Nombres complexes

Bcpst 1
Nombres complexes
1/2017
Ex. 11 —
cos
Module et argument
Calculer S = cos
7π
9π
+ cos
11
11
3π
5π
π
+ cos
+ cos
+
11
11
11
Indication : Interpréter cette somme comme la partie réelle d’un
nombre complexe.
Ex. 1 —
Écrire sous forme algébrique
1 + 2i
3 − 4i
1+i 1−i
+
3−i 3+i
1
(1 + i)3
(1 + 2i)2 (1 − i)2
1
(1 + (1 + (1 + 2i)2 )−1 )
2
1+
i
Équations dans C
Ex. 12 —
1. Chercher les solutions complexes α de
l’équation α2 = −5 + 12i.
p
2. Résoudre l’équation z 2 − 5z − 3i = 0.
Indication : On pourra mettre d’abord sous forme cano-
Ex. 2 —
Exprimer sous forme algébrique les nombres
nique.
complexes de modules r et d’argument t
p
π
2, t =
4
3π
r = 3, t =
2
r=
r = 2, t =
−π
3
r = 1, t = kπ
2π
3
kπ
r = 1, t =
2
Ex. 3 —
Déterminer le module et l’argument de
p
p
z
6+i 2
z1 =
,
z2 = 1 + i, z = 1
2
z2
En déduire les valeurs de cos
7π
7π
et sin
.
12
12
p 2017
1. Calculer 1 + i 3
.
p
4
2. Résoudre z = 8(1 − i 3).
Ex. 5 —
Soit u =
Résoudre dans C le système
¨
z1 + z2 = 1 + i
z1 z2 = 2 − i
Ex. 14 —
p
Résoudre dans C z 3 = 4 2(1 + i).
Ex. 15 —
Résoudre dans C |z + 1| = |z| + 1.
Ex. 16 —
Résoudre les équations suivantes dans C :
1. z 2 − 2θ +1 cos θ z + 22θ = 0 ;
4
13
2. z 2 −
z+
− 9 = 0, θ ∈]0, π [ ;
sin θ
sin2 θ
3. 2z 2 (1 − cos 2θ ) − 2z sin 2θ + 1 = 0, θ ∈]0, π [ ;
Ex. 4 —
p
Ex. 13 —
r = 2, t =
4. z 2 − 2iz − 1 + 2i = 0 ;
p
p
p
2 − 2 − i 2 + 2.
5. iz 2 + iz + 1 + i = 0 ;
6. z 2 − 2eiθ z + 2i sin θ eiθ = 0 (on écrira les racines
1. Calculer u2 puis u4 .
sous forme trigonométriques).
2. En déduire module et argument de u.
3π
3. Calculer cos
.
8
Ex. 17 —
Simplifier les expressions (n ∈ N, θ ∈ R)

