Cours de mathématiques

Calvin
2015-2016
Licence Creative Commons
Cours
de
mathématiques
e
2
année
Jann W EISS
SOMMAIRE
1 Les fonctions
5
1.1 Une fonction à partir d’un tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Une fonction à partir d’un graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Remplissage d’un récipient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Déplacement d’une voiture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Fonctions à partir d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Suite de « Une fonction à partir d’un tableau » . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Opérations sur les graphiques de fonction . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Variantes autour de la chute d’un corps . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Tableau de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Équation d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 La fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Résumé sur les fonctions « carré» et «inverse» et leur transformations
1.10 Quelques notions importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Les fonctions polynômes
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
7
7
7
8
8
9
13
13
13
16
17
17
19
20
21
23
Définition et terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Division euclidienne d’un polynôme A par un polynôme B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation graphique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les fonctions « puissances » x 7→ x n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse de quelques polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Symétries diverses dans les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Faire le point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Savoir reconnaître un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2 Connaître des situations particulières pouvant être représentées par des fonctions polynomiales
2.10.3 Polynômes de degré > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Fonctions polynômes et fonctions rationnelles
25
27
27
32
34
36
38
39
40
41
41
42
43
45
3.1 Représentation graphique des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Équations et inéquations
50
53
4.1 Équations avec des valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Équations du second degré (ou s’y ramenant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Équations bicarrées ou par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Équations irrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Les inéquations du 1er degré à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 LES PROPRIÉTÉS DES INÉGALITÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 LA RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION DU 1er DEGRÉ À UNE INCONNUE
4.4.3 Les demi-droites et les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Les systèmes d’inéquations à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Les inéquations rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Inéquations et valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Encore les fonctions
55
55
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58
59
59
60
60
61
61
62
64
64
66
5.1 Applications, fonctions, domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Injections, surjections et bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
68
68
5.1.2 Applications composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Interprétation géométrique de la réciproque d’une fonction bijective
5.3 Recherche de la fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Présentations alternative pour l’injection, la surjection et la bijection
5.4.1 Injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Explication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5 Test algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Fonction logarithme et fonction exponentielle
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
82
Exploration du logarithme népérien avec la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problème d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Rappel sur la représentation graphique d’une fonction et de sa réciproque . . . . . .
6.4.2 Représentation graphique du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriétés des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation des situations de croissance ou de décroissance par la fonction exponentielle
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équations logarithmiques et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.1 Équations logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.2 Équations exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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84
84
84
86
87
87
88
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90
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103
103
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108
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110
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112
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118
118
119
120
120
120
122
125
127
7 Fonctions trigonométriques
7.1 Le théorème de Thalès (rappel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Configurations de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Résolution de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Résolution de triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Résolution de triangles quelconques . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Les angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Unités pour la mesure d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Conversions d’unités angulaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Angle au centre et arc intercepté . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.4 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Projection d’un escalier tournant (hélice) . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Réalisation pratique d’une hélice . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Approche analytique de la projection d’une hélice . . . . . . . . . .
7.7.1 Fonction sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.2 Fonction cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Quelques propriétés remarquables des fonctions trigonométriques
7.8.1 Valeurs remarquables du sinus et du cosinus . . . . . . . . . .
7.8.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.3 Angles complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.4 Angles associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.5 Sinus et arcsinus, cosinus et arccos sur la calculatrice . . . .
7.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 Équations trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11 Exercices divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
70
71
77
77
78
79
79
79
98
.
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CHAPITRE
1
Les fonctions
6
C
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CHAPITRE 1. LES FONCTIONS
7
Si une notion est fondamentale en mathématiques, c’est celle de fonction. Son étude est même l’objet d’une
discipline particulière des mathématiques : l’analyse. Ce chapitre commencera par l’observation de tableaux,
de graphiques, puis continuera par l’étude de formules qu’on appellera les expressions analytiques des fonctions.
1
Une fonction à partir d’un tableau
Pour couvrir les besoins collectifs, l’État récolte des fonds sous diverses formes (impôts directs, impôts indirects
ou taxes). En Suisse, le prélèvement de l’impôt direct se fait à trois niveaux différents : communal, cantonal et
fédéral. Nous examinerons ici l’imposition des personnes physiques en 1997, vivant seuls et au niveau fédéral.
Les revenus sont décomposés en tranches et pour chaque tranche un taux d’imposition spécifique est appliqué.
Ainsi, pour un revenu de 30 000 fr., par exemple, on calculera un impôt pour chacune des 3 premières tranches
que l’on cumulera pour arriver à l’impôt total :
0 + (25300 − 11600) · 0, 77% + (30 000 − 25 300) · 0, 88% = 146, 85fr.
De
Jusqu’à
Taux
d’imposition par
tranche
Impôt par
tranche
1
0
11 600
0%
0
2
11 600
25 300
0,77%
105,50
3
25 300
33 100
0,88%
4
33 100
44 100
2,64%
5
44 100
57 900
2,97%
6
57 900
62 400
5,94%
7
62 400
82 700
6,60%
8
82 700
107 500
8,80%
9
107 500
140 500
11,00%
10
140 500
603 000
13,20%
11
603 000
taux max.
11,50%
Tranche
Impôt cumulé
0
105,50
a) Pour se familiariser avec ce tableau, calculer l’impôt dû pour un revenu imposable annuel de 50 000 fr.,
125 000 fr. et de 850 000 fr.
b) Si x désigne le revenu imposable annuel, donner pour chaque tranche la formule (on dit aussi l’expression analytique) qui permet de trouver l’impôt i (x).
c) Que penser de l’affirmation : « Cela ne sert à rien que je travaille plus, je vais tomber dans une tranche
d’impôt supérieur et je gagnerai finalement moins que maintenant. »
d) Que penser de l’affirmation : « L’impôt fédéral représente à peu près 5% du revenu imposable annuel. »
e) Quel doit être le revenu imposable annuel pour que le taux d’imposition soit de 10% ?
f) Examiner ce qu’apporte une représentation graphique des questions ci-dessus. À l’intérieur d’une tranche,
que montre la représentation graphique ? Comment justifier cette observation ? Que vaut, à l’intérieur
d’une tranche, le rapport entre la différence des ordonnées et la différence des abscisses ?
g) Pour prouver ce dernier résultat, considérer deux revenus x et x + ∆x dans une tranche, et calculer le
rapport demandé. Ce dernier est appelé le taux d’accroissement à l’intérieur d’une tranche.
h) Comment trouver graphiquement le revenu pour lequel l’impôt s’élève à 10% du revenu imposable annuel.
Une fonction à partir d’un graphique
2 1 Remplissage d’un récipient
On verse de l’eau dans un récipient qui a la forme d’un cône tronqué et renversé. Le débit est constant et on lit
la hauteur atteinte par l’eau à différents instants.
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C
2
8
1.3. FONCTIONS À PARTIR D’UNE FORMULE
Cette situation peut être représentée
par un graphique. Pour un récipient
de forme donné, on a mis en ordonnée la hauteur atteinte par l’eau au
fur et à mesure du remplissage, et, en
abscisse, le temps.
On peut varier à souhait la forme du
récipient et obtenir des graphiques
présentant des courbes d’allures fort
différentes.
hauteur de l'eau (cm)
30
25
20
15
10
5
a) Quelle va être la courbe du graphique si le verre a la forme
d’un ballon.
5
1
temps (sec)
hauteur de l'eau (cm)
30
b) Quelles sont tous les verres
dont le remplissage à débit
constant donne lieu à la représentation graphique d’une
droite ? Que représente la pente
de la droite ?
25
20
15
10
5
c) Trouver la forme d’un récipient
dont la courbe de remplissage
présente un saut.
5
1
temps (sec)
Finalement, il est intéressant de s’interroger sur le type de graphique qui ne correspondrait pas à la représentation du remplissage d’un verre d’eau. En particulier, par rapport aux courbes possibles, quelle est la particularité d’une courbe qui revient sur elle-même (ellipse, cercle, spirale ...) ?
2 2 Déplacement d’une voiture
distance
(en km)
La figure ci-contre représente le déplacement
d’une voiture dont le mouvement est uniforme (vitesse constante).
3
1. Expliquer pourquoi les occupants de ce véhicule ont peu de chance de survivre à un tel
déplacement si ce graphique représentait le
vrai mouvement du véhicule.
2
1
2. Quel serait un graphique beaucoup plus
plausible pour un véhicule ? Présenter différentes possibilités.
0
0
2
3
Fonctions à partir d’une formule
Généralement, les fonctions sont données par le biais de formules. Par exemple, un objet en chute libre d’une
altitude de 300 m, a son mouvement qui est décrit par l’expression :
h = 300 −
g t2
2
où g ≈ 9, 81m/s2
Comme g est une constante, la hauteur h à laquelle se trouve l’objet dépend uniquement du temps t qui s’est
écoulé depuis le début de la chute ; h est donc fonction de ce temps t , et on écrit
h(t ) = 300 −
g t2
2
ou encore
g t2
2
Il est plus correct d’utiliser cette dernière écriture pour désigner une fonction que la précédente. En effet, h(t )
indique au sens strict la valeur de la hauteur h à un instant donné t , alors que la dernière formulation indique
un objet mathématique h qui est une fonction.
La fonction (ou application, ces termes sont considérées comme de proches synonymes) de notre exemple
h : t ,→ 300 −
associe, à tout nombre t , un nombre qui s’obtient par la formule 300−
g t2
2 . Ce dernier nombre s’appelle
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3
1
temps
(en minutes)
l’image
CHAPITRE 1. LES FONCTIONS
9
de t par l’application h et il est noté h(t ). Il est assez évident que le choix des valeurs pour t peut être assorti de
certaines contraintes. Ici, t ∈ R+ : le temps est positif ! La définition complète de notre fonction est donc
h : R+ −→
t
R
−→ 300 −
g t2
2
R+ est le domaine (ou l’ensemble de départ) de la fonction h.
Suite de « Une fonction à partir d’un tableau »
De
Jusqu’à
Taux
d’imposition par
tranche
1
0
11 600
0%
2
11 600
25 300
3
25 300
4
Tranche
Impôt par
tranche
Impôt cumulé
0
0
0,77%
105,50
105,50
33 100
0,88%
68,65
174,15
33 100
44 100
2,64%
290,40
464,55
5
44 100
57 900
2,97%
409,85
874,40
6
57 900
62 400
5,94%
267,30
1141,70
7
62 400
82 700
6,60%
1339,80
2481,50
8
82 700
107 500
8,80%
2182,40
4663,90
9
107 500
140 500
11,00%
3630
8293,90
10
140 500
603 000
13,20%
61050
69343,90
11
603 000
taux max.
11,50%




