Convertir en radians les mesures d`angles exprimées en degrés

TS. Exercices série 0 - Fonctions trigonométriques
Trigo
Convertir en radians les mesures d’angles exprimées en degrés : 72◦ , 105◦ , 50◦ et 44◦
7π 5π π
2π
Convertir en degrés les mesures d’angles exprimées en radians :
, − , et −
24
18 9
5
³ π´
7π
En utilisant les valeurs remarquables, calculer les réels suivants : cos
sin −
6
2
1
2
µ
¶
9π
cos −
4
10π
3
Sans calculatrice, dire si les réels suivants sont des mesures principales en radians d’angles orientés
7π
5
3
−
π
4
13π
5
−
3π
2
3π
4
−
2π
3
−
37π
36
7π
6
Exprimer à l’aide de sin(x) et cos(x) les expressions suivantes :
A = cos(x + π) − cos(−x) + 5 cos(x)
C = sin(π + x) cos(π − x) − sin(π − x) cos(π + x)
B = sin(π − x) + 2 sin(x + 2π) + sin(x + 3π)
D = sin(x + 11π) + sin(11π − x) − cos(11π − x)
³π´
³ π´
sin −
7
µ
8π
sin
7
¶
µ
6π
sin
7
¶
4
Soit a = sin
5
Soit θ ∈ [π , 2π] tel que cos θ = −
6
¸
π 3π
1
Soit θ ∈
tel que sin θ =
;
2 2
4
7
Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer les réels t de ] − π ; π] tels que cos(t ) = −
. Exprimer en fonction de a :
7
·
4
alors on a : ¬ sin θ 6 0
5
a. cos(t ) = −
1
2
­ sin2 θ =
1
5
b. cos x = cos
π
4
c. sin x = sin
π
6
p
2
8 Résoudre dans les équations suivantes : ¬ cos(x) = −
2
Puis dans chaque cas, donner les solutions de l’intervalle [2π ; 5π[
R
µ
5π
cos
14
® sin θ = 0, 6 ¯ sin θ = −
p
15
® cos θ = −
4
3
alors on a : ¬ cos θ 6 0 ­ cos θ =
4
R les équations suivantes :
1. Résoudre dans
9
sin
d. cos x = −
1
2
p
3
­ sin(x) =
2
1
2
¶
3
5
p
15
¯ cos θ =
4
e. sin x = − cos
® cos(x) = −1
π
4
¯ sin(x) = 0
À l’aide d’une figure, résoudre les équations et inéquations suivantes :
p
1
3
3. cos(x) > pour x ∈ [−π ; π[
pour x ∈ [0 ; 2π[
1. cos(x) =
2
2
p
1
2
2. sin(x) = −
pour x ∈ [−π ; π[
4. sin(x) < pour x ∈ [0 ; 2π[
2
2
Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer les réels t de ] − π ; π] puis ceux de [0 ; 2π[ tels que
p
1
2
¬ − 6 sin(t ) 6
­ cos(t ) 6 0
® 1 − 2 sin(t ) > 0
2
2
1
11 Sur l’intervalle [0 ; 2π], les solutions de l’inéquation cos θ > − sont :
·
¸
¸
·
¸
·
¸
·2
· ¸
−2π 2π
2π 4π
4π
2π
4π
1.
;
;
; 2π
4. 0 ;
; 2π
2.
3.
∪
3
3
3
3
3
3
3
π
12 Résoudre dans l’équation (E) : sin x = cos ; puis résoudre l’équation (E) dans ] − π ; π]
3
10
R
13
Démontrer que la représentation graphique de la fonction f définie, sur
est située entre les droites d’équations y = −3 et y = 1.
14
Résoudre, dans
R, l’équation :
R par :
f (x) = cos(2x) + sin x − 1
2 sin3 x − 17 sin2 x + 7 sin x + 8 = 0
Résoudre, dans ] − π ; π[, l’équation : 2 cos3 x − 7 cos2 x + 2 cos x + 3 = 0
Résoudre, dans ] − π ; π[, l’équation : 2 sin3 x + cos2 x − 5 sin x − 3 = 0
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1
n
TS. Exercices série 0 - Fonctions trigonométriques
15
Partie A : Équation cos x = a
1
1. Soit l’équation cos x = à résoudre dans
2
R.
1
2
−→ −−→
−→ −−−→0
Déterminer les mesures principales des angles (OI ; OM ) et (OI ; OM ).
1
En déduire l’ensemble des solutions dans ] − π ; π] de l’équation cos x = .
2
Résoudre dans cette équation.
p
2
Par une méthode analogue, résoudre dans l’équation cos x = −
.
2
En déduire les solutions dans [0 ; 2π[ de cette équation.
a. Placer sur le cercle trigonométrique les points M et M0 d’abscisse
b.
c.
2.
a.
b.
3.
R
R
a. Examiner le cas des équations cos x = 1, 5 et cos x = −3.
b. Donner une condition sur a pour que l’équation cos x = a puisse admettre des solutions.
4. Soit l’équation cos x = 0, 25. Sur le cercle trigonométrique, placer les images des solutions de l’équation.
a. On note θ la solution de cette équation dans [0 ; π[.
Exprimer en fonction de θ les solutions de l’équation cos x = 0, 25 sur
R.
b. Résoudre cette équation dans [0 ; 2π[.
Donner, à l’aide de la calculatrice des valeurs approchées de ces solutions à 10−4 près.
Partie B : Équation sin x = a
1
1. En suivant la même méthode que dans la partie A, résoudre l’équation sin x = dans ] − π ; π] puis dans
2
p
3
2. Même question pour sin x = −
. Donner ensuite les solutions de cette équation dans [0 ; 2π[.
2
i π πi
3. Soit l’équation sin x = 0, 3. On note α la solution de cette équation dans − ;
.
2 2
Exprimer en fonction de α les solutions sur de l’équation sin x = 0, 3.
R
16
´
³π
−x
1. Exprimer en fonction de cos(x) et/ou sin(x), le réel suivant : A = sin(π − x) − sin(−x) + sin
2
µ ¶ p
µ ¶
2π
7π
5−1
2.
a. On donne cos
=
. En déduire la valeur exacte de cos
5
4
5
p
µ ¶
µ ¶
µ
¶
5+ 5
7π
2π
2 7π
b. Montrer que sin
=
. En déduire la valeur exacte de sin
et sin −
.
5
8
5
5
17
1.
a. Résoudre dans l’intervalle ] − π; π] l’équation cos(x) = cos
b.
2.
a.
b.
3.
a.
b.
c.
³π´
.
7
Donner ensuite les solutions de cette équation sur , puis les solutions dans [0; 2π[.
1
Résoudre dans l’intervalle ] − π; π] l’équation sin(x) = .
2
Donner ensuite les solutions de cette équation dans [0; 2π[.
p
2
Résoudre dans l’intervalle ] − π; π] l’équation cos(x) = −
.
2
p
2
En déduire les solutions de l’inéquation cos(x) > −
dans ] − π; π].
2
Donner ensuite les solutions de cette inéquation dans [−2π; 3π[.
R
4. On a interrogé un logiciel de calcul formel en entrant la ligne suivante :
solve(2*sin(x)ˆ2-sin(x)-1=0,x)
a. Que demande-t-on au logiciel ?
b. Trouver les trois nombres réels que le logiciel renvoie.
m
2
R.