‹
1 + i tan θ n
(1 + cos θ + i sin θ )n ,
1 − i tan θ
Ex. 6 —
1. Pour t ∈ R, résoudre l’équation d’in-
connue complexe z : z 2 + 2tz + 1 = 0 (E t )
2. Quel est l’ensemble Ω des points Mz d’affixe z , où
z est solution de (E t ), lorsque t décrit R ?
Ex. 18 —
1 + cos θ + i sin θ
.
1 − cos θ − i sin θ
Déterminer Re(z), Im(z), |z| et arg(z).
Ex. 7 —
Soit θ ∈ R \ 2π Z et z =
Ex. 8 —
Soit (α, β ) ∈ [0 ; 2π [2 . Déterminer le mo-
dule et l’argument des nombres complexes suivants :
z1 = 1 + eiα ;
Ex. 9 —
z2 =
1
;
1 + eiα
iβ
z3 = eiαe .
Résoudre les équations d’inconnue réelle x
p
2
1. cos 3x − sin 3x =
;
2
p
2. cos 2x − 3 sin 2x = 2 cos x ;
p
3.
3 cos x + sin x > 1.
Ex. 19 —
Pour a ∈ R, résoudre le système d’équa-
tions d’inconnues réelles x et y :
¨
cos a + cos(a + x) + cos(a + y) = 0
sin a + sin(a + x) + sin(a + y) = 0
Soient V et V 0 des vecteurs d’affixes z et z 0 ,
tels que zz 0 = z 0 z . Que peut-on dire sur V et V 0 ?
Ex. 20 —
Ex. 10 —
Déterminer les complexes z telles que z , z −
1 et 1/z aient le même module.
Résoudre dans C les équations
1. ez = −4 ;
2. ez = 2i ;
3. ez = 1 + i ;
p
4. e2z = 3 − i ;
p
2−2
5. eiz =
(1 + i) ;
2
6. e(1+i)z = i.
Ex. 21 —
Soit u = e
2iπ
7
a) en reconnaissant dans Zn = Cn + iSn la
somme des premiers termes d’une suite géométrique ;
b) en calculant sin(x/2)Cn et sin(x/2)Sn au
moyen de sommes télescopiques.
n
X
2. En déduire le calcul de
k cos(kx) et de
. On pose S = u + u2 + u4 et
T = u3 + u5 + u6 . Calculer S et T (on pourra calculer
n
X
leur somme et leur produit).
k=1
k sin(kx), où x ∈ R.
k=1
Ex. 22 —
On souhaite résoudre l’équation d’inconnue
Ex. 30 —
z∈C
et n ∈ N . On donnera le résultat sous forme d’un réel.
n  ‹
X
n
1. S1 =
cos (kx) ;
k
k=0
n  ‹
X
n
2. S2 =
cos (3k + 1)x ;
k
k=0
n  ‹
X
n
3. S3 =
cos2 (kx).
k
k=0
(E) z 4 − 4(1 + i) z 3 + 12i z 2 + 8(1 − i) z − 5 = 0
1. Déterminer les solutions réelles de (E).
2. Déterminer les solutions imaginaires pures de (E).
3. En déduire une factorisation de (E) puis résoudre
complètement (E).
Ex. 31 —
Complexes et trigonométrie
cos 4x ,
sin 4x ,
n
X
i − nin − (n + 1)in+1
2
ki k−1 =
k=1
Pour quelles valeurs de n le complexe
p 5
n
pa f (1 − i 3) (1 − i)3 est un réel positif ?
Calculer
Démontrer que
∀n ∈ N∗ ,
Ex. 23 —
Ex. 24 —
Calculer les sommes suivantes, avec x ∈ R
∗
En déduire la valeurs des sommmes réelles
S1 = 1 − 3 + 5 − 7 + · · · + (−1) p (2p + 1)
sin x cos 3x ,
S2 = 2 − 4 + 6 − 8 + · · · + (−1) p+1 2p
cos 2x sin 2x en fonction de sin x , de cos x et de leurs
puisances.
Ex. 25 —
Divers
1. Calculer cos(5x) et sin(5x) en fonc-
tion respectivement de cos x et sin x .
Ex. 32 —
2. En déduire une équation polynômiale de degré 5
dont cos (π /10) est solution.
les
.
(1 + j)5 ,
cos2 x sin x ,
produits
2
2. Simplifier les expressions
sion de cos (π /10) utilisant des racines carrées.
Linéariser
2i π
3
1. Calculer j , 1 + j + j .
3
3. Résoudre cette équation, et donner une expres-
Ex. 26 —
On pose j = e
cos3 x sin2 x et cos3 x sin4 x .
1
4
(1 + j)
,
1
1 − j2
3. Montrer que si α et β sont deux réels, alors
4
4
4
6
Ex. 27 —
Linéariser cos t et cos t sin t et sin t .
Ex. 28 —
Soit a ∈ R et z ∈ C.
α + jβ = 0
=⇒
α=β=0
En déduire une condition nécessaire et suffisante
1. Résoudre z 2 + 2z cos a + 1 = 0.
sur (a, b, c) ∈ R3 pour que l’on ait a + b j + c j 2 = 0.
2. Interpréter, pour z réel, z + 2z cos a + 1 comme
2
Ex. 33 —
un module.