0







(x − 11600) · 0.0077







105.5 + (x − 25300) · 0.0088






174.05 + (x − 33100) · .0264







464.45 + (x − 44100) · 0.0297



i (x) = 874.30 + (x − 57900) · 0.0594






1141.6 + (x − 62400) · 0.066







2481.4 + (x − 82700) · 0.088






4663.8 + (x − 107500) · 0.11







8293.8 + (x − 140500) · 0.132






69343, 80 + (x − 603000) · 0.115
si
x ≤ 11600
si
11600 < x ≤ 25300
si
25300 < x ≤ 33100
si
33100 < x ≤ 44100
si
44100 < x ≤ 57900
si
57900 < x ≤ 62400
si
62400 < x ≤ 82700
si
82700 < x ≤ 107500
si
107500 < x ≤ 140500
si
140500 < x ≤ 603000
si
603000 < x
Dans les deux graphiques qui suivent, les revenus x sont placés sur l’axe des abscisses et les impôts sur l’axe
des ordonnées. À chaque revenu x correspond un impôt i (x), et un seul (c’est ce qui caractérise une fonction
ou application par opposition à une relation quelconque). Chaque couple (x ; i (x)) représente un point dans
ce repère et l’ensemble de tous les points (x ; i (x)) est appelé le graphique de la fonction i .
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4
Une fonction est une relation telle que tout élément de l’ensemble de départ a une et une seule image
dans l’ensemble d’arrivée.
C
Définition 1 - 1
1.4. SUITE DE « UNE FONCTION À PARTIR D’UN TABLEAU »
À l’intérieur d’une tranche d’imposition, le graphique est composé d’un
morceau de droite. En effet, si on considère par exemple la tranche de
revenus allant de 107 600 à 140 500, on voit qu’en augmentant le revenu
de 1 000 fr., l’impôt, lui, augmente de 110 fr. S’il augmente de 5 000 fr.,
l’impôt augmente de 550 fr.
Le rapport de la différence des ordonnées à la différence des abscisses
de deux points est constante : il est égal au taux de la tranche, ici 11%.
On peut le prouver de la manière suivante.
+550
+220
+1 000
+110
+2 000
+5 000
On considère deux revenus x et x + ∆x (où ∆x représente une quantité différente de 0) dans une tranche. Pour
ces deux revenus, on a l’impôt :
i (x) = 107600 + 0.11(x − 107500)
i (x + ∆x) = 107600 + 0.11(x + ∆x − 107500)
le rapport de la différence des ordonnées à la différence des abscisses donne
i (x + ∆x) − i (x) 0, 11∆x
=
= 0, 11
x + ∆x − x
∆x
Ce rapport est désigné par le terme de taux d’accroissement à l’intérieur de la tranche.
L’avantage d’un graphique est de donner une image immédiate d’une fonction : elle permet d’estimer pour
chaque revenu l’impôt (on parle de l’image d’une valeur de x), ou réciproquement d’estimer le revenu lorsqu’on connaît l’impôt (pré-image d’une valeur de i ). On voit aussi immédiatement le caractère croissant ou
l’absence de saut dans une fonction. Enfin, si l’on veut savoir quel est le revenu dont l’impôt s’élève à 10% de
ce revenu, alors la réponse est donnée par l’intersection du graphique de i et de la droite d’équation y = 0, 1x.
On voit aussi que l’impôt est toujours inférieur à 12% du revenu.
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10
CHAPITRE 1. LES FONCTIONS
6000
4000
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10000
8000
2000
11
120000
100000
80000
60000
40000
20000
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20000
40000
60000
80000
200000
400000
600000
800000
1.4. SUITE DE « UNE FONCTION À PARTIR D’UN TABLEAU »
C
12
CHAPITRE 1. LES FONCTIONS
Opérations sur les graphiques de fonction
5 1 Variantes autour de la chute d’un corps
Nous avons vu que la hauteur d’un objet lâché à trois cents mètres au-dessus du sol est donnée par la fonction
h : t 7→ 300 −
g t2
2
ou
a) Si g (t ) est la hauteur en fonction du temps d’un
autre objet lancé en même temps que le précédent, mais d’une hauteur de 200 m, quelle
sera l’expression analytique de g ? Exprimer g
en fonction de h. Dessiner les courbes représentant h et g .
b) Faire la même chose pour un 3e objet lâché
d’une hauteur de 200 m, mais 3 secondes plus
tard. On désignera la fonction par k.
c) Que devient h(t ) si le premier objet est lâché
sur la lune où l’accélération due à la gravitation
est six fois moins grande ? On désignera la nouvelle fonction par i .
h(t ) = 300 −
g t2
2
300
250
200
150
100
50
d) Faire correspondre à chacune des courbes
dans la figure ci-contre l’une des fonctions précédentes.
5
15
10
20
5 2 Généralisation
35
Cf
25
30
Ch
Cg
25
+2
20
15
Cf
15
Cf
10
+8
5
-3
5
-3
1
-1
3
-4
-5
2
-2
+8
1
3
4
6
-5
Ci
+2-15
-15
F IGURE 1.1 – Translation verticale de la courbe : g (x) = f (x) + 8
-1
-10
-20
-30
F IGURE 1.2 – Translation horizontale : h(x) = f (x − 2)
F IGURE 1.3 – Dilatation ou compression : i (x) = 2 · f (x)
Les trois figures 1.1-1.3 montrent trois transformations standards d’une courbe qui se traduisent par certaines
modifications de l’expression algébrique de la fonction de départ f .
Dans la figure 1.1, la courbe représentant g a été obtenue en déplaçant verticalement celle représentant f .
Ainsi pour chaque x, on a g (x) = f (x) + 8.
La figure 1.2 montre que f et h ont les mêmes ordonnées avec un décalage de 2 sur les abscisses. Plus précisément, f (x) atteint une certaine valeur y en x, alors que h(x) atteint cette même valeur y en x + 2, donc
h(x +2) = f (x) ou encore h(x) = f (x −2). En d’autres termes, les valeurs pour h(x) sont celles obtenues 2 unités
avant pour f , c’est-à-dire f (x − 2).
La figure 1.3 montre l’effet obtenu sur une courbe lorsque la fonction de base f a été multipliée par une
nombre : i (x) = 2 · f (x).
Connaissant l’expression de f , on peut trouver celle de g , h et i .
f (x) = 0, 3x 4 − 3x 2 − 4
g (x) = f (x) + 8 = 0, 3x 4 − 3x 2 + 4
h(x) = f (x − 2) = 0, 3(x − 2)4 − 3(x − 2)2 − 4 = 0, 3x 4 − 2, 4x 3 + 4, 2x 2 + 2, 4x − 11, 2
i (x) = 2 · f (x) = 0, 6x 4 − 6x 2 − 8
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5
13
14
1.5. OPÉRATIONS SUR LES GRAPHIQUES DE FONCTION
Ces trois types de transformations créent une famille de fonctions à partir d’une fonction de base f . Tout
membre g de cette famille peut s’exprimer à partir de f de la manière suivante :
g (x) = k · f (x − h) + v
Important
où les différents paramètres représentent
— k : la contraction ou dilatation verticale effectuée sur la courbe ;
— h : le déplacement horizontal de la courbe. Il faut noter le signe négatif dans l’argument de f . Ainsi,
pour une translation de 2 unités vers la droite, h prendra simplement la valeur 2, le signe négatif lié
à ce type de déplacement se trouvant déjà dans l’argument de f ;
— v : le déplacement vertical de la courbe.
Ces trois transformations ne changent pas les caractéristiques générales d’une courbe. Une parabole restera
une parabole. Ainsi, en partant de la fonction de base f (x) = x 2 , ces transformations donneront lieu à un ensemble de fonctions dont l’expression analytique sera de la forme g (x) = ax 2 + bx + c et dont la représentation
graphique sera toujours des paraboles dont l’axe de symétrie est vertical. En effet
g (x) = k · (x − h)2 + v = k · (x 2 − 2hx + h 2 ) + v = kx 2 − 2khx + (kh 2 + v) = ax 2 + bx + c
Inversement, toute fonction dont l’expression algébrique est de la forme g (x) = ax 2 + bx + c a une représentation graphique qui est une parabole dont l’axe de symétrie est vertical. Pour le montrer, il suffit de compléter le
carré :
¸
µ
¶
·µ
µ
¶
¶
b 2 b2
b 2 b2
b
+c
g (x) = ax 2 + bx + c = a x 2 + x + c = a x +
− 2 +c = a x +
−
a
2a
4a
2a
4a
µ
¶
¶
µ
b 2 b 2 − 4ac
b 2 b 2 4ac
+
=a x+
(∗)
−
−
=a x+
2a
4a
4a
2a
4a
b
On trouve ainsi que : h = − 2a
, v = −b
2 −4ac
4a
et k = a. Le sommet de la parabole a donc les coordonnées
µ
¶
b
b 2 − 4ac
S −
;−
2a
4a
En cherchant les zéros de g à partir de la forme donnée en (∗), il n’est pas trop difficile de trouver la formule
permettant de résoudre les équations du second degré (formule avec le discriminant).
Toute fonction quadratique a une représentation graphique qui est une parabole avec un axe de symétrie
vertical et toute parabole avec un axe de symétrie vertical représente une fonction quadratique.
1 -1
Trouver les expressions algébriques des fonctions représentées par les paraboles suivantes :
-4
5
5
3
3
3
1
1
1
-2
2
4
-4
-2
4
2
-4
-2
-1
-1
-1
-3
-3
-3
-5
-5
-5
5
5
5
3
3
3
1
1
1
-2
2
4
-4
-2
4
2
-4
-2
-1
-1
-1
-3
-3
-3
-5
-5
-5
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-4
5
C
Théorème 1 - 1
2
4
2
4
CHAPITRE 1. LES FONCTIONS
15
1 -2
Montrer que la fonction g (x) = ax 2 + bx + c peut s’écrire sous la forme g (x) = k · f (x − h) + v avec f (x) = x 2 .
1 -3
Esquisser le graphe des fonctions g (x) = x 2 − 6x − 5, h(x) = x 2 − x + 3 et i (x) = 2x 2 − 3x − 1 en partant de la
fonction de base f (x) = x 2
1 -4
1. Représenter graphiquement la fonction :
f : x 7→
1
x
2. Quelles sont les particularités de cette fonction ?
3. Esquisser sur le même graphique la représentation de la fonction g : x 7→
4. Idem, mais avec h : x 7→ 1 −
1
.
x −2
1
.
x −2
Un fonction homographique est une fonction de la forme
Définition 1 - 2
f : x 7→
ax + b
cx + d
avec c 6= 0 et (a, b) non proportionnel à (c, d), c-à-d. ad 6= bc
Nous avons ainsi un résultat similaire à celui obtenu avec les fonctions quadratiques, mais cette fois avec les
fonctions homographiques dont la représentation graphique est une courbe appelée hyperbole.
Toute fonction homographique a une représentation graphique qui est une hyperbole avec des asymptotes parallèles aux axes de coordonnées et toute hyperbole avec des asymptotes parallèles aux axes de
coordonnées représente une fonction homographique.
En effet, puisque f (x) = x1 a une courbe représentative qui est une hyperbole, c’est aussi le cas pour g (x) =
1
+v, cette dernière fonction ayant une courbe représentative obtenue par déplacement et/ou contraction
k · x−h
de celle représentant f (x) = x1 . Cette fonction g peut être réécrite sous la forme
g (x) = k ·
1
k
v(x − h) v x + (k − vh)
+v =
+
=
x −h
x −h
x −h
x −h
Ainsi, toute hyperbole avec des asymptotes parallèles aux axes de coordonnées représente une fonction homographique particulière.
Inversement, toute fonction homographique a une courbe représentative qui une hyperbole. Il suffit de montrer que le changement d’écriture ci-dessus peut se faire dans l’autre sens. Nous allons le voir avec les exercices
suivants. Plus tard, nous verrons avec la division polynomiale une méthode plus directe.
1 -5
Récrire la fonction
g : x 7→
x +1
x −3
sous la forme
avec f (x) =
g : x 7→ k · f (x − h) + v
1
x
1 -6
Même exercice avec f (x) =
x −2
x −2
2x − 3
x −3
, g (x) =
, h(x) =
et i (x) =
.
x +5
x
x +5
2x + 5
\
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Théorème 1 - 2
16
1.5. OPÉRATIONS SUR LES GRAPHIQUES DE FONCTION
1 -7
Trouver les expressions analytiques des fonctions représentées par les hyperboles suivantes :
6
3
4
1
-3
-1
-1
2
1
3
5
-3
-3
-5
-1
1
3
-5
-2
4
6
2
4
-4
-2
2
4
2
-2
-1
-3
1
3
5
-4
-2
5 3 Tableau de signes
Une manière de caractériser une fonction est de décrire sur quels intervalles elle est positive et sur quels intervalles elle est négative. Dans le cas d’un polynôme, cette information s’obtient en factorisant le polynôme, puis
en dressant le tableau de signes.
Exemple 1 :
f (x) = x 2 − 5x + 6
Exemple 2 :
2
−∞
x
Comme f (x) = x 2 −5x +6 = (x −2)(x −3), le signe
de f s’obtient en regardant le produit des signes
des parties linéaires x − 2 et x − 3.
x −2
–
x −3
–
f (x)
+
0
0
3
+
+∞
+
–
0
+
–
0
+
f (x) = −x 2 + 7x − 12
Comme f (x) = −x + 7x − 12 = (x − 3)(−x + 4), le
signe de f s’obtient en regardant le produit des
signes des parties linéaires x − 2 et x − 3.
3
−∞
x
2
x −3
–
−x + 4
+
f (x)
–
0
0
4
+
+∞
+
+
0
–
+
0
–
1 -8
Faire le tableau de signes des fonctions suivantes :
2) g (x) = x 2 − 2x − 5
5) j (x) = x 3 − 8x 2 + 15x
3) h(x) = −4x 2 − 2x + 6
6) k(x) = (x 2 − 1)(x − 5)(x + 1)(x − 1)
\
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1) f (x) = x 2 + 3x − 4
4) i (x) = 2x 2 − 11x + 15
CHAPITRE 1. LES FONCTIONS
6
17
Équation d’une courbe
Dans un système de coordonnées cartésiennes, une courbe est un ensemble de points de coordonnées (x ; y).
Une équation liant les coordonnées x et y permet de déterminer algébriquement la courbe.
Par exemple, la courbe d’équation x 2 + y 2 = 9 est un cercle de rayon 3 et centrée à l’origine (0 ; 0) (vérification
en exercice).
L’équation général du cercle est
y
(x − h)2 + (y − k)2 = r 2
P ( x; y )
r
Si h = 0, k = 0 et le rayon r = 3, on retrouve l’équation ci-dessus.
Il n’est pas possible d’exprimer la relation entre x et y de telle sorte
C( h ; k)
que y soit donné uniquement en fonction de x. Ce n’est donc pas
x
une relation de type « fonction » !
h)2
(x
(y
k) 2
r2
1 -9
Donner l’équation d’un cercle de centre C(−2 ; 3) et passant par le point D(4 ; 5).
1 - 10
Vérifier que
x 2 + y 2 + 4x − 6y − 27 = 0
est l’équation d’un cercle
1 - 11
Déterminer le centre et le rayon du cercle d’équation
3x 2 + 3y 2 − 12x + 18y = 9.
1 - 12
Déterminer l’équation des demi-cercles supérieur, inférieur, de droite et de gauche du cercle x 2 + y 2 = 81.
Dégager, si possible, des fonctions !
Exercices
1 - 13
Évaluer les points d’intersection des graphiques de y = 2x–1 et y = x 2 –3.
1 - 14
Déterminer les points d’intersection des cercles x 2 + y 2 = 25 et x 2 + y 2 –4y = 12.
1 - 15
Trouver les coordonnées du point symétrique au point M(a ; b), par rapport à l’origine des coordonnées.
1 - 16
Trouver les coordonnées des points symétriques aux points A(2 ; 7), et par rapport à la bissectrice du premier
quadrant.
1 - 17
Parmi les courbes suivantes, trouver celles qui passent par l’origine
b) x 2 + y = 12
a) x + y = 0
1 - 18
Quelles sont les courbes définies par les équations suivantes ? Construire ces courbes
a) x − y = 0
b)x − 2 = 0
c) y − 5 = 0
e) x − x y = 0
f) x − y = 0
g) y − 9 = 0
i) x 2 + y 2 = 16
2
2
m) x + 2y = 0
q) (x y)2 = 1.
2
2
j) (x + 5)2 + (y − 1)2 = 9
n) x y = 2
2
k) x 2 + (y + 3)2 = 1
2
o) x + y = 0
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\
2
C
7
d) x = 0
h) x 2 = y 2
l) 3x − 2y = 0
p) (x − 2)2 + (y + 3)2 + 1 = 0
18
1.7. EXERCICES
1 - 19
Trouver les points d’intersection des courbes avec les axes (Ox) et (Oy).
a) x 2 + y 2 = 49
b) (x + 6)2 + (y − 3)2 = 25
c) x 2 + y 2 − 12x + 16y = 0
d) x 2 + y 2 − 6x + 4y + 12 = 0.
1 - 20
Former l’équation de l’ensemble des points qui se trouvent à une distance b de l’axe (Ox).
1 - 21
Former l’équation de l’ensemble des points qui se trouvent à égale distance des axes de coordonnées.
1 - 22
Soit A(a1 ; a2 ) et
³ B(b 1 ; b 2 ) deux
´ points du plan. Montrer que le milieu du segment AB est donné par la formule :
milieu(A ; B) =
a 1 +b1
2
;
a 2 +b2
2
.
1 - 23
On mène du point C(10; −3) toutes les droites possibles qui coupent l’axe des ordonnées. Former l’équation de
l’ensemble des points milieux de ces segments.
1 - 24
On mène du point C(10; −3) toutes les droites possibles qui coupent les deux axes de coordonnées. Former
l’équation de l’ensemble des points milieux de ces segments formés par les intersections avec les axes.
1 - 25
Former l’équation de l’ensemble des points à équidistance de la droite d’équation y = 1 et du point de coordonnées F(0 ; 3).
1 - 26
Former l’équation de l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points donnés F1 (−3; 0) etF2 (3; 0)
est une quantité constante 10.
1 - 27
Former l’équation de l’ensemble des points à égale distance d’un point donné F(3; 0) et de la droite donnée par
l’équation x + 3 = 0.
1 - 28
Déterminer la fonction affine passant par les points (1 ; 2) et (4 ; −1).
1 - 29
Soit la parabole d’équation y = x 2 . Trouver au point (2 ; 4), l’équation de la tangente à la parabole.
1 - 30
Déterminer la fonction affine f dont la représentation graphique est parallèle à celle de g : x 7→
par le point (1 ; 1).
et passant
Pour les exercices relatifs aux paraboles, il peut être intéressant de consulter le fichier geogebra sur le site
de Calvin.
\
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Remarque
2x+3
5
CHAPITRE 1. LES FONCTIONS
La fonction inverse
Elle a pour expressions algébrique
1
x
f : x 7→
et a pour caractéristiques
— son domaine de définition est R∗ , car 0 n’a pas d’inverse !
− x) = − f (x), en effet : f (−x) =
— la fonction est impaire, c’est-à-dire que f (−
1
−x
— c’est une fonction strictement décroissante sur R+ , car si 0 < x < x ′ , alors
1
x′
= − x1 = − f (x).
Graphiquement, cela signifie qu’elle a un centre de symétrie à l’origine. Rappelons que la fonction « carré
− x) = g (x) puisque g (−x) = (−x)2 = x 2 = g (x). Sa représentation graphique a
» g : x 7→ x 2 est paire, car g (−
un axe de symétrie qui est l’axe (Oy).
< x1 .
Pour la représenter graphiquement, on peut dresser un tableau de valeurs
−4
x
f (x)
−0, 25
−3
− 13
−2
−0, 5
1
−1
1
−1
2
3
4
0, 5
1
3
0, 25
Il se passe quelque chose de particulier pour les grandes valeurs de x et les valeurs de x proche de 0.
Petites valeurs de x
Grandes valeurs de x
x
0,01
0,001
10−6
10−20
x
100
1000
106
1020
f (x)
100
1000
106
1020
f (x)
0,01
0,001
10−6
10−20
Il est possible de rendre f (x) aussi grand que l’on
veut, à condition de prendre x proche de 0 :
f (x) tend vers + ∞ lorsque x tend vers 0.
Il est possible de rendre f (x) aussi proche de 0 que l’on
veut, à condition de prendre x suffisamment grand :
f (x) tend vers 0 lorsque x tend vers + ∞
Le comportement est semblable pour les valeurs négatives de x.
Graphiquement, la courbe C f se rapproche de
l’axe (Ox) (d’équation y = 0) lorsque x prend des
valeurs arbitrairement grandes, et de l’axe (Oy)
(d’équation x = 0) lorsque x prend des valeurs
arbitrairement proche de 0. On dit que les deux
axes sont des droites asymptotes à la courbes C f :
l’une est une asymptote horizontale et l’autre une
asymptote verticale.
En transformant l’expression algébrique de f de la
1
+ 1, on opère sur
manière suivante : g (x) = − x−2
la représentation graphique de f un déplacement
horizontal vers la droite de 2 unités, un déplacement vertical vers le haut de 1 unité et une dilatation d’un facteur −1 :
4
3
Cf
2
1
−4
−3
−2
1
−1
2
3
−1
−2
−3
4
3
−4
Cg
La fonction g peut être réécrite sous la forme :
2
1
−2 −1
−1
−2
g (x) = −
1
2
3
4
5
x −2 x −3
1
+
=
x −2 x −2 x −2
L’ensemble des fonctions obtenues de cette manière
s’appellent les fonctions homographiques.
−3
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8
19
4
20
1.9. RÉSUMÉ SUR LES FONCTIONS « CARRÉ» ET «INVERSE» ET LEUR TRANSFORMATIONS
9
Résumé sur les fonctions « carré» et «inverse» et leur
transformations
Nous avons vu dans ce chapitre deux types de fonction avec certaines de leurs caractéristiques.
f : x 7→ x 2
f : x 7→
1
x
Df = R
D f = R∗
Représentation graphique : parabole
Représentation graphique : hyperbole
Symétrie axiale, d’axe (Oy)
Symétrie centrale, de centre (0, 0)
Sommet de la parabole en S = (0 ; 0)
Deux asymptotes (l’une horizontale, l’autre verticale)
Généralement intersection avec (Ox) : zéros de f
Intersection des asymptotes en (0 ; 0)
En appliquant les trois transformations
• déplacement horizontal : h
• déplacement vertical : v
• contraction/dilatation : k
sur les représentations graphiques de ces deux fonctions, on obtient deux familles
de courbes présentant les mêmes caractéristiques que les courbes de départ. L’expression algébrique des fonctions représentées par ces courbes est simplement :
g (x) = k · f (x − h) + v
Sommet de la parabole en S = (h ; v)
Intersection des asymptotes en (h ; v)
g (x) = k · (x − h)2 + v
complétion
du carré
m
g (x) = k ·
développement
division polynomiale ou ...
g (x) = ax 2 + bx + c
dénominateur commun
ax + b
cx + d
Fonctions homographiques
1. g (x) = 2 · (x − 3)2 + 5
1
+5
x −3
2
5(x − 3)
=
+
x −3
x −3
5x − 13
=
x −3
5x − 13 5(x − 3) + 2
=
2. g (x) =
x −3
x −3
2
1
= 5+
= 2·
+5
x −3
x −3
1. g (x) = 2 ·
2
= 2 · (x − 6x + 9) + 5
= 2x 2 − 12x + 23
2. g (x) = 2x 2 − 12x + 23
m
g (x) =
Fonctions quadratiques
Exemple
= 2(x 2 − 6x) + 23
³
´
= 2 (x − 3)2 − 9 + 23
= 2(x − 3)3 + 5
\
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Exemple
1
+v
x −h
CHAPITRE 1. LES FONCTIONS
Quelques notions importantes
Distance entre deux points
7
Soit deux points A et B, la distance entre eux,
notée dist(A, B), est obtenue en utilisant le théorème de Pythagore.
dist(A, B) =
p
dist(A, B) =
b
5
4
(7 − 2)2 + (6 − 3)2
6−3
A(2, 3)
3
b
7−2
2
Plus généralement, si A = (a1 , a2 ) et B = (b 1 , b 2 )
q
B(7, 6)
6
1
(b 1 − a1 )2 + (b 2 − a2 )2
−2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Point milieu d’un segment Soit [AB], un segment d’extrémités A(a1 , a2 ) et B(b 1 , b 2 ) ; les coordonnées du point
milieu sont
µ
¶
µ
¶
a1 + b1 a2 + b2
2+7 3+6
M
;
,
, avec l’exemple ci-dessus M
= (4, 5; 4, 5)
2
2
2
2
d
Distance entre un point et une droite
La distance entre un point A et une droite d
est la distance la plus courte entre ce point et
un point de la droite : on l’obtient en dessinant
la perpendiculaire à d passant par A. Si l’on se
donne l’équation de la droite, le calcul de cette
distance nécessite quelques connaissances en
géométrie vectorielle. Il y a toutefois quelques
cas particuliers où il est aisé de la trouver, par
exemple, lorsque la droite est horizontale ou
