur par : f(x)=cos(2x)+sin x−1
est située entre les droites d’équations y=−3 et y=1.
14 Résoudre, dans , l’équation : 2sin3x−17sin2x+7sinx+8=0
Résoudre, dans ]−π;π[, l’équation : 2cos3x−7cos2x+2cosx+3=0
Résoudre, dans ]−π;π[, l’équation : 2sin3x+cos2x−5sinx−3=0
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TS. Exercices série 0- Fonctions trigonométriques
15 Partie A : Équation cosx=
=
=a
1. Soit l’équation cosx=1
2à résoudre dans .
a. Placer sur le cercle trigonométrique les points M et M0d’abscisse 1
2
b. Déterminer les mesures principales des angles (−→ OI ; −−→ OM ) et (−→ OI ; −−−→ OM0).
En déduire l’ensemble des solutions dans ]−π;π] de l’équation cosx=1
2.
c. Résoudre dans cette équation.
2. a. Par une méthode analogue, résoudre dans l’équation cosx=−
p2
2.
b. En déduire les solutions dans [0 ; 2π[ de cette équation.
3. a. Examiner le cas des équations cosx=1,5 et cos x=−3.
b. Donner une condition sur apour que l’équation cosx=apuisse admettre des solutions.
4. Soit l’équation cosx=0,25. Sur le cercle trigonométrique, placer les images des solutions de l’équation.
a. On note θla solution de cette équation dans [0 ; π[.
Exprimer en fonction de θles solutions de l’équation cosx=0,25 sur .
b. Résoudre cette équation dans [0 ; 2π[.
Donner, à l’aide de la calculatrice des valeurs approchées de ces solutions à 10−4près.
Partie B : Équation sinx=
=
=a
1. En suivant la même méthode que dans la partie A, résoudre l’équation sinx=1
2dans ]−π;π] puis dans .
2. Même question pour sinx= −
p3
2. Donner ensuite les solutions de cette équation dans [0 ; 2π[.
3. Soit l’équation sinx=0,3. On note αla solution de cette équation dans i−
π
2;π 2i.
Exprimer en fonction de αles solutions sur de l’équation sinx=0,3.
16
1. Exprimer en fonction de cos(x) et/ou sin(x), le réel suivant : A =sin(π−x)−sin(−x)+sin³π
2−x´
2. a. On donne cosµ2π
5¶=
p5−1
4. En déduire la valeur exacte de cosµ7π 5¶
b. Montrer que sin2µ7π
5¶=5+p5 8. En déduire la valeur exacte de sinµ7π 5¶et sinµ−2π 5¶.
17
1. a. Résoudre dans l’intervalle ] −π;π] l’équation cos(x)=cos³π
7´.
b. Donner ensuite les solutions de cette équation sur , puis les solutions dans [0;2π[.
2. a. Résoudre dans l’intervalle ] −π;π] l’équation sin(x)=1
2.
b. Donner ensuite les solutions de cette équation dans [0;2π[.
3. a. Résoudre dans l’intervalle ] −π;π] l’équation cos(x)= −
p2
2.
b. En déduire les solutions de l’inéquation cos(x)> −
p2
2dans ]−π;π].
c. Donner ensuite les solutions de cette inéquation dans [−2π;3π[.
4. On a interrogé un logiciel de calcul formel en entrant la ligne suivante :
solve(2*sin(x)ˆ2-sin(x)-1=0,x)
a. Que demande-t-on au logiciel ?
b. Trouver les trois nombres réels que le logiciel renvoie.
m2