Montrer que les images de a, b et c sont alignés
b−a
ssi
∈ R.
c−a
2. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels
3. Résoudre z 2n − 2z n cos(na) + 1 = 0.
Ex. 29 — Un classique Soit x ∈ R et soit n ∈ N. On
n
n
X
X
pose Cn =
cos(k x) et Sn =
sin(k x).
k=0
1. Soit a, b et c trois complexes distincts.
que les points B , M et M 0 d’affixes respectives i, z
k=0
et iz soient alignés.
1. On demande de calculer Cn et Sn de deux façons :
3. Même question pour que B , M et M 0 forment un
triangle équilatéral.
2
Ex. 34 — Une formule de sommation
Ex. 44 —
a+b
.
1 − ab
1. Démontrer la formule
1
1
=
(tan a − tan b)
cos a cos b
sin(a − b)
Ex. 45 —
Préciser les ensembles de définition.
Soient (z1 , z2 , . . . , zn ) ∈ Cn .
n
n
X
X
|z |.
zk ¶
1. Montrer k=1 k=1 k
2. Étudier les cas d’égalité de la formule précédente.
n et p sont chacun la somme des carrés de
deux entiers. Montrer que c’est aussi le cas de leur produit np.
4z 2 + 8 |z|2 − 3 = 0.
Ex. 47 —
Résoudre
Ex. 48 —
Résoudre l’équation suivante, sachant qu’il
y a une solution imaginaire pure :
Indication : n et p peuvent être interpréter à l’aide des modules
(i − 1)z 3 − (5i − 11)z 2 − (43 + i)z + 9 + 37i = 0
de deux complexes.
Soit a ∈ R et n ∈ N∗ . Résoudre l’équation
Ex. 49 —
d’inconnue réelle x cos a + cos(a + x) + cos(a + 2x) +
Soit ϕ : C −→ C
1. Montrer que toute droite du plan a
pour équation complexe : az + az = b avec a ∈
· · · + cos(a + nx) = 0.
Ex. 38 —
Montrer que
Ex. 46 —
Ex. 35 — Soit θ ∈ R fixé. On considère z ∈ C tel que
1
1
z + = 2 cos θ . Que vaut z n + n ? (On pourra montrer
z
z
que |z| = 1.)
Ex. 37 —
a+b
et
a−b
n+2
nπ
(1 + i)n − (1 − i)n
= 2 2 sin
i
4
2. Soit n ∈ ¹ 3 ; + ∞ ¹. Calculer, lorsqu’elle a un
n
X
1
sens, la somme
.
cos(k − 1)x cos k x
k=2
Ex. 36 —
Soit a = eiα et b = eiβ . Simplifier
C ∗ , b ∈ R.
2. Soient a, b, c ∈ C, a, b non tous deux nuls. Discu-
.
z 7−→ iz + z
ter la nature de E = {z ∈ C tel que az + bz = c}.
Réponse : si |a| =
6 |b| : une solution unique,
1. Déterminer ϕ ◦ ϕ. Que peut-on en déduire pour
si |a| = |b| : une droite ou ∅.
ϕ?
2. Soit Z ∈ C, déterminer ϕ−1 ({Z}). Représenter
Ex. 50 —
ϕ−1 ({Z}) sur un dessin.
Trouver a, b, c trois complexes de module
1 tels que a + b + c = 1 et abc = 1.
3. Déterminer ϕ ⟨C⟩.
Réponse : (0, a, a+b, a+b+c = 1) forme un losange donc l’un
des nombres vaut 1 et les deux autres sont opposés {a, b, c} =
Ex. 39 —
1. Déterminer les complexes z qui véri-
{1, i, −i}.
fiant z = Re z + Im z .
Ex. 51 —
2. Retrouver ce résultat en utilisant les cas d’égalité
et z , calculer l’affixe du symétrique de M par rapport à
dans l’inégalité triangulaire.
Ex. 40 —
Les points A, B , et M ayant pour affixes a, b,
la droite (AB).
n
Soit n ∈ N. Simplifier l’expression (1 + i) +
Réponse : z 0 =
n
(1 − i) .
Ex. 52 —
Ex. 41 — Identité du parallélogramme
(b − a)z + a b − ab
b−a
.
Soit z ∈ C et p et q ses racines carrées.
À quelle condition z, p, q forment-ils un triangle rec-
Soient u et v deux complexes. Montrer que :
|u + v|2 + |u − v|2 = 2 |u|2 + |v|2 . Interpréter
tangle en z ?
Réponse : cercle circonscrit ssi |z| = 1.
géométriquement.
Ex. 42 —
Résoudre dans C les équations :
p 1. z − 5 + 4i 3 z + 9 = 0

‹

‹

‹
z+i 3
z+i 2
z+i
2.
+
+
+1=0
z−i
z−i
z−i
3. z 6 − (1 − i) z 3 − i = 0
2
Ex. 43 — Soit θ ∈ R fixé. On considère z ∈ C tel que
1
1
z + = 2 cos θ . Que vaut z n + n ? (On pourra montrer
z
z
que |z| = 1.)
3