verticale.
?
3
b
A
Pente
La pente d’une droite est par définition le rapport entre le déplacement vertical et le déplacement horizontal lorsque l’on passe d’un point
A = (a1 , a2 ) à un point B = (b 1 , b 2 ) de la droite
d
7
(x, y)
6
b
5
B
4
b2 − a2
pente =
b1 − a1
3
2
Dans le cas de la figure ci-contre, cela donne
b
A
b
1
4−2 1
=
pente =
5−1 2
−2 −1
−1
Ainsi, chaque déplacement horizontal de 2 doit
être suivi d’un déplacement vertical de 1, si l’on
veut rester sur la droite (les « marches » sont régulières). L’équation de la droite peut être obtenue en utilisant la pente : la pente trouvée entre
deux points A et B est égale à la pente entre les
points A et un point quelconque sur la droite de
coordonnées (x, y) :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4−2 y −2
=
5−1 x −1
1 y −2
=
| · (x − 1)
2 x −1
x −1
= y −2
|+2
2
1
1
3
1
x − +2 = y
⇒y = x+
2
2
2
2
Équation d’une courbe Une courbe se définit par l’ensemble des points qui en font partie. Ces points ont
des coordonnées particulières qu’il est souvent possible de décrire par une équation portant sur ces
coordonnées. Ainsi l’équation
pente =
• x = 5 décrit tous les points dont l’abscisse est 5. Par contre, cette équation ne donne aucune contrainte
sur l’ordonnée qui peut donc prendre n’importe quelle valeur réelle : c’est ainsi l’équation d’une
droite verticale ;
\
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10
21
22
1.10. QUELQUES NOTIONS IMPORTANTES
• y = 1 décrit tous les points dont l’ordonnée est 1. Par contre, cette équation ne donne aucune
contrainte sur l’abscisse qui peut donc prendre n’importe quelle valeur réelle : c’est ainsi l’équation d’une droite horizontale ;
• 3x − 2y = 6 que l’on peut réécrire y = 23 x − 3 représente une droite. Chaque fois que l’on ajoute 1 à
x, l’ordonnée y augmente de 32 . En effet
3
3
3
3
3
(x + 1) − 3 = x + − 3 = x − 3 +
2
2
2
2
2
| {z }
y
On a ainsi affaire à une droite de pente 32 .
• (x − 3)2 + (y + 5)2 = 25 est l’équation d’un cercle de centre (3; −5) et de rayon 5 ;
• y = 2(x − 5)2 + 3 ou y = 2x 2 − 20x + 53 est l’équation d’une parabole de sommet S(5, +3), orientée
vers le haut (2 est positif) et dont l’axe de symétrie a pour équation x = 5 ;
1
− 5 ou y = −5x−13
• y = 2 · x+3
x+3 est l’équation d’une hyperbole dont les asymptotes ont pour équation
x = −3 (asymptote verticale) et y = −5 (asymptote horizontale).
Équation et fonction Certaines équations de courbes correspondent à des fonctions : ce sont toutes celles où
l’ordonnée « y » peut être isolée dans l’équation.
Équation
Fonction
y =1
d : x 7→ 1
f : x 7→ 32 x − 3
3x − 2y = 6
y = 2x 2 − 20x + 53
y=
g : x 7→ 2x 2 − 20x + 53
−5x−13
x+3
h : x 7→
−5x−13
x+3
x =5
non
(x − 3)2 + (y + 5)2 = 25
non
Compléter le carré Les expressions de la forme x 2 + bx peuvent être complétées pour former un carré. Par
exemple :
x 2 + 6x = (x 2 + 6x + 9) − 9 = (x + 3)2 − 9
ou encore
µ
5
x + 5x − 5 = x +
2
2
¶2
µ
¶
5 2 5
25
+5 = x +
−
−
4
2
4
ou, plus généralement
ax 2 + bx + c = a(x 2 +
µ
¶ µ ¶2
b 2
b
b
x) + c = a x +
−
+c
a
2a
2a
C
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CHAPITRE
2
Les fonctions
polynômes
24
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CHAPITRE 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES
1
25
Définition et terminologie
Nous avons déjà vu des fonctions linéaires, des fonctions « carré » (ou quadratiques), des fonctions cubiques.
Chacune de ces fonctions appartient à une classe plus large formée par les fonctions polynomiales.
Un polynôme f est une fonction (à une variable) définie sur R de la forme
f : x −→ an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x 1 + a0
Définition 2 - 1
(an 6= 0)
où n est un entier naturel et a0 , a1 , . . . , an sont des nombres réels
La variable est x et an , an−1 , . . . , a1 , a0 sont des constantes appelées les coefficients du polynôme. Si an 6= 0,
alors l’entier naturel n est appelé degré du polynôme f (on écrit deg f = n).
P
Il existe une notation abrégée pour les polynômes qui recours à un symbole particulier
qui désigne une
somme.
i=n
X
ai x i
i=0
a. Soit le polynôme f : x −→ 3x 4 − 2x 2 − 7. On utilise le mot terme pour dire
• 3x 4 est le terme de plus haut degré et son degré est 4 ; on dit aussi que c’est le terme « en x 4 » ;
• −7 est le terme de degré 0, ou terme constant ;
• le degré de f est 4, car le degré du terme de plus haut degré est 4 ;
• par commodité, on parle souvent du polynôme 3x 4 − 2x 2 − 7 au lieu de la fonction polynôme
f : x −→ 3x 4 − 2x 2 − 7
b. Identification de polynômes : déterminer parmi les fonctions suivantes celles qui sont des polynômes
2) g : x 7→
5) j : x 7→ 7
6) k : x 7→
p
3) i : x 7→ 0
x
x4 − 1
x2 + 1
7) l : x 7→
4) h : x 7→
x2 − 1
x −1
x2 − 2
x3 − 1
Réponses
1) f est un polynôme de degré 4 ;
2) g n’est pas un polynôme. La variable x est élevée à la puissance
un entier naturel ;
1
2
(car
p
1
x = x 2 ) qui n’est pas
3) h n’est pas un polynôme. C’est le quotient de deux polynômes et le polynôme au dénominateur est de degré positif ;
4) i est le polynôme nul ; il n’a pas de degré ;
5) j est un polynôme constant non nul de degré 0 ;
6) k est un polynôme car elle admet une écriture polynomiale. En effet, pour tout réel x, on a :
k(x) =
(x 2 + 1)(x 2 − 1)
= x2 − 1
x2 + 1
égalité vérifiée pour tout x
7) l n’est pas un polynôme, car la simplification n’est pas vraie pour tout x :
l(x) =
x2 − 1
= x +1
x −1
si x 6= 1
Le tableau suivant présente les polynômes déjà connus et les caractéristiques de leurs graphes.
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Exemples
1) f : x 7→ 2 − 3x 4
26
2.1. DÉFINITION ET TERMINOLOGIE
Degré
Polynôme
Nom
Graphe
Pas de deg
f : x 7→ 0
fonction nulle
axe des x
fonction constante
droite horizontale coupant (Oy)
en a0
fonction affine
droite oblique de pente a1 et coupant (Oy) en a0
fonction quadratique
parabole : ouverte vers le haut si
a2 > 0 (convexe) ; ouverte vers le
bas si a2 < 0 (concave)
0
f : x 7→ a0 ,
a0 6= 0
1
f : x 7→ a1 x + a0 ,
a1 6= 0
2
f : x 7→ a2 x 2 + a1 x + a0 ,
a2 6= 0
2 -1
Donner le degré et la valeur des coefficients pour le polynôme
1
f (x) = −4x 7 − 2x 4 + x 3 − 7
2
2 -2
1
3
Dans le polynôme p(x) = 4x 6 − x 3 + x 2 − x + 3
4
2
1) quelle est la valeur de a3 ? ...... a1 ? ...... a4 ? ......
2) quelle est la valeur du coefficient du terme en x 6 ? ......
Égalité de deux polynômes
Théorème 2 - 1
Deux polynômes (non nuls) sont égaux si, et seulement si, les coefficients des termes de même degré sont
égaux.
Preuve en exercice
Les polynômes f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d et g (x) = 5x 3 + 8 sont égaux si a = 5, b = 0, c = 0 et d = 8.
2 -3
a° Déterminer les réels m , n et p tels que pour tout réel x on ait :
mx 2 + 3x − p = nx + 4
b° Les deux polynômes a(x + 1)2 + b(x + 1) + c et 3x 2 + 5x + 3 sont égaux. Déterminer les réels a , b et c .
2 -4
Quelles sont les caractéristiques (orientation de la parabole, axe de symétrie, coordonnées du sommet, intersection avec l’axe des x ) du graphe de chacune des fonctions suivantes :
f (x) = k(x − h)2 + v
le graphe de f est une parabole d’équation y = x 2 déplacée horizontalement de h unités et verticalement de v
unités. Son sommet se trouve ainsi en (h, v) et l’axe de symétrie est la droite d’équation x = h )
1) f : x 7→ x 2
2) f : x 7→ x 2 − 3
3) f : x 7→ −2x 2 − 3
4) f : x 7→ (x − 2)2
5) f : x 7→ (x − 2)2 + 3
6) f : x 7→ x 2 − 6x + 9 (complétion du carré)
7) f : x 7→ x 2 − 6x + 12 (complétion du carré)
8) f : x 7→ 2x 2 + 8x + 5 (complétion du carré)
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Exemple
CHAPITRE 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES
2
27
Opérations sur les polynômes
Les règles du calcul algébrique permettent d’affirmer que la somme, la différence et le produit de deux polynômes sont encore des polynômes.
Théorème 2 - 2
— Le degré de la somme (ou de la différence) de deux polynômes non nuls est inférieur ou égal à celui
du polynôme de plus haut degré.
— Le degré du produit de deux polynômes non nuls est égal à la somme des degrés des polynômes.
2 -5
Soit P(x) = x 2 − x + 1 et Q(x) = −x 3 + x − 2.
Calculer le produit des polynômes P et Q.
Méthode directe En utilisant les techniques du calcul algébrique (distributivité), on commence par
— développer : P(x) · Q(x) = −x 5 + x 3 − 2x 2 + x 4 − x 2 + 2x − x 3 + x − 2
— réduire et ordonner : P(x) · Q(x) = −x 5 + x 4 − 3x 2 + 3x − 2
Multiplication par analogie avec l’arithmétique Les polynômes sont disposés d’une manière qui n’est pas
sans rappeler celle utilisée lors de la multiplication des entiers.
x2 −
Les lignes (1), (2), (3) correspondent aux produits de P(x) par chacun des termes de Q(x),
chaque « colonne » étant réservée aux termes
d’un même degré. La ligne (4) est le produit des
polynômes obtenu par sommation de chacune
de ces colonnes. Le résultat est immédiatement
sous forme réduite.
−
(1)
(2)
(3) −
(4) −
3
−
x5 +
x5 +
x4 −
x4
x3 +
2x 2 +
x3 −
x2 +
−
3x 2 +
x +
1
x −
2
2x −
2
x
x3
3x −
2
Division euclidienne d’un polynôme A par un polynôme B
La division euclidienne sur des polynômes ressemble tout à fait à celle pratiquée sur les entiers.
Principe général : à chaque étape de la division, on élimine le terme de plus haut degré dans le reste jusqu’à
ce que son degré soit inférieur au degré du diviseur.
Diviser A(x) = 3x 4 + 2x 3 − x 2 + 2 par B(x) = x 2 − x + 1.
Le terme de plus haut degré est 3x 4 , il faut ainsi multiplier B(x) par 3x 2 .
3x 4 + 2x 3 −
x2 + 2
− (3x 4 − 3x 3 + 3x 2 )
3x 2
5x 3 − 4x 2 + 2
Le terme de plus haut degré dans le reste, 5x 3 , est de degré 3, on poursuit avec lui. Il faut multiplier B(x)
par 5x pour l’enlever.
3x 4 + 2x 3 −
x2
+2
3x 2 + 5x
− (3x 4 − 3x 3 + 3x 2 )
5x 3 − 4x 2
3
2
− (5x − 5x + 5x)
x2 − x + 1
+2
x 2 − 5x + 2
Le degré du reste étant toujours supérieur ou égal à celui du diviseur, on continue en multipliant B(x) par
1.
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Exemple
x2 − x + 1
28
2.3. DIVISION EUCLIDIENNE D’UN POLYNÔME A PAR UN POLYNÔME B
3x 4 + 2x 3 −
x2
x2 − x + 1
+2
3x 2 + 5x + 1
− (3x 4 − 3x 3 + 3x 2 )
5x 3 − 4x 2
3
2
− (5x − 5x + 5x)
+2
x 2 − 5x + 2
− (x 2 −
Exemple
x + 1)
− 4x + 1
Cette fois le degré du reste est inférieur à celui du diviseur : la division s’arrête.
Le quotient est Q(x) = 3x 2 + 5x + 1 et le reste R(x) = −4x + 1. On peut ainsi écrire :
3x 4 + 2x3 − x 2 + 2 = (x 2 − x + 1) · (3x 2 + 5x + 1) + (−4x + 1) c’est-à-dire A(x) = B(x) · Q(x) + R(x)
ou
3x 4 + 2x3 − x 2 + 2
−4x + 1
= 3x 2 + 5x + 1 + 2
x2 − x + 1
x −x +1
c’est-à-dire
A(x)
R(x)
= Q(x) +
B(x)
B(x)
On a le théorème suivant.
Théorème 2 - 3
Soit A et B deux polynômes, B n’étant pas le polynôme nul.
Il existe un unique polynôme Q et un unique polynôme R tels que A = B · Q + R
avec deg R < deg B.
A
R
= Q+
ou A = B · Q + R
B
B
c’est-à-dire dividende = diviseur · quotient + reste.
Si le diviseur B (ou, par abus d’écriture B(x)) est un polynôme du premier degré de la forme
B(x) = x − r
r un nombre réel
alors le reste R(x) est soit le polynôme nul ou un polynôme de degré 0. Pour un tel diviseur, le reste est donc un
nombre que l’on va désigner par C, et on peut écrire
A(x) = (x − r ) · Q(x) + C
Cette équation est une identité, elle est donc vraie pour tout x. Ainsi, si x = r , cette équation devient
A(r ) = (r − r ) · Q(r ) + C
A(r ) = R
L’équation ci-dessus devient donc
A(x) = (x − r ) · Q(x) + A(r )
On a ainsi prouvé le théorème suivant
Théorème 2 - 4
Soit A est un polynôme. Si A(x) est divisé par x − r alors le reste est A(r ).
2 -6
Trouve le reste si f (x) = x 3 − 4x 2 + 2x − 5 est divisé par
b) x+2
a) x − 3
On dit qu’un polynôme P est factorisable par x − r s’il existe un polynôme Q tel que P(x) = (x − r ) · Q(x)
Une importante conséquence de ce dernier théorème est
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Définition 2 - 2
CHAPITRE 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES
Théorème 2 - 5
29
Le polynôme P est factorisable par x − r si et seulement si P(r ) = 0.
Preuve. Elle comporte deux parties
a) Hypothèse P est factorisable par x − r , donc ...
b) La réciproque
Hypothèse P(r ) = 0, c.-à-d. r est une racine du polynôme P, donc ...
Définition 2 - 3
On appelle racine (ou encore zéro) d’un polynôme P, tout réel a tel que P(a) = 0.
2 -7
Utiliser ce théorème pour montrer que le polynôme f (x) = 2x 3 − x 2 + 2x − 3 a pour facteur
a) x − 1
b) x + 3
Factoriser le polynôme P(x) = x 3 + 2x 2 − 5x − 6.
a) On remarque que 2 est une racine « évidente » du polynôme car P(2) = 23 + 2· 22 − 5· 2− 6 = 0. Donc,
d’après le théorème ci-dessus, si 2 est une racine du polynôme, alors P est factorisable par x − 2.
Exemple
b) Dire que le polynôme est factorisable par x − 2, c’est dire (d’après la définition) qu’il existe un polynôme Q tel que P(x) = (x − 2) · Q(x).
c) Il faut maintenant trouver le polynôme Q. Pour cela on dispose de deux méthodes :
— la division des polynômes
— la méthode des coefficients indéterminés
Si P est un polynôme de degré n (∈ N), l’équation P(x) = 0 a au plus n solutions dans R.
Preuve. Supposons que a1 est une solution du polynôme, c.-à-d. P(a1 ) = 0. Le théorème 5 permet d’écrire
P(x) = (x − a1 )Q1 (x)
avec deg Q1 = deg P − 1 = n − 1
Si Q1 a encore une racine a2 , alors
Q1 (x) = (x − a2 )Q2 (x)
avec deg Q2 = deg Q1 − 1 = n − 2
On peut continuer ainsi, si à chaque fois le polynôme Qi a une racine, jusqu’au moment où le polynôme Qi
aura le degré 1 (c.-à-d. Qn−1 = λx − k = λ(x − an ))
P(x) = (x − a1 )Q1 (x)
avec deg Q1 = n − 1
P(x) = (x − a1 )(x − a2 )Q2 (x)
avec deg Q2 = n − 2
P(x) = (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 )(x − a4 )Q4 (x)
avec deg Q4 = n − 4
P(x) = (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 )Q3 (x)
avec deg Q3 = n − 3
...
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Théorème 2 - 6
30
2.3. DIVISION EUCLIDIENNE D’UN POLYNÔME A PAR UN POLYNÔME B
P(x) = (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 )(x − a4 ) . . . (x − an )λ
Ceci est évidemment le cas le plus favorable, car on a à chaque fois une racine pour le polynôme Qi , ce qui n’est
pas forcément toujours le cas (exemple Q(x) = x 4 + 1). Donc P a au plus n racines.
Lorsqu’un polynôme non nul P admet k racines distinctes a1 , a2 , . . . , ak , il existe un polynôme Q tel que
Théorème 2 - 7
P(x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − ak )Q(x)
deg P ≥ k
Preuve. Comme a1 est racine de P, il existe un polynôme Q1 tel que P(x) = (x − a1 )Q1 (x).
Mais a2 est aussi racine de P, donc P(a2 ) = (a2 − a1 )Q1 (a2 ) = 0. Puisque a1 6= a2 , il vient Q1 (a2 ) = 0 : a2 est une
racine de Q1 . Ainsi, il existe un polynôme Q2 tel que Q1 (x) = (x − a2 )Q2 (x). Donc P(x) = (x − a1 )(x − a2 )Q2 (x).
On continue le raisonnement avec a3 , a4 jusqu’à ak .
2 -8
Factorisation de x n − a n
a°) Vérifier les identités remarquables
x 2 − a 2 = (x − a)(x + a)
x 3 − a 3 = (x − a)(x 2 + ax + a 2 )
b°) x 4 − a 4 et x 5 − a 5
Développer les produits :
(x − a)(x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3 )
(x − a)(x 4 + ax 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 )
En déduire la factorisation de x 4 − a 4 et x 5 − a 5
c°) Cas général
On considère l’expression
f (x) = x n−1 + ax n−2 + a 2 x n−3 + · · · + a n−2 x + a n−1
(a) Que signifient les pointillés ?
(b) On dispose ainsi les calculs de x f (x) et a f (x) :
x f (x) = x n + ax n−1 + a 2 x n−2 + . . . + a n−2 x 2 + a n−1 x
a f (x) =
ax n−1 + a 2 x n−2 + . . . + a n−2 x 2 + a n−1 x + a n
Que peut-on dire des termes « l’un sous l’autre » ?
(c) Déduire des égalités ci-dessus que
x n − a n = (x − a) f (x) = (x − a)(x n−1 + ax n−2 + a 2 x n−3 + · · · + a n−2 x + a n−1 )
(d) Retrouver les identités pour x 4 − a 4 et x 5 − a 5
(e) Trouver l’identité pour x 3 − 1 et x 4 − 1.
2 -9
i) Pour quelles valeurs de n le polynôme x n − a n est-il factorisable par (x + a) ? Trouver le quotient.
ii) Pour quelles valeurs de n le polynôme x n + a n est-il factorisable par (x + a) ? Trouver le quotient.
2 - 10
Factoriser les polynômes suivants, en faisant apparaître un facteur commun ou en utilisant un produit remarquable, puis déterminer les racines des polynômes.
1) A(x) = (x + 1)2 − 2(x + 1)(2x + 1)
3) C(x) = x 2 − 4 + (x − 2)(x + 3) − (x − 2)2
2) B(x) = 3(x − 2)3 − 12(x − 2)(x + 2)2
4) D(x) = (x 2 − 2x + 1) − (x 4 − 2x 2 + 1)
C
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CHAPITRE 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES
5) E(x) = 9x(x + 5)2 − 36x 3
6) F(x) = x 4 + 4x 2 + 4
31
7) G(x) = 2x 3 + 4x 2 + 3x + 6
8) H(x) = x 4 + 3x 3 − x − 3
9) I(x) = x 5 − 27x 2
10) J(x) = x 2 + 4x 4 + 4x 3
11) K(x) = 4x 2 + 2x +
12) L(x) = 0, 25x 2 − x + 1
13) M(x) = (5x + 3)2 − 4(x + 1)2
1
4
2 - 11
Factoriser les polynômes suivants et étudier leur signe
1) x 7→ x 2 − 3x + 2
2) x 7→ x 2 + 4x + 4
3) x 7→ x 2 + x + 1
7) x 7→ 2x 3 − 12x 2 + 18x
8) x 7→ x 4 − x 3 − 6x 2
9) x 7→ x 4 − 8x 2 + 16
4) x 7→ 9x 2 − 12x + 4
5) x 7→ x 2 − 81
10) x 7→ x 4 − 4x 2 + 3
11) x 7→ x 3 − 1
6) x 7→ (x − 1)2 − 16
12) x 7→ x 3 − 7x 2 − 4x + 28
2 - 12
Dans chacun des cas ci-dessous, proposer deux polynômes P et Q satisfaisant les conditions énoncées
1) P et Q sont de degré 4, leur somme et leur différence aussi ;
2) P et Q sont de degré 3, leur somme est un polynôme constant.
2 - 13
Soit P(x) = 3x 2 + 2x − 3 et Q(x) = x 3 − x 2 + 1.
Déterminer 3P − 2Q et P · Q
2 - 14
Soit P un polynôme non nul tel que deg P = n .
Exprimer en fonction de n les degrés des polynômes :
1) P · P ;
2) (x 2 + 1)P(x) ;
3) P3 = P · P · P ;
4) k · P, où k est un réel non nul.
2 - 15
Dans chaque cas, déterminer le réel k pour que le polynôme proposé admette le réel a pour racine.
1) P(x) = −4x 2 + 6x + k , a = 3
2) P(x) = 2x 4 + kx 3 − x + 1, a = − 21
2 - 16
Déterminer les réels a et b pour que le polynôme P(x) = −x 5 + 2x 4 − 3x 3 + 4x 2 + ax + b admette 2 et −3 comme
racines.
2 - 17
Déterminer tous les polynômes de degré 3 admettant les réels 1, −1 et 2 pour racines.
2 - 18
Factoriser le polynôme P(x) = x 3 − 6x 2 + 3x + 10.
2 - 19
Monter que le polynôme
1
1
et x +
2
2
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est factorisable par x −
¶
µ
1 2
P : x 7→ −x(2x − 1) + x −
2
32
2.4. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES POLYNÔMES
2 - 20
Déterminer tous les polynômes de degré 4 admettant les réels 1, -2, 4 pour racines.
2 - 21
Déterminer tous les polynômes de degré 4 admettant les réels 1, 2, 3 pour racines et 2x 4 comme terme de plus
haut degré.
2 - 22
Déterminer les réels a , b , c de telle sorte que le polynôme P(x) = x 5 − 2x 4 − 6x 3 + ax 2 + bx + c soit factorisable
par le polynôme
Q(x) = (x 2 − 1)(x − 3).
Préciser le polynôme R tel que :
P(X) = Q(x) · R(x),
et achever la factorisation de P.
2 - 23
Factoriser après avoir décelé une racine évidente
1) P(x) = x 5 − 5x 3 + 4x
3) R(x) = x 4 − 4x 3 − 6x 2 + 4x + 5
2) Q(x) = x 4 − 4x 2 − x + 2
4) S(x) = 2x 5 + 2x 4 − 8x 3 − 8x 2 + 8x + 8
Les recherches autour de la factorisation des polynômes ont donné lieu à ce qu’on a appelé le théorème fondamental de l’algèbre.
Théorème 2 - 8
4
Le théorème fondamental de l’algèbre
Tout polynôme peut se factoriser comme produit de polynômes de degré 1 ou 2.
Représentation graphique des polynômes
Nous avons déjà vu de manière exhaustive l’allure des courbes données par la représentation graphique des
polynômes du second degré (trinômes). Leur nom générique est celui de parabole.
Pour les polynômes de degré supérieur, les choses sont plus compliquées et le tracé des courbes exigent des
techniques plus élaborées. Nous nous contenterons dans un premier temps d’accepter un résultat d’un cours
d’analyse : le graphe d’un polynôme est « lisse » et « continu ». Par lisse, on entend que le graphe ne contient
pas de point anguleux ; par continu, on entend que le graphe ne contient pas de trou ou de saut et qu’il peut
être dessiné sans lever le crayon.
point
anguleux
point
anguleux
trou
saut
Graphe d’une fonction
qui n’est pas un polynôme
Graphique d’un polynôme :
lisse et continu
Si un polynôme f est complètement factorisé, il est facile de résoudre l’équation f (x) = 0, c.-à-d. de trouver les
racines du polynôme et de localiser les intersections de la courbe représentant f avec l’axe (Ox).
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Définition 2 - 4
Si (x −r )n est un facteur d’un polynôme f et (x −r )n+1 n’est pas un facteur de f , alors r est appelé un zéro
ou une racine de multiplicité n du polynôme f .
Si n = 2, on parle de racine double, n = 3 de racine triple.
CHAPITRE 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES
33
1
Étude du rôle des racines multiples avec f (x) = x 2 (x − 2).
a°) Trouver l’intersection du graphe de f avec l’axe (Ox) et
l’axe (Oy).
b°) Trouver la multiplicité de chaque racine (paire ou impaire).
Exemple
c°) Faire un tableau de signe pour f .
d°) Faire une hypothèse sur la parité de la multiplicité et l’allure de la courbe représentant f .
Si r est un zéro de multiplicité paire, alors le signe de f ne change pas autour de r .
La courbe touche l’axe des x en r
Si r est un zéro de multiplicité impaire, alors le signe de f change autour de r .
La courbe traverse l’axe des x en r
Les courbes représentant des polynômes montrent généralement des « bosses » et des « creux». Les « bosses »
sont appelées des maxima locaux, et, les « creux » des minimas locaux. Ce sont des points où la courbe change
de « direction », c’est-à-dire qu’en se déplaçant sur la courbe de gauche à droite, elle monte, puis elle descend
(maximum local), ou, inversement, elle descend, puis elle monte (minimum local). Si on analyse la situation en
terme de fonction, on dira que la fonction de croissante devient décroissante quand elle passe par un maximum
local, et, de décroissante devient croissante quand elle passe par un minimum local.
Soit une fonction définie sur un intervalle I :
Définition 2 - 5
— on dit que f est croissante sur I, si pour tout réels x et x ′ de I tels que x 6 x ′ , on a f (x) 6 f (x ′ ) ;
— on dit que f est décroissante sur I, si pour tout réels x et x ′ de I tels que x 6 x ′ , on a f (x) > f (x ′ ).
Le graphe de l’exemple ci-dessus présente deux points de changement de « direction », plus précisément, de
sens de croissance. Quel est le nombre de ces points pour la fonction x 7→ x 3 ? Quel est le rapport entre le degré
d’un polynôme et le nombre de ces points ?
Théorème 2 - 9
Si f est un polynôme de degré n, alors f a au plus n − 1 points de changement de direction
On peut aussi constater que le graphe de la fonction f (x) = x 2 (x − 2) a une allure similaire à celui de g (x) = x 3 .
En fait, pour les grandes valeurs de x, soit positives, soit négatives, il y a en fait peu de différences.
Pour les grandes valeurs de x, soit positives, soit négatives, le graphe du polynôme
f : x 7→ an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + ao
ressemble à celui de la fonction puissance
x 7→ an x n
Démonstration. On met en évidence le terme de plus haut degré dans le polynôme
¶
µ
a1
1
a0 1
an−1 1 an−2 1
n
n−1
n
· +
·
+··· +
·
+
·
f (x) = an x + an−1 x
+ · · · + a1 x + ao = an x · 1 +
an x
an x 2
an x n−1 an x n
On vérifiera en utilisant la distributivité que c’est bien correct. Chacun des termes de la forme
proche de 0 quand x devient arbitrairement grand ou arbitrairement petit.
1
1
Par exemple, si x = 100, alors 100
3 = 0, 000001. Si x = −100, alors (−100)3 = −0, 000001.
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Théorème 2 - 10
1
xi
devient très
2.5. LES FONCTIONS « PUISSANCES » X 7→ XN
34
a
Il est vrai qu’il faut aussi tenir compte du coefficient a ni , mais il a une valeur bien déterminée et fixe ; même s’il
est très grand, il suffit de prendre x suffisamment petit ou grand pour le contrebalancer.
Par exemple, si
a3
an
= 106 , il suffit de prendre x = 10000 = 104 et on a
a3
an
· x13 = 106 · ( 1014 )3 =
1
.On
106
voit ainsi que
quand x devient arbitrairement grand ou arbitrairement petit, tous les termes contenus dans la parenthèse
sont proche de 0, sauf, évidemment, le premier qui vaut 1. Ainsi quand x devient arbitrairement grand ou
arbitrairement petit, alors f (x) ≈ an x n .
Les fonctions « puissances » x 7→ x n
L’expression analytique d’une fonction permet de répondre de manière très précise à certaines questions, alors
que la courbe donne une vue globale et rend ainsi possible des réponses à des questions de type qualitatif.
Nous avons déjà vu que la courbe d’équation y = x (ou, pour le dire autrement, la courbe représentant la
fonction x 7→ x) est une droite. la courbe d’équation y = x 2 est une parabole. Qu’en est-il des courbes
y = x3,
y = x4,
y = x5, . . .
y = x n avec n ∈ N
1) Essayer de trouver l’allure de la courbe d’équation y = x 3 à partir de celle d’équation y = x 2 , puisque
x 3 = x 2 · x. pour ce faire, que se passe-t-il pour les valeurs de x ∈ [0, 1[ ? Et pour x ∈ [1, +∞] ? Pour les
valeurs négatives de x ?
Réponse
Regardons ce qui se passe pour des différents intervalles de x :
— pour les x positifs (x ≥ 0) : la courbe est au-dessus de l’axe des x et elle passe par
( 0; 0) et ( 1; 1) ;
— pour x entre 0 et 1 (0 ≤ x ≤ 1) : elle est au-dessous de y = x 2 car x 3 = x 2 · x et puisque
x < 1, on a bien x 3 < x 2 ;
— pour x > 1 : on a au contraire x 3 > x 2 . Et comme x 2 devient très très grand bien plus
vite que x quand x devient grand, il en va de même pour x 3 . Voir le graphique ...
— pour les x négatifs, x 3 ne prend que des valeurs négatives et on poursuit avec le
même raisonnement que ci-dessus. Mais on peut aussi observer que si on prend
deux valeurs opposées pour x, par exemple a et −a, x 3 prend aussi des valeurs opposées, à savoir a 3 et −a 3 . On se rend ainsi compte que la courbe admet un centre
de symétrie à l’origine, le point ( 0; 0). Donc la partie de la courbe pour les x négatifs
peut être dessinée par symétrie.
2) Faire le même travail pour y = x 4 en se référant à la courbe d’équation y = x 3 .
Réponse
On observe d’abord que si on prend deux valeurs opposées pour x, par exemple a et
−a, x 4 prend la même valeur a 4 . La courbe présente donc une symétrie axiale d’axe Oy
comme la courbe y = x 2 . On se contentera donc de regarder ce qui se passe pour les x
positifs et par symétrie, on trouvera ce qui se passe pour les x négatifs :
— pour les x positifs (x ≥ 0) : la courbe est au-dessus de l’axe des x et elle passe par
( 0; 0) et ( 1; 1) ;
— pour x entre 0 et 1 (0 ≤ x ≤ 1) : elle est au-dessous de y = x 3 car x 4 = x 3 · x et puisque
x < 1, on a bien x 4 < x 3 ;
— pour x > 1 : on a au contraire x 4 > x 3 . Et comme x 3 devient très très grand bien plus
vite que x quand x devient grand, il en va de même pour x 4 . Voir le graphique ...
3) Généraliser : que se passe-t-il selon la parité de la puissance ? Quand n devient grand ?
Nos observations précédentes s’étendent sans peine à ces nouvelles courbes :
— d’abord, toutes celles d’exposant impair admettent l’origine comme centre de symétrie ;
— et toutes celles d’exposant pair ont l’axe des y pour axe de symétrie orthogonal ;
— ensuite, plus n est grand et plus y = x n « s’écrase » sur l’axe des x pour x compris
entre 0 et 1. Enfin, plus n est grand, plus x n tend rapidement vers l’infini.
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\
Réponse
C
5
CHAPITRE 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES
35
10
7.5
5
2.5
-3
-2
-1
1
2
3
-2.5
f (x) = x n pour n = 1, . . . , 10
-5
-7.5
À travers les réponses données aux questions précédentes, plusieurs propriétés des fonctions « puissances
» peuvent être distinguées : les courbes représentant des puissances impaires ont une symétrie centrale de
centre O, celles représentant des puissances paires ont une symétrie axiale d’axe (Oy), les premières « montent
toujours » en allant de gauche à droite (dans les sens des x croissants), ce qui n’est pas le cas des secondes.
En d’autres termes, pour les fonctions « puissances impaires », si les x augmentent sur l’intervalle ] − ∞ ; +∞[,
alors f (x) croît : si x 6 x ′ , alors f (x) 6 f (x ′ )
On dit dans ce cas que la fonction est croissante sur R. Les fonctions « puissances paires », elles, ne sont croissantes que sur l’intervalle R+ . Elles sont décroissantes sur R− .
En ajoutant à la fonction « puissance » un coefficient a positif, f (x) = ax n , le comportement décrit ne change
pas. Par contre si le coefficient a est négatif, le graphe de f subit une symétrie axiale d’axe (Ox).
Ces différentes situations sont résumées dans les tableaux de variations suivants :
x
−∞
ax n
0
+∞
a>0
x
+∞
+∞
−∞
ax n
0
a >0
0
−∞
pour les puissances paires
n
a <0
−∞
0
+∞
+∞
−∞
+∞
0
−∞
pour les puissances impaires
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\
a<0
ax
C
ax
n
0
36
2.6. ANALYSE DE QUELQUES POLYNÔMES
6
Analyse de quelques polynômes
Analyser le graphe du polynôme : f (x) = x 4 − 3x 3 − 4x 2 .
a°) Chercher les intersections avec les axes de coordonnées.
b°) Déterminer les multiplicités des racines.
c°) Trouver la fonction puissance qui ressemble à f quand |x| → ∞.
d°) Déterminer le nombre de points de changement du sens de croissance.
e°) Trouver les extrema.
2 - 24
Même chose pour les polynômes suivants
1) f : x 7→ (x − 1)2
2) g : x 7→ x(x + 2)2
3) h : x 7→ 6x 3 (x + 4)
4) i : x 7→ x(x − 2)(x + 4)
5) j : x 7→ x 2 (x − 3)(x + 4)
6) k : x 7→ x 2 (x 2 + 1)(x + 4)
2 - 25
Lequel des polynômes suivants pourrait avoir ce graphe ? (Plusieurs réponses sont possibles)
1) x 7→ −4x(x − 1)(x − 2)
2) x 7→ x 2 (x − 1)2 (x − 2)
3) x 7→ 3x(x − 1)(x − 2)
4) x 7→ x(x − 1)2 (x − 2)2
5) x 7→ x 3 (x − 1)(x − 2)
6) x 7→ −x(x − 1)(x − 2)
\
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Méthode
CHAPITRE 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES
37
Les 4 graphiques ci-dessous représentent des polynômes entre lesquelles la seule différence est la puissance d’un facteur.
40
60
30
40
20
20
10
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
2
3
4
1
2
3
4
5
5
-20
-10
-40
-20
-30
-60
-40
-80
f : x 7−→ (x + 5)(x − 3)(x + 1)2
f : x 7−→ (x + 5)(x − 3)(x + 1)
200
= x 3 + 3x 2 − 13x − 15
= x 4 + 4x 3 − 10x 2 − 28x − 15
200
100
150
100
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-100
50
-200
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
3
4
5
-300
-400
-100
-500
-150
-600
-200
-700
f : x 7−→ (x + 5)(x − 3)(x + 1)3
f : x 7−→ (x + 5)(x − 3)(x + 1)4
= x 5 + 5x 4 − 6x 3 − 38x 2 − 43x − 15
= x 6 + 6x 5 − x 4 − 44x 3 − 81x 2 − 58x − 15
Les 2 graphiques suivants montrent l’effet de l’adjonction d’un facteur sans racine comme x 2 + 1.
40
400
30
300
20
200
10
100
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-10
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-20
-100
-30
-40
-200
f : x 7−→ (x + 5)(x − 3)(x + 1)(x 2 + 1)
f : x 7−→ (x + 5)(x − 3)(x + 1)
= x 3 + 3x 2 − 13x − 15
= x 5 + 3x 4 − 12x 3 − 12x 2 − 13x − 15
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Exemple
2
-50
38
2.7. EXERCICES
Exercices
2 - 26
Lequel des polynômes suivants pourrait avoir ce graphe ? (Plusieurs réponses sont possibles)
1) x 7→ 2x 3 (x − 1)(x − 2)2
2) x 7→ x 2 (x − 1)(x − 2)
3) x 7→ x 3 (x − 1)2 (x − 2)
4) x 7→ x 2 (x − 1)2 (x − 2)2
5) x 7→ 5x(x − 1)2 (x − 2)
6) x 7→ −2x(x − 1)2 (2 − x)
2 - 27
Lequel des polynômes suivants pourrait avoir ce graphe ? (Plusieurs réponses sont possibles)
1
1) x 7→ (x 2 − 1)(x − 2)
2
1
2) x 7→ − (x 2 + 1)(x − 2)
2
x
3) x 7→ (x 2 − 1)(1 − )
2
1 2
2
4) x 7→ − (x − 1) (x − 2)
2
1
5) x 7→ (x 2 + )(x 2 − 1)(2 − x)
2
6) x 7→ −(x − 1)(x − 2)(x + 1)
2 - 28
Fabriquer un polynôme qui a les caractéristiques suivantes : intersections avec l’axe des x en −2 et 2, touche
l’axe (Ox) en 0 et est en dessous de l’axe des x entre 0 et 2.
2 - 29
Fabriquer un polynôme qui a les caractéristiques suivantes : intersections avec l’axe des x en −1 et 4, touche
l’axe (Ox) en 0 et 2, et est en dessus de l’axe des x entre 0 et 2.
2 - 30
Trouver ...
1) un polynôme de degré 4 ayant 4 racines distinctes et passant par le point (0; 5).
2) un polynôme de degré 4 ayant seulement deux racines distinctes ;
3) un polynôme de degré 4 ayant 3 racines distinctes simples et une racine double ;
4) un polynôme de degré 3 n’ayant aucune racine ;
5) tous les polynômes de degré 3 ayant au moins −2 et +2 comme racine.
\
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C
7
CHAPITRE 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES
39
2 - 31
Trouver, si possible, les expressions algébriques des polynômes représentées ci-dessous
30
40
30
20
20
10
10
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
2
3
4
5
-10
-10
-20
-20
40
40
30
30
20
20
10
10
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-10
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
-10
-20
-20
-30
-30
-40
-40
1
2
3
4
2 - 32
Est-ce que la représentation graphique d’un polynôme peut ne présenter aucune intersection avec l’axe des y ?
avec l’axe des x ?
Symétries diverses dans les polynômes
Il existe une manière simple de détecter la symétrie axiale d’axe (Oy) et la symétrie centrale de centre O par
une caractéristique présente chez certaines fonctions.
f (x∗ )
f (−x) = f (x)
b
b
f (x)
b
b
b
b
b
b
b
b
−x∗ −x
b
b
b
b
−x
x∗
b
b
b
f (−x) = − f (x)
f (−x∗ ) = − f (x∗ )
b
b
f
b
x
f
f (−x) = f (x)
Symétrie axiale d’axe x = 0
Symétrie centrale de centre ( O ; 0)0
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b
x x∗
b
\
−x∗
C
8
40
2.9. PROBLÈMES
Soit une fonction définie sur un intervalle I.
− x) = f (x) pour tout x de I : (Oy) est un axe de symétrie pour la courbe
— f est dite paire lorsque f (−
représentant la fonction ;
Définition 2 - 6
− x) = − f (x) pour tout x de I : O est un centre de symétrie pour la
— f est dite impaire lorsque f (−
courbe représentant la fonction.
2 - 33
Déterminer la parité des fonctions suivantes :
a)
f :
x −→ x 2 − 3
b)
f :
x −→ (x − 3)2 + 6x
c)
f :
d)
f :
x −→
x
1 + x2
e)
f :
x −→ x 3 − 2x 2 + 3x
f)
f :
1
2 + x2
1
x −→ x + 2
x
x −→ x −
2 - 34
Calculer les coordonnées du centre de symétrie du graphe de f (x) =
3x − 1
x −2
2 - 35
Montrer que le graphe de f (x) = x 3 − 9x 2 + 23x − 10 admet un centre de symétrie en (3; 5).
2 - 36
Montrer que le graphe de f (x) = 2x 4 − 16x 3 + 63x 2 − 124x + 94 admet un axe de symétrie d’équation x = 2.
2 - 37
Montrer que le graphe de f (x) =
x 4 + 8x 3 + 24x 2 + 32x + 17
admet une symétrie d’axe x = −2.
x 2 + 4x + 6
2 - 38
Montrer que le graphe de f (x) = x 3 + 3x 2 − x + 1 admet une symétrie de centre C(−1 ; 4).
Problèmes
2 - 39
Quelles sont les dimensions d’une boîte parallélépipédique (ou pavé droit) à base carrée dont le volume est
V = 1875 cm3 et telle que la surface de carton employée est S = 950 cm2. (On se ramènera à une équation du
troisième degré dont on cherchera une racine évidente.)
2 - 40
Quatre cubes ont respectivement pour arêtes, mesurées en centimètres, x , x +1, x +2, x +3 où est x un nombre
entier naturel.
Déterminer x pour que le contenu (volume) des trois cubes d’arêtes x , x +1, x +2 remplisse exactement le cube
d’arête x + 3.
2 - 41
Population de cerfs
Un troupeau de 400 cerfs est introduit sur une petite île. Tout d’abord le troupeau grandit rapidement, mais par
la suite les ressources en nourriture baissent et la population diminue. Supposons que le nombre N(t ) de cerfs
après t années est donné par N(t ) = −t 4 + 96t 2 + 400, où t > 0.
1. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles N(t ) > 0.
2. La population de cerfs va-t-elle s’éteindre ? Si oui, quand ?
\
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C
9
CHAPITRE 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES
41
2 - 42
On veut construire une boîte ouverte à partir d’une
feuille de carton rectangulaire de 20 cm sur 30 cm,
en ôtant de chaque angle un carré d’aire x 2 et en
relevant les côtés.
20
?
x
x
x
1) Montrer qu’il y a deux façons de construire
une telle boîte d’un volume de 1000 cm3.
x
2) Quelles sont les dimensions de la boîte qui a
l’aire la plus petite ?
(source : Swokowski E.W. Cole J.A., Algèbre)
?
? 30
?
x
Quelle valeur faut-il choisir pour x pour que le volume de la boîte soit maximal ? (donner la meilleure estimation possible)
2 - 43
La masse d’une section d’un pont suspendu est uniformément répartie entre deux tours identiques situées à
400 m l’une de l’autre et s’élevant à 90 m au-dessus de la chaussée horizontale (voir figure). Un câble fixé entre
les sommets des tours a la forme d’une parabole et son centre est à 10 m au-dessus de la chaussée. Supposons
qu’on a introduit des axes de coordonnées, comme le montre la figure.
400 m
y
1) Donner une équation de la parabole.
2) Neuf câbles verticaux équidistants sont utilisés pour soutenir le pont (voir la figure). Calculer la longueur totale de ces supports.
90 m
(source : Swokowski E.W. Cole J.A., Algèbre)
x
2 - 44
Une fusée est tirée vers une colline suivant une trajectoire donnée par y = –0, 016x 2 + 1, 6x . La colline
a une pente de 15 , comme illustré sur la figure.
y
1) Où la fusée va-t-elle atterrir ?
2) Calculer la hauteur maximale de la fusée audessus du sol.
y = 15 x
(source : Swokowski E.W. Cole J.A., Algèbre)
x
Faire le point
10 1 Savoir reconnaître un polynôme
2 - 45
Préciser si les fonctions proposées sont des polynômes (donner à chaque fois une justification)
x 2 ³ x ´2
−
105
10
p
4) x 7→ 5 3 − 1
2) x 7→
p
3
5) x 7→
x5 − x + 1
x2 + 1
x6
3) x 7→
2x 3 − x 2 − 5
p
3
6) x 7→
x 2 − 2x − 3
x +1
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\
1) x 7→
C
10
42
2.10. FAIRE LE POINT
10 2 Connaître des situations particulières pouvant être représentées par des fonctions polynomiales
10 2 a Les fonctions linéaires
2 - 46
Dans un magasin, tous les prix ont été augmentés de 15%. Représenter par une fonction le changement de prix.
2 - 47
Dans un magasin, tous les prix ont été diminués de 5%. Représenter par une fonction le changement de prix.
2 - 48
Dans un magasin une série d’objets subissent d’abord une augmentation de 25%, puis une diminution de 10%.
Représenter par une application linéaire le changement de prix global. Quelle a été l’augmentation finale des
prix en % ?
10 2 b Les fonctions affines
2 - 49
La relation entre la température de l’air T (en °C) et l’altitude h (en m au-dessus du niveau de la mer) peut
être approchée par une expression du type affine pour 0 < h < 6 000. Si la température au niveau de la mer est
15,6°C, elle baisse d’environ 10°C lorsque l’on monte de 1 500 m.
1. Exprimer Ten fonction de h , et faire une représentation graphique dans un système de coordonnées.
2. Donner approximativement la température de l’air à l’altitude de 4 500 m.
3. Donner approximativement l’altitude à laquelle il fait −17, 8°C.
10 2 c Polynômes de degré 2
2 - 50
Compléter le carré
Si f (x) = 3x 2 + 24x + 50, exprimer f (x) sous la forme a(x − h)2 + k .
2 - 51
Déplacement de la parabole d’équation y = x 2
Soit le polynôme P(x) = x 2 − 4x + 5. Sa représentation graphique est une parabole. Trouver
1. son sommet ;
2. son axe de symétrie ;
3. son intersection avec l’axe des x .
2 - 52
Un objet est lancé du sol au temps t = 0 et sa hauteur h est donnée par la fonction
h : t 7→ 10t −
g t2
2
où g ≈ 9, 81 m/s2
1. Quelle hauteur maximale atteindra-t-il ?
2. Au bout de combien de temps retombera-t-il au sol ?
3. Un autre objet est lancé trois secondes plus tard de la même manière. Donner la fonction qui décrit sa
hauteur.
y
S(h ; k)
Si une parabole y = ax 2 +bx +c coupe
l’axe des x en (x1 ; 0) et (x2 ; 0) comme
le montre la figure ci-contre pour le
cas a < 0, alors l’axe de la parabole
est la droite verticale x = (x1 + x2 )/2
passant par le point milieu de (x1; 0)
et (x2; 0). Par conséquent, l’abscisse h
du sommet (h ; k) est h = (x1 + x2)/2.
(x1 ; 0)
(x2 ; 0)
x
h=
x1 + x2
2
y = ax 2 + bx + c
C
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CHAPITRE 2. LES FONCTIONS POLYNÔMES
43
2 - 53
Animaux sauteurs
y
Les bonds des animaux sauteurs ont typiquement
des trajectoires paraboliques. La figure illustre le
bond d’une grenouille superposé à un système de
coordonnées. La longueur du saut est de 2,7 m, et
la hauteur maximale au-dessus du sol est de 0,9 m.
Donner une équation de la trajectoire du saut de la
grenouille sous forme standard.
Trajectoire
de la grenouille
0,9
(source : Swokowski E.W. Cole J.A., Algèbre)
x
2,7
10 3 Polynômes de degré > 2
2 - 54
On veut construire un hangar cubique surmonté d’un toit en forme de prisme triangulaire (voir figure).
La longueur x du côté du cube est encore à déterminer.
1) Si la hauteur totale de la construction est 6 m, montrer
que le volume V est donné par V = x 3 + 12 x 2 (6 − x).
6m
2) Déterminer x pour que le volume soit de 80 m3.
(source : Swokowski E.W. Cole J.A., Algèbre)
x
2 - 55
Population de cerfs
Un troupeau de 100 cerfs est introduit sur une petite île. Tout d’abord le troupeau grandit rapidement, mais par
la suite les ressources en nourriture baissent et la population diminue. Supposons que le nombre N(t ) de cerfs
après t années est donné par N(t ) = −t 4 + 21t 2 + 100, où t > 0.
1. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles N(t ) > 0.
2. La population de cerfs va-t-elle s’éteindre ? Si oui, quand ?
2 - 56
La fonction esquissée ci-dessous est f (x) = 4–x 2 et on considère le triangle ombré. On a aussi P est un point du
graphique de f .
1. Calculer l’aire A du triangle pour x = −1, x = 1
et x = 2.
2. Exprimer l’aire A du triangle en fonction de x .
P
b
3. Quelle valeur faut-il donner à x pour que l’aire
du triangle soit maximale ?
4. Quelle est cette aire maximale et quelles sont
alors les dimensions du triangle ?
f
b
C
\
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0
b
x
;
44
2.10. FAIRE LE POINT
10 3 a Factoriser pour trouver les racines ou les intersections avec l’axe des x
2 - 57
Factoriser les polynômes suivants, trouver leurs racines et étudier leur signe
1) A(x) = x 3 − 5x 2 + 4
2) B(x) = −6x 2 + 23x − 20
4) D(x) = x 4 + 2x 2 + 1
5) E(x) = x 2 − 9 − 2(x − 2)(x − 3) − (x − 3)2
C
\
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3) C(x) = x 6 − 8x 3
CHAPITRE
3
Fonctions
polynômes et
fonctions
rationnelles
46
C
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CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES ET FONCTIONS RATIONNELLES
Rappel Un polynôme est une fonction de la forme
f : x −→ an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x 1 + a0
(an 6= 0)
où n est un entier naturel et a0 , a1 , . . . , an sont des nombres réels.
Remarque : son domaine est toujours R.
3 - 58
1. Développer et réduire : (a + b)3 et (a − b)3
2. Développer, réduire et ordonner les polynômes : A(x) = (−2x + 1)3 ;
B(x) = (−5x − 3)3
3 - 59
1) Développer et réduire : (a + b + c)2 et (a + b − c)2
2) Remarquer que l’on peut retrouver (a + b − c)2 à partir de (a + b + c)2
3) Déduire de 2) , le développement de :
(a) (a − b + c)2 ; (a − b − c)2 ; (−a − b − c)2 ; (−a + b − c)2 ; (−a + b + c)2
(b) (a + b)4 ; (a − b)4
(c) Développer, réduire et ordonner les polynômes :
P(x) = (x 2 + x + 1)2 ; Q(x) = (−x 2 − 2x − 3)2 ; T(x) = (−2x 2 + x − 3)2
U(x) = (3x − 5)4 ; V(x) = (−2x + 3)4
(d) Déterminer le réel k pour que : x 4 − 2x 3 + (k + 1)x 2 − kx + 4 soit le carré d’un polynôme.
On retiendra (en complétant avec ce qui a été vu au chapitre précédent)
Pour tous nombres réels a, b et c, on a :
Théorème 3 - 1
(a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
Pour tout entier n, n > 1 :
Pour tout entier n impair, n > 1 :
Définition 3 - 1
(a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
x n − a n = (x − a)(x n−1 + ax n−2 + a 2 x n−3 + · · · + a n−2 x + a n−1
x n + a n = (x + a)(x n−1 − ax n−2 + a 2 x n−3 + · · · − a n−2 x + a n−1
L’ensemble D f , appelé l’ensemble de définition de f , ou encore domaine de f , est le plus grand sousensemble de tous les réels pour lesquels il existe un unique f (x).
Une fonction rationnelle (ou fraction rationnelle) est le quotient de deux fonctions polynômes
Définition 3 - 2
f : x 7→
an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0
b p x p + b p−1 x p−1 + · · · + b 2 x 2 + b 1 x + b 0
Remarque
En général, le domaine de définition d’une fonction rationnelle n’est pas R. En effet, le dénominateur
pourrait être nul pour certaines valeurs qui sont donc à exclure du domaine.
Activité
Trouver une expression pour la diagonale d’un pavé droit, sachant que la somme de ses arêtes vaut L et
son aire totale S.
C
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47
48
3 - 60
Déterminer le domaine de définition, puis écrire sous la forme du quotient de deux fonctions polynômes :
3
2
1
iii) f (x) = x − + 2
i) f (x) = 2 −
x +1
3 x +1
1
x +3
3
2
ii) f (x) = 2 + −
iv) f 4 (x) = 2x + 1 − 2
+
x 2−x
x −x −2 x
3 - 61
Déterminer le domaine de définition puis simplifier les fonctions rationnelles :
6 − 2x
(x 4 − 1)(x 2 − 2x)
i) E(x) = 2
iii) H(x) = 3
x − 6x + 9
(x − 4x)(x 3 − x)
ii) Q(x) =
3 - 62
(x − 1)(x − 3) + (x − 1)(x − 5)
x2 − 1
iv) J(x) =
x2 − 1
x3 + 1
1) Déterminer Dq , le domaine de définition de la fonction rationnelle :
q(x) =
x 2 − 2x − 1
.
(x + 1)2 (x − 1)
2) Déterminer par « identification », les réels a , b et c tels que :
x 2 − 2x − 1
c
a
b
pour tout réel x de Dq , on ait :
.
+
=
+
(x + 1)2 (x − 1) x + 1 (x + 1)2 x − 1
Autre méthode (facultatif) :
— multiplier l’égalité précédente par (x − 1) , puis dans la nouvelle égalité obtenue, remplacer x
par 1 , qu’obtient-on ?
Remarque
— multiplier l’égalité précédente par (x + 1)2 , puis dans la nouvelle égalité obtenue, remplacer x
par −1 , qu’obtient-on ?
— Peut-on en déduire a ?
3 - 63
1) Déterminer Dq , le domaine de définition de la fonction rationnelle :
q(x) =
x 2 + 3x − 1
.
(x − 1)2 (x + 2)
2) Déterminer par « identification », les réels a , b et c tels que :
x 2 + 3x − 1
c
a
b
pour tout réel x de Dq , on ait :
.
+
=
+
2
2
(x − 1) (x + 2) x − 1 (x − 1)
x +2
(utiliser éventuellement la méthode facultative).
3 - 64
Soit f la fonction définie par : f (x) =
2x 2
3
.
−
x2 − 1 x2 + x − 2
1) Déterminer l’ensemble de définition de f .
2) Factoriser chacun des polynômes de f .
1) Déterminer un dénominateur commun aux fractions rationnelles
g (x)
.
h(x)
2) Déterminer une racine simple du polynôme g (x).
à l’aide d’une fraction rationnelle, notée
2x 2
3
et 2
, puis écrire f (x)
2
x −1 x +x −2
3) Simplifier l’écriture de f (x) (en précisant les conditions de la simplification) et résoudre l’équation
f (x) = 0.
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3)
CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES ET FONCTIONS RATIONNELLES
3 - 65
Simplifier les fractions rationnelles suivantes, après avoir effectué les opérations demandées
1
si x 6=
2
3
(3x − 2)(x + 1)
2 − x − 3x 2 −(3x 2 + x − 2)
x +1
=
=−
=−
6x 2 − x − 2
6x 2 − x − 2
(3x − 2)(2x + 1)
2x + 1
1
Exemple
1
si x 6= 5, x 6= −4
1
(x 2 + 8x + 16)(x − 5)
(x + 4)62 (x − 5)
x +4
=
=
2
2
(x − 5x)(x − 16)
x(x − 5)(x + 4)(x − 4) x(x − 4)
1
x 2 − 6x + 9 2x − 2
·
x2 − 1
x −3
x +2
x2 − 4
2)
:
2x − 3 2x 2 − 3x
2x + 5
x
1
3) 2
+
+
x + 6x + 9 x 2 − 9 x − 3
2
− 2
4) x+3 a+3
x−a
2x 2 + 7x + 3
5)
2x 2 − 7x − 4
−12 − r + r 2
6)
r 3 + 3r 2
5x
7
2x + 6
7) 2
+ 2
+
x + 6x + 9 x − 9 x − 3
1
−3
8) x+2
4
x −x
1)
9)
1
5a 2 + 12a + 4 25a 2 + 20a + 4
:
a 4 − 16
a 2 − 2a
2
9
−
3s + 1 (3s + 1)2
3t
5t
40
+
− 2
t +2 t −2 t −4
3
5
12x
−
+
2x + 1 2x 2 + x x
2x + 1
3
6x
−
−
x 2 − 4 x 2 + 4x + 4 x − 2
2
3u
4+ −
u u +5
x + x2
1 + x2
2x 4 + 6x 2 + 4
4
x (x 2 + 1) − 4 · (x 2 + 1)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
9x 4 − 6x 3 + 4x 2
9x 2 − 4
·
2
3x − 5x + 2
27x 4 + 8x
2x 2 + 4x + 2 x − x 2
·
x3 − x
2 + 2x
18)
3 - 66
Rendre le dénominateur rationnel
1
1) p
p
x− y
p
2) p
x −4
3)
x +4
C
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81x 2 − 16y 2
p
p
3 x −2 y
49
3.1. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS RATIONNELLES
Représentation graphique des fonctions rationnelles
En 2e année, on se limitera à la représentation des fonctions homographiques dont l’essentiel a été vu au premier chapitre.
Deux écritures Si l’on prend comme fonction de base f (x) = x1 , nous pouvons former une famille entière de
fonctions (les fonctions homographiques) grâce aux trois transformations graphiques que sont
— le déplacement horizontal h
— le déplacement vertical v
— la dilatation/contraction k.
-4
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
2
-2
4
2
-2
-2
4
6
-2
-4
-4
1
f : x 7→
x
-6
g : x 7→
-6
-8
-8
-10
-10
1
−1
x −3
Elles se traduisent algébriquement de la manière suivante
g (x) = k · f (x − h) + v
g (x) = k
avec f (x) =
1
+v
x −h
1
on obtient
x
avec D f = R \ {h}
Nous avons aussi montré que ces fonctions peuvent être données sous une autre forme
f (x) =
a ·x +b
c ·x +d
avec D f = R \ {− dc }
Asymptotes Les fonctions homographiques ont deux asymptotes :
— une asymptote verticale d’équation x = h (en partant de la 1re écriture) ou d’équation x = −
d
(à
c
— une asymptote horizontale d’équation y = v (en partant de la 1re écriture) ou d’équation y =
a
(à
c
partir de la 2e écriture)
partir de la 2e écriture).
3 - 67
Pour les fonctions homographiques suivantes, donner l’une ou l’autre écriture manquante, puis préciser les
asymptotes
2x − 5
2x − 5
3−x
1) f (x) =
3) h(x) =
5) g (x) =
x −1
−3x + 4
3x + 5
3
5
−5
−5
2) g (x) =
4) f (x) = −2 −
6) h(x) =
x +2
x −1
−3x + 4
3 - 68
Un toit en pente s’appuie sur les murs MN et AB. Ceux-ci sont hauts de 3 m et écartés l’un de l’autre de 4 m. Le
toit peut être plus ou moins incliné. Comment varie la hauteur h du faîte lorsque la distance x s’approche de 2
m?
Comment varie h lorsque x devient de plus en plus grand ?
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\
1
C
50
CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES ET FONCTIONS RATIONNELLES
51
Comment se traduisent sur le graphique de h en fonction de x les observations précédentes ?
N
B
h
3
A
M
4
x
3 - 69
Déterminer tous les rectangles de dimensions entières dont l’aire égale le périmètre, c’est-à-dire l’aire et le
périmètre sont représentés par le même nombre.
3 - 70
Un rectangle est pavé par des carrés unitaires. Ceux du bord sont grisés et les intérieurs sont blancs. Déterminer
toutes les dimensions entières possible pour que l’aire grisée soit identique à l’aire blanche.
3 - 71
Dans une grande ville, la densité de population D (en habitants/km2) d’un quartier est liée à la distance x (en
km) qui sépare ce quartier du centre de la ville par
D=
5000x
x 2 + 36
(a) Comment varie la densité de population lorsque l’on s’éloigne du centre de la ville de 20 à 25 km ?
(b) Comment varie la densité de population lorsque la distance au centre devient grande ?
(c) Dans quelles zones de la ville la population excède-t- elle 400 habitants/km2 ?
3 - 72
De l’eau salée d’une concentration de 10 g de sel par litre coule dans un grand réservoir contenant initialement
200 litres d’eau pure.
(a) Si l’eau salée coule dans le réservoir à raison de 20 l/min, calculer le volume de l’eau V(t ) et la quantité de
sel A(t ) dans le réservoir après t min.
(b) Déterminer une formule pour la concentration de sel c(t ) (en g/l) après t min.
(c) Étudier la variation de c(t ) lorsque t devient arbitrairement grand.
Au chapitre suivant, nous verrons des équations et des inéquations construites à partir de fractions rationnelles.
C
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3.1. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS RATIONNELLES
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C
52
CHAPITRE
4
Équations et
inéquations
54
C
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CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
1
55
Équations avec des valeurs absolues
a. Résoudre l’équation |x − 5| = 3
Solution Si a et b > 0 sont des réels, alors |a| = b signifie que a = b ou a = −b.
Ainsi, si |x − 5| = 3, alors
x −5 = 3
ou
x=8
Exemples
x − 5 = −3
ou
x = +2
L’équation donnée a donc deux solutions, 8 et 2.
b. Résoudre l’équation 2 · |x − 5| + 3 = 11
Solution On commence par isoler l’expression en valeur absolue en soustrayant 3 et en divisant
par 2 pour obtenir.
11 − 3
=4
|x − 5| =
2
Puis, on procède comme dans le premier exemple.
4 -1
Résoudre les équations
3) 3 · |x + 1| − 2 = −11
5) 2 · |x − 6| = |5 − x| + 6
2) 2 · |5x + 2| − 1 = 5
4) |x − 5| = |3 − 2x| − 2
6) 2 · |x − 6| = |1 − 2x| + 1
Équations du second degré (ou s’y ramenant)
Rappel La solution d’une équation du second degré dont la forme générale est
ax 2 + bx + c = 0 avec a 6= 0
se trouve de la manière suivante.
µ
b
c
ax + bx + c = a x + x +
a
a
2
2
¶
x2 +
En prenant les deux premiers termes pour compléter le carré, on a :
ax 2 + bx + c = a
et en arrangeant le deuxième terme
=a
µµ
x+
b
2a
¶2
−
µ
+
c
a
µµ
x+
b
2a
¶2
−
b 2 − 4ac
4a 2
¶
b
2a
¶2
µ
¶ µ ¶2
b
b 2
b
x = x+
−
a
2a
2a
¶
Ainsi
ax 2 + bx + c = 0 ⇔ a
µµ
x+
µ
b
⇔ x+
2a
en posant ∆ = b 2 − 4ac
b
2a
¶2
¶2
=
−
¶
b 2 − 4ac
=0
4a 2
b 2 − 4ac
4a 2
(discriminant du trinôme)
¶
µ
b 2
∆
⇔ x+
=
2a
(2a)2
\
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C
2
1) |3x − 2| + 3 = 7
(♣)
56
4.2. ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ (OU S’Y RAMENANT)
• ∆ < 0, pas de solution
(car un carré ne peut être négatif)
µ
¶
b
b 2
b
• ∆ = 0, une solution unique : −
car
x+
=0
=0⇔x+
2a
2a
2a
p
p
p
µ
¶
b
−b − ∆
b 2
∆
∆
−b + ∆
⇔x+
et
car x +
=±
=
• ∆ > 0, deux solutions
2
2a
2a
2a
(2a)
2a
2a
p
−b ± ∆
⇔x=
2a
p
−b ± b 2 − 4ac
La formule en bref Si le discriminant ∆ > 0, alors x1,2 =
.
2a
Racines et facteurs Connaissant les deux racines du trinôme, il est possible de le factoriser
Ã
p !Ã
p !
−b + ∆
−b − ∆
2
ax + bx + c = a x −
x−
2a
2a
Remarque Tant qu’il est possible de factoriser le trinôme par l’utilisation d’une identité remarquable, il ne faut
se priver de le faire et, ainsi, éviter la formule avec le discriminant plus coûteuse en temps.
4 -2
Résoudre les équations :
3) (2x + 1)(5 − x) = (4x + 2)2
1) x(x − 1) = 3
2) (x − 1)2 = x(2x − 3)
4) x 3 − 6x 2 + 9x = 0
4 -3
5) x 3 + x 2 = 3x − x 2
6) (2 − x)3 = (x − 2)2 − 2 + x
Factoriser si possible les polynômes :
1) p 1 (x) = −x 2 + x + 1
2) p 2 (x) = −x 2 + x −
1
4
3) p 3 (x) = 2x 2 + x + 3
4 -4
Pour quelles valeurs de m , le polynôme p m (x) = 3x 2 − 4mx + 12, admet-il une seule racine ?
4 -5
Résoudre les équations :
1
1) x + 1 =
x
1
2) x + 1 =
x +1
x +1
3) 2x − 1 =
x −3
4) x 2 + 4 =
x +1 x +2
+
=1
x
x +1
2x
x +3
8)
+
=2
x +2
2x
4
x +1
7)
2
= −3
x
3
9
6) 2 − + 2 = 0
x x
5) x +
4 -6
Résoudre les systèmes d’équations :
(
x − y +1 = 0
i)
2
2
3x + y − 2x y − 2y + 1 = 0
(
ii)
(
2
y +x −1 = 0
x + y 2 + 3x − 3y − 2 = 0
x=sin a cos b
y=sin a sin b
4 -7
Trouver (si possible) deux nombres x et y , connaissant leur somme s et leur produit p
(
x+y =s
⇔
xy = p
Les solutions de
x + y = s et x · y = p
sont le(s) solution(s) (si elle(s) existe(nt)) de :
x 2 − sx + p = 0
4 -8
Déterminer (si possible) les dimensions d’un rectangle
(i) dont le périmètre est : 8 cm , et l’aire : 3,75 cm2 ;
(ii) dont le périmètre est : 8 cm , et l’aire : 5 cm2 ;
(iii) dont la longueur des diagonales est : 2,5 cm , et l’aire : 3 cm2 .
\
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C
Théorème 4 - 1
CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
57
2 1 Équations bicarrées ou par substitution
a. Résoudre l’équation 2x 4 + 13x 2 − 7 = 0
Solution On effectue le changement de variable y = x 2 .
L’équation 2x 4 + 13x 2 − 7 = 0 est alors équivalente au système
(
x2 = y
2y 2 + 13y − 7 = 0
La résolution de la 2e équation donne ∆ = 225 et fournit ainsi deux solutions y 1 = −7 ou y 2 = 21 .
Il nous reste deux
équations
à résoudre : x 2 = y 1 et x 2 = y 2 . La 1re n’a pas de solution et la 2e en
p
p
admet deux :
2
2 et
4
−
2
2 .
2
Conclusion : 2x + 13x − 7 = 0 admet deux solutions x =
2/3
ou x = −
p
2
2 .
b. Résoudre l’équation x + x − 6 = 0
¡
¢2
Remarque x 2/3 = x 1/3 . La forme de l’équation suggère la substitution y = x 1/3 .
Solution L’équation x 2/3 + x 1/3 − 6 = 0 est alors équivalente au système
(
x 1/3 = y
y2 + y − 6 = 0
On résout cette dernière équation
y2 + y − 6 = 0
on a posé y = x 1/3
(y + 3)(y − 2) = 0
y +3 = 0
y = −3
x
1/3
= −3
factorisation
y −2 = 0
y =2
x
1/3
=2
x =8
x = −27
équation-produit
substitution inverse
élévation au cube
Aucun contrôle n’est nécessaire, car nous n’avons pas élevé les membres de l’équation à une
puissance paire.
4 -9
Résoudre les équations :
1) x 4 − 8x 2 + 16 = 0
4) x 2/5 − 7x 1/5 + 12 = 0
3) x 4 + 2x 2 + 1 = 0
6) 6x 4 + 11x 2 + 4 = 0
5) x 4 − x 2 − 12 = 0
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\
2) x 6 − 4x 3 + 4 = 0
7) x 4 − x 2 − 1 = 0
C
Exemples
1/3
p
2
2
58
4.2. ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ (OU S’Y RAMENANT)
2 2 Équations irrationnelles
a. Résoudre l’équation 2x − 3 =
p
x +6
Remarque Les solutions de cette équation sont aussi des solutions de
p
(2x − 3)2 = ( x + 6)2
Généralement, cependant, cette dernière équation a plus de solutions que l’équation donnée.
En effet, si nous prenons l’équation x = 4 et que nous l’élevons au carré ses deux membres
x 2 = 16, nous obtenons une équation qui a pour solutions x = 4 et x = −4, une de plus que
l’équation de départ pour laquelle −4 n’est pas solution. Il faut donc vérifier après-coup si les
solutions obtenues ne renferment pas des solutions étrangères.
Solution On élève chaque membre au carré
(2x − 3)2 = x + 6
4x 2 − 12x + 9 = x + 6
4x 2 − 13x + 3 = 0
Exemples
(x − 3)(4x − 1) = 0
⇒ deux solutions possibles 3 ou
1
4
Après vérification dans l’équation de départ, seulement 3 est solution.
p
3
b. Résoudre l’équation x 2 − 1 = 2
Solution
p
3
x2 − 1 = 2
´3
³p
3
x 2 − 1 = 23
donnée
élever au cube les deux membres
x2 − 1 = 8
x2 = 9
x = ±3
Ici le contrôle n’est pas nécessaire, car nous avons élever chaque membre à une puissance
impaire.
4 - 10
4)
p
p
x +4+ x +7 = 3
p
p
8) 2x + 3 − x + 1 = 1
q
p
p
9) 5 x = 2x − 3
7)
3x + 1 = 1 − x
p
5) 3 − 1 − 2x = x
p
5
6) 2x 2 + 1 − 2 = 0
\
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$
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Résoudre les équations :
p
1) x − x − 2 = 0
2
1
2) p = − 1
x x
p
3
3) 2 + 1 − 5t = 0
p
CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
3
59
Problèmes
4 - 11
Détermination du trajet d’un ferry
Un ferry fait des voyages entre une ville et une île
situées comme le montre la figure ci-contre. Le bateau longe le rivage jusqu’à un certain point puis
va directement vers l’île. Si le bateau parcourt 12
km/h le long du rivage et 10 km/h lorsqu’il est en
pleine mer, déterminer les trajets qui durent 45 minutes.
3 km
7 km
d
x
3
7–x
4 - 12
7
Installation d’une ligne à haute tension
Une ligne à haute tension doit être installée à travers une rivière de 1 km de large vers une ville située à 5 km en descendant la rivière (voir figure).
Cela coûte 7 500 F par km pour le câble immergé
et 6 000 F pour la ligne aérienne. Déterminer comment le câble peut être installé si 35 000 F sont alloués pour le projet.
1
x
5
4 - 13
Trouver l’ensemble des points dont la distance à la droite d’équation x = 2 est égale à la distance les séparant
de la droite d’équation y = 3.
4 - 14
Population de cerfs
Un troupeau de 100 cerfs est introduit sur une petite île. Tout d’abord le troupeau grandit rapidement, mais par
la suite les ressources en nourriture baissent et la population diminue. Supposons que le nombre N(t ) de cerfs
après t années est donné par N(t ) = −t 4 + 21t 2 + 100, où t > 0.
1. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles N(t ) > 0.
2. La population de cerfs va-t-elle s’éteindre ? Si oui, quand ?
Les inéquations du 1er degré à une inconnue
1
x +3 .
2
Cette inéquation contient une inconnue au 1er degré (c’est x) ; elle comporte un membre de gauche et un
membre de droite, séparés par un signe d’inégalité :
Problème Résoudre l’inéquation
2 · (x − 4) 6
inconnue
1
2x + 4 ≤ x + 3
2
| {z } | {z }
membre de gauche
membre de droite
signe d’inégalité
\
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$
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4
4.4. LES INÉQUATIONS DU 1er DEGRÉ À UNE INCONNUE
Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’inégalité.
Ces valeurs sont appelées les solutions de l’inéquation.
On désignera par S l’ensemble des solutions de l’inéquation. En général, S sera un intervalle.
4 1 LES PROPRIÉTÉS DES INÉGALITÉS
Pour trouver les solutions d’une inéquation, on peut appliquer les trois propriétés suivantes :
Première propriété On peut ajouter (ou retrancher) un même nombre à chaque
membre d’une inégalité, sans en changer le sens :
si a ≤ b,
Exemple Prenons l’inégalité 7 < 8.
On peut ajouter 2 à chaque membre :
alors a + c ≤ b + c.
7+2 < 8+2
(en effet, 9 < 10).
Deuxième propriété On peut multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre positif, sans changer le sens de l’inégalité :
si a ≤ b
et c > 0,
alors ac ≤ bc.
Exemple Prenons l’inégalité 7 < 8.
On peut multiplier chaque membre par 3, sans changer le sens de l’inégalité :
3 · 7 < 3 · 8,
en effet, 21 < 24).
Troisième propriété On peut multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre négatif, à condition de changer le sens de l’inégalité :
si a ≤ b
et c < 0,
alors ac ≥ bc.
Exemple Prenons l’inégalité 7 < 8.
On peut multiplier chaque membre par −1, à condition de changer le sens de l’inégalité :
(−1) · 7 > (−1) · 8
(en effet, −7 > −8).
4 2 LA RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION DU 1er DEGRÉ À UNE INCONNUE
Pour résoudre une inéquation du 1er degré, on utilisera ces 3 propriétés.
Problème Résoudre l’inéquation −x + 4 ≤ 2x − 2 .
Solution Si x vérifie cette inéquation, alors
(1re propriété)
−x − 2x ≤ −2 − 4
(réduction)
−3x ≤ −6
−3x −6
≥
−3
−3
x ≥2
(3e propriété)
(simplification des fractions)
L’inéquation est vérifiée par toutes les valeurs de x supérieures ou égales à 2. Si on désigne l’ensemble
des solutions de cette inéquation par S, on peut écrire :
©
ª
S = x |x ≥ 2 = [2; ∞[.
Représentation graphique Les solutions sont indiquées par la partie non hachurée de la droite graduée. Le
sens du crochet indique que 2 est une solution :
|
|
0
1
\
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60
h
2
CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
61
4 3 Les demi-droites et les intervalles
On distingue 4 types d’intervalles ; dans la représentation graphique, l’intervalle est représenté par la partie
non hachurée de la droite. Le sens d’un crochet indique si a ou b appartient à l’intervalle, ou non.
intervalle fermé
[a ; b]
Représentation
graphique
h
i
Intervalle ouvert
]a ; b[
i
Intervalle :
nom et notation
a
Description : ensemble
des nombres x tel que :
a≤x ≤b
b
h
Intervalle semi-ouvert
à droite [a ; b[
a
h
a
b
h
Intervalle semi-ouvert
à gauche ]a ; b]
i
b
a<x <b
a≤x <b
b
i
a
a<x ≤b
On distingue aussi 4 types de demi-droites :
Demi-droite :
notation
]a ; +∞[
Représentation
graphique
i
[a ; +∞[
] − ∞ ; a[
a
x>a
h
a
x≥a
h
x<a
a
x≤a
a
i
] − ∞ ; a]
Les systèmes d’inéquations à une inconnue
Voici un système de deux inéquations à une inconnue :


➀
x − 4 ≤ 2x + 1

➁  −2x + 5 ≥ 5x − 2
Résoudre un tel système, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue x qui vérifient à la fois ➀ et ➁. Ces
valeurs sont les solutions du système.
Marche à suivre :
a) Résoudre l’inéquation ➀.
b) Résoudre l’inéquation ➁.
c) Chercher les nombres qui sont solution à la fois de ➀ et de ➁.
Ces nombres forment l’ensemble des solutions du système.
\
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5
Description : ensemble
des nombres x tel que :
62
4.6. LES INÉQUATIONS RATIONNELLES
a) Résolution de ➀ :
b) Résolution de ➁ :
x − 4 ≤ 2x + 1
−2x + 5 ≥ 5x − 2
x − 2x ≤ 1 + 4
−2x − 5x ≥ −2 − 5
−x ≤ 5
−7x ≥ −7
x ≤1
x ≥ −5
Si S 1 désigne l’ensemble des solutions de ➀, on
peut écrire :
©
ª
S 1 = x |x ≥ −5
Si S 2 désigne l’ensemble des solutions de ➁, on
peut écrire :
©
ª
S 1 = x |x ≤ 1
Pour trouver les nombres x qui sont à la fois dans S 1 et dans S 2 , représentons graphiquement ces deux ensembles :
S1
S2
S1 ∩ S2
h
|
|
−5
0
|
|
−5
h
0
+1
i
+1
i
|
0
−5
+1
Si S désigne l’ensemble des solutions du système d’inéquations, on peut écrire :
S = S1 ∩ S2 .
On voit, en comparant les représentations graphiques de S 1 et de S 2 , que
©
ª
S = x | − 5 ≤ x ≤ 1 = [−5; 1].
6
Les inéquations rationnelles
Rappel Le principe générale à suivre pour résoudre les équations de degré supérieur à 1 est de mettre tout
dans un membre et de factoriser ce membre pour avoir une équation-produit (cf. cours de 1re) :
x 2 + 12x = −20
x 2 + 12x + 20 = 0
(x + 10)(x + 2) = 0
⇒S = {−10; −2}
... même si on est parfois tenté de faire autre chose
Faux x 2 = x · (2x − 1)
(division par x)
x 2 =x · (2x − 1)
Correct
x 2 − x · (2x − 1) = 0
¡
¢
x x − (2x − 1) = 0
x = 2x − 1
x=1
x(−x + 1) = 0
tout dans un membre
factorisation
équation-produit
S = {0; −1}
Il est incorrect de diviser chaque membre par x sans autre, car x peut recevoir la valeur 0. Il est vrai
que l’on peut se tirer d’affaire en distinguant les deux cas : x = 0 et x 6= 0.
Avec les inéquations comportant des fractions rationnelles, la situation est encore un peu plus délicate.
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Exemple
CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
Pour résoudre l’équation −
pliant chaque côté par x.
Faux −
1
+2 < x
x
1
+ 2 < x, on peut aussi être tenté d’évacuer le dénominateur en multix
Correct
(multipl. par x)
−
1
+2 < x
x
1
−2
x
x 2 + 1 − 2x
0<
x
(x − 1)2
0<
x
∗
S = R+ \ {1}
−1 + 2x < x 2
Exemple
63
0<x+
0 < x 2 − 2x + 1
0 < (x − 1)2
S = R \ {1}
tout dans un membre
factorisation
le signe dépend de x
Où est le problème ? Que se passe-t-il lorsqu’on multiplie une inéquation par x ?
1° Mettre tout dans un membre
2° Mettre au même dénominateur
Méthode
3° Factoriser
4° On cherche les valeurs de x pour lesquelles le membre non nul est positif ou négatif. Généralement,
on recourt à un tableau de signes.
x +1
≤ 2.
x +3
Solution Il faut commencer par tout mettre dans un membre.
Résoudre l’inéquation
x +1
−2 ≤ 0
x +3
x + 1 − 2(x + 3)
≤0
x +3
−x − 5
≤0
x +3
x +5
≥0
x +3
Exemple
x
−∞
−5
x +5
−
x +3
−
x +5
x +3
+
−3
0
+
−
réduire, pas besoin de factoriser
multiplier par −1
+∞
+
0
−
0
regrouper en une fraction
En lisant la dernière ligne du tableau, la réponse
est :
+
S = R\] − 5; −3] =] − ∞ ; −5]∪] − 3; +∞[
+
4 - 15
Résoudre les inéquations
3−x x −2
3 − 2x
−
>−
4
3
6
1
1) (x − 1) ≥ −x − 2
2
2)
4) 2x 2 + 2x + 5 > 3x 2 + x + 1
5) 2x 3 + 3x 2 − 3x − 2 > 0
1 2x + 3 3
7) − <
<
2
5
2
8)
3) −x 2 − 2x + 3 ≥ 0
6) x 4 ≥ x 2
1
1
≤
x x +1
9)
C
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2x
<0
16 − x 2
64
4.7. PROBLÈMES
10)
7
1
3
≥
x −2 x +1
11)
x
3
≥
2x − 1 x + 2
12)
x
2
≤
3x − 5x x − 1
Problèmes
4 - 16
J’ai le choix entre deux voitures d’occasion :
— la première coûte 6 000 € et consomme 10 l/100km
— la deuxième coûte 8 000 € et consomme 8 l/100km
Si l’essence coûte en moyenne 1 € /l et que je roule 20 000 km/an, après combien d’années la deuxième voiture
me reviendra-t-elle moins cher que la première ?
4 - 17
Un réseau de téléphonie mobile propose deux tarifs mensuels :
— l’abonnement de base à 15 € et 10¢ par minute de communication
— l’abonnement ‘extra’ à 25 € et 6¢ par minute de communication
a) Si je téléphone 1h par mois, quel est le tarif le plus intéressant ?
b) Si je téléphone 10h par mois, quel est le tarif le plus intéressant ?
c) Combien de temps dois-je téléphoner, pour que le tarif extra soit plus avantageux ?
4 - 18
Une entreprise fabrique un produit. Pour une période donnée, le coût total de production, en €, est donné en
fonction du nombre q d’articles fabriqués par :
C(q) = 2q 2 + 10q + 900
Tous les articles fabriqués sont vendus ; la recette totale en € est donnée par R(q) = 120q .
1. Vérifier que le bénéfice total est donné par B(q) = −2(q 2 − 55q + 450), puis trouver la forme factorisée de
B(q).
2. Pour quels nombres d’articles produits la production est elle rentable ?
4 - 19
Une page d’un livre a été arrachée. On sait seulement que la somme des numéros de pages restantes est de
654321. Combien le livre avait-il de pages initialement et quel est le numéro de la page déchirée ?
8
Inéquations et valeurs absolues
La présence d’une valeur absolue dans un calcul ou une équation ne permet pas de poursuivre un calcul direct.
Il faut au contraire entrer dans une discussion de cas conformément à la définition de la valeur absolue


expression
si expression ≥ 0
|expression| =

−expression si expression < 0
Soit l’inéquation
|x 
− 1| ≤ 5.

x − 1
si x − 1 ≥ 0, c.-à-d. x ≥ 1
Sachant que |x − 1| =
,

−(x − 1) si x < 1
x<1
Exemple
|x − 1| ≤ 5
cette inéquation se partage en 2 cas.
x≥1
−x + 1 ≤ 5
x −1 ≤ 5
x ≤6
−4 ≤ x
S 1 = [−4; 1[
S 2 = [1; 6]
⇒ S = [−4; 6]
Il est aussi possible de résoudre cette inéquation géométriquement, car |x − 1| ≤ 5 s’interprète comme
tous les points d’abscisse x dont la distance à 1 est inférieure ou égale à 5, c.-à-d. −4 = 1−5 ≤ x ≤ 1+5 = 6.
C
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CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS
65
Soit l’inéquation |x − 1| + |2x + 3| ≤ 5.
Avec deux valeurs absolues ou plus, il est plus simple de les présenter dans un tableau qui donne la valeur
de chacune d’elle en fonction des différentes valeurs de l’inconnue.
x
−∞
1
−3/2
|x − 1|
−x + 1
|2x + 3|
−2x − 3
−x + 1
0
Cas 1
0
+∞
x −1
2x + 3
2x + 3
Cas 2
Cas 3
Exemple
Cas 1
x < −3/2
−x + 1 − 2x − 3 ≤ 5
|x − 1| + |2x + 3| ≤ 5
Cas 3
x ≥1
Cas 2
−3/2 ≤ x < 1
−x + 1 + 2x + 3 ≤ 5
−3x − 2 ≤ 5
x − 1 + 2x + 3 ≤ 5
x ≤1
S 2 = [−3/2; 1[
−7/3 ≤ x
S 1 = [−7/3; −3/2[
Donc, S = [− 72 ; 1].
Il n’est pas très aisé de résoudre cette inéquation géométriquement.
4 - 20
Résoudre les inéquations
1) |x − 5| < 3
2) |x + 2| < 4
3) |x + 2| > 4
4) |2x + 3| > 9
5) 2 < |2x − 1| < 3
¯
¯
¯ 2 − 3x ¯
¯≥2
6) ¯¯
5 ¯
7) |2x − 1| − 3 > |x + 5|
8) 3 · |x| − 2 > |x − 5|
9) |5 − x| + |2x − 6| ≥ 1
C
\
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3x ≤ 3
x≤1
S 3 = {1}
CHAPITRE
5
Encore les
fonctions
CHAPITRE 5. ENCORE LES FONCTIONS
C
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67
68
5.1. APPLICATIONS, FONCTIONS, DOMAINE
1
Applications, fonctions, domaine
A et B étant deux ensembles, on appelle application de A dans B (ou fonction définie sur A à valeur dans
B), toute correspondance f qui à chaque élément de A fait correspondre un seul élément de B, noté f (x).
Définition 5 - 1
f : A −→B
x −→f (x)
— A est l’ensemble de départ ou encore la source de f .
— B est l’ensemble d’arrivée ou encore le but de f .
Définition 5 - 2
Le domaine d’une fonction f est le plus grand sous-ensemble de R sur lequel il est possible de définir f
comme une fonction. Il est noté D f .
a. La fonction
f : R+ −→R
x
Exemples
−→x 2
a pour ensemble de départ R+ et pour ensemble d’arrivée R.
b. Le domaine de cette fonction f (x) = x 2 est cependant R.
c. La fonction f définie par f (x) =1/x est une application de R∗ dans R, et elle est différente de la


1/x pour x 6= 0
fonction g définie par : g (x) =
, car les domaines de définition ne sont pas les

1
pour x = 0
mêmes. En effet, g a pour domaine R.
p
x −3
d. Le domaine de la fonction f (x) =
se trouve
x −5
— en cherchant quand x −3 est positif, car on ne peut prendre que la racine d’un nombre positif :
x − 3 ≥ 0 si et seulement si x ≥ 3 ;
— en regardant quand le dénominateur s’annule, car on ne peut diviser par 0 : pour x = 5.
Ainsi D f = [3; ∞[\{5}.
1 1 Injections, surjections et bijections
Définition 5 - 3
Une application f de A dans B est dite injective, ou encore que c’est une injection, si deux éléments
distincts de A ont pour image par f deux éléments distincts de B.
Définition 5 - 4
Une application f de A dans B est dite surjective, ou encore que c’est une surjection, si tout élément de
B est l’image par f d’au moins un élément de A.
Définition 5 - 5
Une application f de A dans B est dite bijective, ou encore que c’est une bijection, si tout élément de B
est l’image par f d’un élément et d’un seul de A.
Ceci revient à dire qu’une application est bijective si, et seulement si, elle est à la fois injective et surjective.
Une bijection d’un ensemble sur lui-même est aussi appelée une permutation si l’ensemble est dénombrable.
r
f :B→A
\
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Définition 5 - 6
Soit f une bijection et soit y ∈ B. On désigne par f −1 (y) ou r f (y) l’unique élément x de A tel que f (x) = y
(cet élément est aussi appelé la pré-image de y). De cette manière, nous pouvons définir une nouvelle
application, notée f −1 ou encore r f , de B dans A. C’est aussi une bijection. Elle est appelée l’application
réciproque ou la bijection réciproque de f :
CHAPITRE 5. ENCORE LES FONCTIONS
69
a. Soit la fonction f définie de R+ dans R+ par f (x) = x 2 . On vérifie d’abord qu’elle est bien bijective,
p
puis on définit la fonction réciproque r f par r f (y) = y.
Exemples
b. Soit la fonction sin : [−π/2; +π/2] −→ [−1; +1]. C’est une fonction bijective dont la réciproque est
sin−1 (aussi notée arcsin) : [−1; +1] −→ [−π/2; +π/2].
c. Soit la fonction cos : [0; π] −→ [−1; +1]. C’est une fonction bijective dont la réciproque est cos−1
(aussi notée arccos) : [−1; +1] −→ [0; π].
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
✲
✲
✲
✲
✲
✲
✲
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
b8
✲
❃
✲
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
❃
✲
✶
✶
✸
✒
Surjection
Injection
✲
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
b1
b2
b3
b4
b5
b6
✲
✲
✲
✲
✲
✲
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
Bijection
1 2 Applications composées
Soient les deux applications suivantes :
f : A −→ B
g : B −→ C
on appelle application composée g ◦ f , l’application de A dans C donnée par g ◦ f (x) = g ( f (x)). Il faut noter
qu’on écrit g ◦ f dans l’ordre inverse de celui dans lequel les opérations sont effectuées :
f
g
A −−−−→ B −−−−→ C
Soit deux applications f et g définies comme suit
f : R −→ R
g : R −→ R
x −→ (x − 1)2
x −→ 2x + 1
g ◦ f : R −→ R
x −→ g ( f (x)) = ((2x + 1) − 1)2
= (2x)2
= 4x 2
— la composition des applications est associative : si f , g et h sont des applications de A dans B, de B dans
C et de C dans D respectivement, on a (h ◦ g ) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) ; ce qui s’écrit simplement : h ◦ g ◦ f ;
— si f −1 est la bijection réciproque d’une bijection f de A dans B, on a : f −1 ◦ f = IA (application identique
de A dans A) et f ◦ f −1 = IB (application identique de B dans B) ;
— inversément si f est une application de A dans B, et g une application de B dans A telle que g ◦ f = IA et
f ◦ g = IB , alors f est une bijection et g est sa bijection réciproque ;
— si f est une bijection de A dans B, et g une bijection de B dans C, g ◦ f est une bijection de A dans C et sa
bijection réciproque est (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
1
(g ◦ f ) ◦ (g ◦ f )−1 = (g ◦ f ) ◦ ( f −1 ◦ g −1 )
= g ◦ f ◦ f −1 ◦ g −1
| {z }
par l’associativité
IA
−1
= g ◦g
| {z }
=
IB
\
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Exemple
70
5.2. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DE LA RÉCIPROQUE D’UNE FONCTION BIJECTIVE
Lors de la composition g ◦ f de deux fonctions f et g , il faut s’assurer de ne prendre dans le domaine de
f que les x tels que f (x) soient dans le domaine de g .
g
f
x
g ( f (x))
f (x)
g◦f
Image du
domaine de f
Domaine de f
Domaine de g
On voit dans le croquis ci-dessus qu’il est possible d’imaginer un x tel que f (x) soit en-dehors du domaine
de g .
Remarque
Exemple
f : R −→ R
et
g : R+ −→ R
p
x −→ 2x + 1
x −→ x
Dans ce cas, g ( f (−3)) n’est pas défini car f (−3) n’est pas dans le domaine de g . Pour éviter ce problème,
le domaine de g ◦ f doit se limiter aux x tels que 2x + 1 ≥ 0, c.-à-d. aux x ∈ [−1/2; +∞].
Si f est une fonction bijective et g sa réciproque,
on a par définition : r f ◦ f = Id et f ◦ r f = Id. Il faut
alors que
Domaine de f
Image de f
f
Image f = Domaine r f
f (x)
x
Domaine f = Image r f
r
f
Image de r f
Interprétation géométrique de la réciproque d’une fonction
bijective
y = f (x)
Soit un point (a, b) appartenant à la représentation graphique d’une fonction bijective f donnée.
On a alors b = f (a). On a aussi immédiatement
a = r f (b). Ainsi (b , a) est un point du graphe de la
fonction réciproque r f . On note aussi que la ligne
joignant les points (a, b) et (b, a) est perpendiculaire à la droite d’équation y = x et que celle-ci la
coupe en son milieu. La droite y = x est donc un
axe de symétrie pour les courbes représentant les
fonctions f et r f .
(a, b)
(b, a)
a
a
\
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$
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y =x
y =r f (x)
b
C
2
Domaine de r f
b
CHAPITRE 5. ENCORE LES FONCTIONS
Recherche de la fonction réciproque
On a vu que le graphe d’une fonction bijective et de sa réciproque sont symétriques relativement à la droite
d’équation y = x. Ceci signifie que l’on peut obtenir r f en interchangeant les rôles de x et y dans f . En d’autres
termes, si f : x 7→ y est défini par une équation du type
y = f (x)
alors r f : y 7→ x est défini implicitement par la même équation.
Si l’on peut résoudre cette équation en x, alors on aura la forme explicite pour r f , c’est-à-dire
x =r f (y)
Cela nous donnera une expression pour r f : y 7→ x. Mais, comme il n’est pas très habituel de donner une fonction par rapport à y, on peut échanger les x et y pour avoir la forme
r
f : x 7→ y
Exemple 1 : Soit la fonction f : x 7→ 2x − 1. Trouver la source et le but de la fonction f afin qu’elle soit bijective,
puis déterminer sa réciproque. Faire ensuite le graphique de ces deux fonctions.
Solution : La fonction f est bijective, car linéaire et croissante. On peut aussi montrer qu’elle est bijective en
vérifiant d’abord qu’elle est injective, puis surjective.
Injectivité : si x1 6= x2 ,
alors
2x1 6= 2x2
Surjectivité : on regarde quelles sont les valeurs de y qui ont une préimage
2x1 − 1 6= 2x2 − 1
. . . 7→ y = 2x − 1
f (x1 ) 6= f (x2 ) sans restriction sur x
y + 1 = 2x
1
x = (y + 1) sans restriction sur y
2
f : R
r
f : R
→R
Ceci donne du même coup la fonction réciproque rf (y) = 12 (y + 1). Pour avoir l’expression habituelle pour une fonction, il suffit de
remplacer y par x.
→R
1
x 7→ (x + 1)
2
Graphique de f et r f :
5
f (x) = 2x − 1
f (x) = 21 (x + 1)
-5
5
-5
y=x
Exemple 2 : Soit la fonction f : x 7→
cation.
2x + 1
,
x −3
x 6= 3. Elle est bijective. Trouver sa réciproque et faire une vérifi-
Solution : On cherche d’abord les intervalles où la fonction est injective et surjective. Mais, pour cela, il faut
d’abord réécrire f pour que la variable x n’apparaisse qu’une fois. On y arrive en procédant à la
7
2x + 1
= 2+
.
division polynomiale qui permet d’obtenir :
x −3
x −3
\
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C
3
71
72
5.3. RECHERCHE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE
Injectivité : si x1 6= x2 ,
alors
x1 − 3 6= x2 − 3
Surjectivité : on regarde quelles sont les valeurs de y qui ont une préimage
7
7
6
=
x1 − 3 x2 − 3
7
7
2+
6 2+
=
x1 − 3
x2 − 3
si x 6= 3
. . . 7→ y = 2 +
7
avec y 6= 2
x −3
x −3
1
=
y −2
7
7
x=
+3
y −2
y −2 =
g (x1 ) 6= g (x2 )
f :
r
R \ {3} → R \ {2}
R \ {2} → R \ {3}
f :
7→
x
Vérification :
7
x −3
7
3x + 1
+3 =
x −2
x −2
2x + 1
¶ 3
+1
7x
6x + 3 + x − 3
2x
+
1
r
=
=x
= x −3
=
f ( f (x)) =r f
x −3
2x
+
1
−
2(x
−
3)
7
2x + 1
−2
x −3
Ã
!
3x + 1
µ
¶ 2 x −2 +1
3x + 1
2(3x + 1) + x − 2 7x
r
f ( f (x)) = f
=
=x
=
=
x −2
3x + 1 − 3(x − 2)
7
3x + 1
−3
x −2
µ
Exemple 3 : Soit la fonction f : x 7→ x 2 . Trouver sa réciproque si x ≥ 0.
Solution : Cette fonction n’est bijective que si son domaine est R+ . Elle est alors croissante.
Surjectivité : on regarde quelles sont les valeurs de y qui ont une préimage
Injectivité : si x1 6= x2 ,
alors
x12 6= x22 à condition que x ≥ 0
f (x1 ) 6= f (x2 )
f :
r
. . . 7→ y = x 2
p
x= y
R+ → R+
f : R+
→
R+
p
x →
7
x
p
Vérification : r f ( f (x)) =r f (x 2 ) = x 2 = |x| = x,
p
p
f (r f (x)) = f ( x) = ( x)2 = x
puisque x ≥ 0
2
à condition que y ≥ 0
f (x) = x 2 y = x
r
f (x) =
p
x
2
Exemple 4 : f : x 7→ x 2 − 6x − 8. Trouver sa réciproque après avoir déterminé les ensembles de départ et d’arrivée.
On a un problème comparable à celui de l’exemple 2 où la variable x apparaissait aussi 2 fois dans
l’expression de la fonction. Il faut donc réécrire la fonction en complétant cette fois-ci le carré :
x 2 − 6x − 8 = (x − 3)2 − 9 − 8 = (x − 3)2 − 17.
Injectivité : si x1 6= x2 ,
alors
x1 − 3 6= x2 − 3
Surjectivité : on regarde quelles sont les valeurs de y qui ont une préimage
(x1 − 3)2 6= (x2 − 3)2
2
2
condition x ≥ 3
. . . 7→ y = (x2 − 3)2 − 17
(x1 − 3) − 17 6= (x2 − 3) − 17
y + 17 = (x − 3)2 avec y ≥ −17
p
p
x = y + 17 + 3 ou − y + 17 + 3
f (x1 ) 6= f (x2 )
f :
r
[3, +∞[ → [−17; +∞[
f : [−17; +∞[ →
x
[3, +∞[
x + 17 + 3
Si on ne cherche pas à déterminer les ensembles de départ et d’arrivée et qu’on veut avoir uniquement
l’expression de la réciproque, il suffit de résoudre l’équation poser vérifier la surjectivité.
\
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C
Remarque
7→
p
CHAPITRE 5. ENCORE LES FONCTIONS
73
5 -1
Le périmètre d’un rectangle est de 50 mètres. Exprimer son aire en fonction de la longueur d’un de ses côtés.
5 -2
En économie, le chiffre d’affaires R est défini comme la somme d’argent obtenue par la vente d’un produit et
est égal au prix unitaire p du produit multiplié par le nombre d’unités vendues x . C’est-à-dire
R = xp
Généralement, x et p sont liés : quand l’un augmente, l’autre décroît. Supposons que x et p soient reliés par
l’équation suivante :
1
p = − x + 25
0 ≤ x ≤ 200
10
Exprimer le chiffre d’affaires R comme une fonction du nombre x d’unités vendues.
5 -3
f : N −→ N ,
Soit
est-ce que f est injective ? surjective ?
x −→ x + 3
5 -4
Déterminer le domaine de définition des fonctions
p
ax + b
f 2 : x 7→ 7x 2 − 4x − 11
f 1 : x 7→
cx + d
p
f 5 : x 7→ 4 − x 2
x
f 4 : x 7→
|x − 2|
f 7 : x 7→
p
f 3 : x 7→
p
x −1· x +2
f 8 : x 7→
3x − 2
f 10 : x 7→ p
2
5x − 13x + 6
f 6 : x 7→
p
(x − 1)(x + 2)
f 11 : x 7→
r
f 9 : x 7→
2x + 6
x −2
x +7
2x 3 − 7x 2 + 5x
p
x 2 − x − 12
x +1
p
5x − 7
3x 2 − 5x + 8
f 12 : x 7→
6−
p
5
63x 2 − 17x − 10
5 -5
Représente par des diagrammes fléchés toutes les injections de A = {a; b} vers B = {t ; u; v}.
5 -6
Établis une bijection entre l’ensemble des nombres pairs positifs et Z+ .
5 -7
Vérifier que les fonctions f et g soient les réciproques l’une de l’autre en montrant que f (g (x)) = x et g ( f (x)) =
x.
x
1
2) f : x 7→ 4x − 8; g : x 7→ + 2
1) f : x 7→ 3x + 4; g : x 7→ (x − 4)
3
4
3) f : x 7→
1
;
x
g : x 7→
1
x
4) f : x 7→
2x + 3
;
x +4
g : x 7→
4x − 3
2−x
5 -8
Utiliser le test de la ligne horizontale pour déterminer si les graphiques suivants représentent des fonction
bijectives
3
3
3
3
3
-3
-3
3
-3
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\
-3
-3
C
-3
74
5.3. RECHERCHE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE
3
3
-3
3
3
-3
3
-3
-3
3
-3
-3
5 -9
Trouver les réciproques des fonctions suivantes et déterminer leur source et leur but.
1) f : x 7→ 3x
2) f : x 7→ 4x + 2
4) f : x 7→ x 3 + 1
5) f : x 7→ x 2 + 9,
7) f : x 7→
2
3+x
8) f : x 7→
3) f : x 7→ x 3 − 1
6) f : x 7→ −
x ≥0
2x − 3
x +4
3
x
p
9) f : x 7→ 2 3 x
☞ pour déterminer la source et le but afin que la fonction soit bijective, il faut rendre la fonction injective et
surjective.
5 - 10
(2, 1)
Le graphe de la figure ci-contre est celui d’une
fonction bijective d’équation y = f (x). Dessine le
graphe de la fonction réciproque.
(−1, 0)
(−2, −1)
5 - 11
Soit A = {a; b} et B = {1; 2, 3}
1 ° donne toutes les applications de A vers B ;
2 ° indique celles qui sont injectives, surjectives, bijectives.
5 - 12
Soit les applications :
f : N −→ Z
g : Z −→ Q
x
x −→
3
x −→ −2x + 3
Détermine l’application composée g ◦ f .
5 - 13
Pour chacune des fonctions f suivantes, trouve deux fonctions g et h distinctes de l’identité, telles que f = g ◦h .
1) f : x −→ x 2 + 1
2) f : x −→
1
x −9
de . . . vers R
de . . . vers R
3) f : x −→ (x + 1)2 de . . . vers R
p
4) f : x −→ x + 3 de . . . vers R
p
5) f : x −→ x + 3 de . . . vers R
Complète l’énoncé avec la source de chacune des fonctions données.
C
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CHAPITRE 5. ENCORE LES FONCTIONS
75
5 - 14
Soit les deux fonctions
f : R −→ R
g : R −→ R
x −→ ax + b
x −→ cx + d
À quelle condition a-t-on f ◦ g = g ◦ f
5 - 15
Soit quatre fonctions f , g , h et j de R dans R.
f : x −→ 3x
g : x −→ x 2 − 1
h : x −→
1
x2 + 4
j : x −→ −x
Détermine la réciproque de chacune d’elles, puis les composées f ◦ g ◦ h ◦ j et j ◦ h ◦ g ◦ f .
5 - 16
Soit une bijection f : Z+ −→ Z \ {?} définie de la manière suivante :
f (x) =


−2x

x +1
2
si x est pair,
si x est impair.
¡
¢
Trouve la bijection réciproque f −1 de f telle que : f −1 ◦ f (x) = f −1 f (x) = x .
5 - 17
Soit f une application de A vers B. Montre que, s’il existe une application g de B vers A telle que g ◦ f = IA , alors
f est injective.
5 - 18
1
Soit f : x −→ 1 − x1 et g : x −→ 1−x
deux applications de R \ {0; 1} vers R \ {0; 1}.
Détermine g ◦ f et f ◦ g . Conclusion ?
5 - 19
Soit les fonctions
g : R \ {3} −→ R∗
2
x −→
x −3
f : R \ {−4} −→ R \ {3}
3x − 1
x −→
x +4
1 ° vérifie par calculs que f est une bijection et détermine sa réciproque
2 ° détermine la fonction g ◦ f
3 ° décompose g en deux fonctions, c.à-.d. trouve deux fonctions h et k telles que h ◦ k = g , attention aux
sources et aux buts !
5 - 20
Démontre que la composition de deux fonctions injectives est aussi injective.
5 - 21
f : x −→
x
x2 − 2
est une application de Q dans Q, mais elle n’est pas une application de R dans R. Pourquoi ?
5 - 22
On considère les applications p 1 et p 2 de R × R dans R × R telles que
p 1 : (x; y) −→ (x; 0)
p 2 : (x; y) −→ (0; y)
1 ° dessine les images de quelques couples par p 1 et par p 2 ;
2 ° montre que p 1 et par p 2 sont surjectives
3 ° quel est l’ensemble des pré-images de (a; 0) par p 1 ?
quel est l’ensemble des pré-images de (0; b) par p 2 ?
4 ° interprète p 1 et par p 2 géométriquement.
C
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76
5.3. RECHERCHE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE
5 - 23
On considère les applications f et g de R × R vers R × R telles que
f : (x; y) −→ (−x; y)
g : (x; y) −→ (x; −y)
1 ° dessine les images de quelques points de R × R par f et par g ;
2 ° montre que f et par g sont des bijections ; détermine leur réciproque ;
3 ° détermine g ◦ f ;
4 ° interprète géométriquement f , g et g ◦ f .
5 - 24
Soit f : x −→
p
x +1−1
; vérifie que 0 n’a pas de pré-image par f .
p
x
5 - 25
Est-ce que f : x −→ 1 + x 2 de [−1; 2] dans [2 ;5] est une application ?
5 - 26
Trouver la source et le but des fonctions suivantes pour qu’elles soient bijectives, puis déterminer leurs réciproques.
f 1 : x 7→ x 2 + 4
f 2 : x 7→
x +1
x
f 3 : x 7→ x 2 − 1
f 4 : x 7→ x 2 − 4x + 5
f 5 : x 7→
1
x −2
f 6 : x 7→
5 - 27
Soit la fonction f : x 7→
x
2x+1
(1) Calculer f ◦ f .
(2) Calculer f ◦ f ◦ f , puis f ◦ f ◦ f ◦ f .
(3) Calculer ( f ◦ f ◦ · · · ◦ f )(x).
{z
}
|
20 fois
5 - 28
Soit la fonction f : x 7→ 2x + 1
(1) Calculer f ◦ f .
(2) Calculer f ◦ f ◦ f , puis f ◦ f ◦ f ◦ f .
(3) Calculer ( f ◦ f ◦ · · · ◦ f )( 2120 ).
{z
}
|
20 fois
5 - 29
Soit la fonction f : x 7→
2x
de R \ {2} dans R \ {2}.
x −2
(1) Déterminer f ◦ f = f (2) .
(2) Déterminer f ◦ f ◦ f = f (3) .
(3) Déterminer f (2n+1) (4) pour n ∈ N.
(4) Quelle est la réciproque de f ?
C
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1−x
2 + 3x
CHAPITRE 5. ENCORE LES FONCTIONS
4
77
Présentations alternative pour l’injection, la surjection et la
bijection
4 1 Injection
Une application f de A dans B est dite injective, ou encore que c’est une injection, si deux éléments
distincts de A ont pour image par f deux éléments distincts de B.
f : A →B
f (x2 )
6=
4 1 a Explication
f (x1 )
6=
x1 7→ f (x1 )
x2 7→ f (x2 )
Une fonction est injective si, pour tout couple de
nombres dans A, les images des ces nombres sont
différentes. Il en découle que dans le cas d’une
fonction continue (dans le graphe se dessine sans
lever le crayon), la courbe représentative de la
fonction est soit montante, soit descendante.
Si la courbe monte, puis descend, elle va présenter des points qui se trouvent à la même hauteur, comme on le voit dans le contre-exemple du
graphe d’une fonction non-injective.
x1
x2
Exemple
f (x1 ) = f (x2 )
À partir de là, on peut imaginer un test graphique
pour vérifier si une une fonction est ou n’est pas
injective.
x1
x2
Contre-exemple
4 1 b Test graphique
Chaque horizontale coupe au plus une
fois la courbe représentative de la
fonction !
4 1 c Test algébrique
a. Est-ce que la fonction suivante est injective ?
f : R →R
Il faut montrer que quels que soient x1 et x2 , leurs images sont différentes. Pour obtenir celles-ci, il
faut élever x au carré :
si x1 6= x2 , alors x12 6= x22 est faux, car il suffit de prendre deux nombres opposés comme −3 et 3 pour
le montrer. Ainsi f n’est pas injective.
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C
Exemples
x 7→x 2 − 5
78
5.4. PRÉSENTATIONS ALTERNATIVE POUR L’INJECTION, LA SURJECTION ET LA BIJECTION
a. Cependant, en changeant l’ensemble de départ pour exclure les nombres positifs ou les nombres
négatifs, il est possible de rendre f injective.
f ∗ : R+ →R
x
si x1 6= x2 , alors
x12 6= x22
x12 − 5 6= x22 − 5
7→x 2 − 5
| au carré
|−5
f (x1 ) 6= f (x2 )
b. Est-ce que la fonction suivante est injective ?
f : R \ {−2} →R
x −1
x
7→
x +2
Exemples
si x1 6= x2 , alors x1 − 1 6= x2 − 1 ..., mais pour poursuivre, il faudrait diviser par deux nombres différents x1 + 2 et x2 + 2 et rien n’est moins sûr que deux nombres différents divisés par deux nombres
différents donnent toujours pour résultat deux nombres différents. On s’en tire en mettant la fonction homographique sous forme canonique.
f (x) =
si x1 6= x2 , alors
3
x −1 x +2−2−1 x +2−3
=
=
= 1−
x +2
x +2
x +2
x +2
x1 + 2 6= x2 + 2
1
1
6=
x1 + 2 x2 + 2
1
1
−3
6= −3
x1 + 2
x2 + 2
1
1
1−
6= 1 −
x1 + 2
x2 + 2
| +2
| passage à l’inverse
passage à l’opposé
|+1
f (x1 ) 6= f (x2 )
4 2 Surjection
Une application f de A dans B est dite surjective, ou encore que c’est une surjection, si tout élément de B est l’image par f d’au moins un élément de A.
4 2 a Explication
Cela signifie que pour tout y ∈ B, il doit exister au moins une préimage x.
f : A →B
? 7→ y
z
y2
y
y1
x1
x2
x1
x2
Exemple
Contre-exemple
Sur le graphe de gauche, tout y ∈ B a une préimage, par contre sur le graphe de droite, z ∈ B n’a pas de préimage.
4 2 b Test de l’horizontale
Le test de l’horizontale permet de conclure qu’une fonction est surjective, si tout horizontale coupe au moins
une fois la courbe représentative de la fonction.
C
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CHAPITRE 5. ENCORE LES FONCTIONS
79
4 2 c Test algébrique
a.
f : R
→R

y = 2x + 5
 le test algébrique consiste à trouver une


y − 5 = 2x
solution en x à cette équation

y −5 
 dans ce cas, f est surjective

x=
2
7→2x + 5
x
y −5
7 y
→
2
1
7 7
→
Exemples
b.
f : [5, +∞[ →R
p
x
7→ x − 5
69
rien
7→8
7→ − 3
f n’est pas surjective !
Toutefois, une simple modification de l’ensemble d’arrivée permet de rendre l’application surjective. Il suffit
d’enlever les nombres négatifs qui n’ont pas de préimages. Ainsi f : [5, +∞[−→ R+ est surjective.
4 3 Bijection
Bijection = injection + surjection
4 4 Explication
Une autre manière de le dire consiste à demander que tout élément de l’ensemble d’arrivée a au mois et au
plus une préimage, c’est-à-dire exactement une préimage.
L’intérêt de découvrir qu’une fonction est une bijection est qu’elle admet toujours une fonction réciproque :
r
f : x → f (x) = y
f :
y 7→ x
et pour trouver cette réciproque, il suffit de résoudre l’équation f (x) = y en x, comme lorsque l’on cherche à
savoir si une fonction est surjective (cf. exemple ci-après).
4 4 a Test de l’horizontale
Conformément à la définition selon laquelle tout nombre y a exactement une préimage, toute horizontale
coupe exactement une seule fois la courbe représentative de la fonction.
Exemple
Contre-exemple
4 5 Test algébrique
Ce test peut être fait de deux manières différentes :
1° une bijection est à la fois injective et surjective ; on teste donc d’abord l’injectivité, puis la surjectivité.
Les exemples de cette méthode se trouvent à la page 71 ;
2° on résout l’équation y = f (x) en cherchant à obtenir pour chaque y une seule solution x.
C
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5.4. PRÉSENTATIONS ALTERNATIVE POUR L’INJECTION, LA SURJECTION ET LA BIJECTION
a.
f : R →R
y = x2 − 5
x 7→x 2 − 5
y + 5 = x2
p
x = ± y +5
Il y a 2 problèmes :
1° certains y admettent deux préimages (± . . . ), donc la fonction n’est pas injective ;
2° d’autres y n’en admettent aucune (y < −5). En effet, pour appliquer la racine, il faut que
y + 5 ≥ 0 ⇔ y ≥ −5. Ainsi, cette fonction n’est pas surjective.
On a deux raisons pour dire que cette fonction n’est pas bijective (une raison aurait suffi). Toutefois, il est possible de rendre cette fonction bijective en restreignant l’ensemble de départ et
l’ensemble d’arrivée.
f : R+ → [−5; +∞[
f : R → R pas bijective, mais
bijective
On aurait pu choisir R− comme ensemble de départ !
Graphiquement, ceci revient à restreindre le graphe de la fonction à une fenêtre.
15
10
5
Exemples
−3
−2
1
−1
2
3
b. Voici un autre exemple qui sera traité graphiquement uniquement. Il s’agit de la fonction «sinus» que nous aborderons dans le chapitre suivant. En 1ère année, le sinus a été défini comme
le rapport entre le côté opposé à un angle α et l’hypoténuse dans d’un triangle rectangle. Il
établit une relation entre un angle et un rapport de côtés, en ce sens c’est bien une fonction :
opp.
sin : α 7→ hyp. . Si à partir d’un rapport donné, on souhaite retrouver l’angle, il faut recourir à la
fonction réciproque sin−1 que l’on trouve sur la calculatrice : sin(α) = 0, 5 ⇒ α = sin−1 (0, 5) =
30° = π6 .
En fait, le sinus s’applique à n’importe quelle valeur réelle et sa représation est donnée par le
graphique ci-dessous :
1
f
−π
−π
2
π
2
3π
2
π
2π
5π
2
3π
−1
Visiblement, cette fonction n’est pas bijective. Toutefois, elle peut le devenir si on restreint sa
définition de la manière suivante (c’est le choix fait dans les calculatrices pour sin−1 ) :
f : [π/2; π/2] →[−1; 1]
7→ sin(x)
x
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80
CHAPITRE 5. ENCORE LES FONCTIONS
C
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81
CHAPITRE
6
Fonction
logarithme et
fonction
exponentielle
CHAPITRE 6. FONCTION LOGARITHME ET FONCTION EXPONENTIELLE
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83
84
6.1. EXPLORATION DU LOGARITHME NÉPÉRIEN AVEC LA CALCULATRICE
La plupart des fonctions utilisées et traitées jusqu’à maintenant (à l’exception des fonctions trigonométriques)
font partie de la classe des fonctions algébriques, c’est-à-dire des fonctions qui peuvent s’exprimer en termes
de sommes, différences, produits, quotients, puissances et racines de polynômes. Les deux types de fonctions
que nous allons aborder, ne sont pas algébriques et appartiennent à la classe des fonctions transcendantes (au
sens où elles vont au-delà des fonctions algébriques).
Historiquement, les logarithmes sont apparues sous la forme de table de logarithmes. Au cours du XVIe siècle
et au début du XVIIe, les calculs (astronomie, navigation) étaient devenus d’une très grande complexité. L’idée
qui émergea alors était de les simplifier en remplaçant les multiplications par des additions moyennant une
table de correspondance. La première table de logarithmes a été mise au point par un mathématicien du nom
de John Neper (les mathématiques auont conservé son nom a travers le logarithme népérien).
L’introduction de cette technique de calcul mena à des études théoriques qui permirent de dégager la notion de
fonction logarithme, puis celle de sa réciproque, la fonction exponentielle. Ces fonctions jouent aujourd’hui
un rôle fondamental dans maintes disciplines telles que la physique, la biologie, l’économie, etc., alors que
l’utilisation des logarithmes comme technique de calcul a entièrement disparu...
1
Exploration du logarithme népérien avec la calculatrice
1. Calculer ln(x) (on écrit souvent simplement ln x) pour plusieurs valeurs de x. Conjecturer alors,
pour la fonction
1° l’ensemble de définition ;
2° les solutions des inéquations
Activité
ln x < 0
et
ln x > 0
µ ¶
1
pour diverses valeurs de x > 1. Quelle propriété peut-on conjecturer ?
2. Comparer ln x et ln
x
3. Trouver un réel x tel que : a) ln x > 200
b) ln x < −200.
4. Comparer ln(a · b) et ln a + ln b pour diverses valeurs de a > 0 et b > 0. Que peut-on conjecturer ?
2
Problème d’introduction
Soit un capital C placé en banque à un taux de 3%. On suppose que les intérêts sont composés sur une base annuelle. Ce qui signifie qu’au terme d’une année les intérêts sont ajoutés au capital et que, pour l’année suivante,
le calcul des intérêts se fera sur ce capital augmenté. Ainsi on capitalise les intérêts tous les ans.
1° De combien d’argent disposera-t-on au bout de 5 ans ? 10 ans ? 15 ans ? 20 ans ? 25 ans ?
2° Combien d’années faut-il laisser le capital en banque pour qu’il soit doublé ?
La fonction exponentielle
En algèbre, il est possible de donner une définition de a x pour autant que a soit un nombre réel positif et x un
nombre rationnel.
La démarche qui conduit à cette définition est la suivante. Considérons la fonction
f : x −→ 10x
Dans un premier temps, 10x est défini pour les nombres entiers positifs : 10x = |10 · 10{z
· . . . · 10}. C’est une notation
x fois
très utile, en particulier pour multiplier les grands nombres puisqu’on a la propriété
10n · 10m = 10n+m
L’extension de la définition de 10x à des nombres x rationnels se justifie par l’utilisation de cette propriété.
1. Que vaut 100 ?
La suite d’égalités écrites grâce à cette propriété
100 · 10n = 100+n = 10n
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3
CHAPITRE 6. FONCTION LOGARITHME ET FONCTION EXPONENTIELLE
85
nous forcent à poser que 100 = 1.
2. Que vaut 10−n ?
Les égalités suivantes, également écrites grâce à cette propriété,
10−n · 10n = 100 = 1
nous obligent à poser : 10n = 1/10n .
1
3. Que vaut 10 n ?
Puisque l’on souhaite que les égalités
1/n
. . · 101/n} = 101/n+···+1/n = 101 = 10
|10 · .{z
| {z }
n fois
n fois
p
n
soient vraies, il faut définir : 101/n = 10.
m
4. Que vaut 10 n ?
Et puisque l’on souhaite que les égalités
1/n
10
· .{z
. . · 101/n} = 101/n+···+1/n = 10m/n
|
| {z }
m fois
m fois
p
n
soient vraies, il faut définir : 10m/n = ( 10)m .
5. Malheureusement, l’algèbre ne permet pas d’aller plus loin et de définir 10x pour x irrationnel. C’est une
partie des mathématiques, appelée l’analyse, qui donne les moyens pour franchir ce pas. Dans le cadre
de ce cours, on supposera simplement qu’il est possible de définir 10x ou a x (a > 0) pour x ∈ R.
Si m, n ∈ R et a, b ∈ R∗+ , alors
Théorème 6 - 1
a m · a n = a m+n
1n = 1
¡
am
µ ¶n
1
1
a −n = n =
a
a
¢n
= a mn
a0 = 1
(ab)n = a n · b n
p
¡ p ¢n
n
m
a m = an = m a
Une fonction exponentielle est une fonction de la forme
Définition 6 - 1
f : x −→ a x
3
où a est un réel strictement positif et a 6= 1. Le domaine de f est R.
a 6= 1 sinon f (x) = 1x = 1 est simplement une fonction constante. On exclue aussi pour a les nombres négatifs, car a 1/2 n’est pas défini pour a
négatif.
On remarquera aussi que
-3
— l’image de R par f est R∗+ ; c’est une fonction strictement croissante
ou décroissante selon la valeur de a ;
— lorsque x → −∞ alors 2x → 0 ; pour a > 1, l’axe des x est une asymptote horizontale. Si x → +∞, la fonction croît très rapidement (de
manière exponentielle, justement) ;
µ ¶x
1
→ 0 ; pour 0 < a < 1, l’axe des x est
— lorsque x → +∞, alors
2
une asymptote horizontale et lorsque x → −∞, la fonction croît très
rapidement (de manière exponentielle, justement).
3
-3
— f : R −→ R∗+ est donc bijective ;
3
y=
-3
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µ ¶x
1
2
3
-3
C
Remarque
y = 2x
86
6.4. LA FONCTION LOGARITHME
y = 10x
y = 3x
y = 2x
y=
µ ¶x
1
2
y=
3
µ
3
10
¶x
y=
µ
1
10
¶x
3
y = 1.5x
y=
-3
3
µ
8
10
¶x
-3
-3
3
-3
Beaucoup de situations apparaissant dans le monde naturel peuvent être symbolisées par une fonction exponentielle dont la base est un nombre irrationnel très particulier symbolisé par la lettre e : f : x −→ e x . Ce
nombre e a une valeur approximative de 2, 71828....
4
La fonction logarithme
Une fonction bijective f : x 7→ y (c.-à-d. y = f (x)) a une réciproque rf : x 7→ y qui est définie (implicitement)
par l’équation x = f (y). En particulier, l’exponentielle y = f (x) = a x , a > 0, a 6= 1, est bijective et a donc une
réciproque définie implicitement par l’équation
x = ay
a > 0, a 6= 1
Cette réciproque est suffisamment importante pour mériter un nom, c’est la fonction logarithme.
La fonction logarithmique de base a, avec a > 0, a 6= 1 est une fonction de R∗+ dans R désignée par
loga : x 7→ y
Définition 6 - 2
et est définie par
y = loga x
ssi x = a y
Si la base du logarithme est e, il s’agit du logarithme népérien noté ln x.
Si la base du logarithme est 10, la fonction logarithme est simplement notée log x.
a. Calcul d’un logarithme.
a) Si y = log3 x, alors x = 3 y . Ainsi log3 9 = 2 car 9 = 32 ;
b) log10 1000 = 3, car 1000 = 103 .
b. Transformation d’expressions exponentielles en expressions logarithmiques.
a) 2, 53 = m
b) e b = 9
a) Si 2, 53 = m, alors 3 = log2,5 m
b) Si e b = 9, alors b = loge 9
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Exemples
CHAPITRE 6. FONCTION LOGARITHME ET FONCTION EXPONENTIELLE
87
c. Recherche de la valeur exacte de certains logarithmes.
c) log5 25
a) log2 8
b) log3 13
a) pour y = log2 8, on a l’expression équivalente 2 y = 8, donc y = 3. Ainsi log2 8 = 3 ;
1
b) pour y = log3 31 , on a 3 y = , donc y = −1. Ainsi log3 13 = −1 ;
3
c) pour y = log5 25, on a 5 y = 25, donc y = 2. Ainsi log5 25 = 2.
Exemples
6 -1
Trouver sans calculatrice :
1) log2 32 =
2) log3 81 =
3) log10 1000000 =
4) log5 1 =
5) log3 70 =
6) log5 625 =
4 1 Rappel sur la représentation graphique d’une fonction et de sa réciproque
Soit un point (a, b) appartenant à la représentation graphique d’une fonction bijective f donnée.
On a alors b = f (a). On a aussi immédiatement
a = r f (b). Ainsi (b , a) est un point du graphe de la
fonction réciproque r f . On note aussi que la ligne
joignant les points (a, b) et (b, a) est perpendiculaire à la droite d’équation y = x et que celle-ci la
coupe en son milieu. La droite y = x est donc un
axe de symétrie pour les courbes représentant les
fonctions f et r f .
Concernant les ensembles de départ et d’arrivée
d’une fonction et de sa réciproque, on a aussi les
identités
y = f (x)
(a, b)
y =x
y =r f (x)
b
(b, a)
a
a
Image f = Domaine r f
b
Domaine f = Image r f
4 2 Représentation graphique du logarithme
Comme le logarithme est la fonction réciproque de l’exponentielle, il suffit de connaître le graphe de celle-ci
pour en déduire celui du logarithme
µ ¶x
1
y=
2
3
y = 2x
3
y = log2 x
-3
3
-3
3
y = log1/2 x
-3
-3
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88
6.5. PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES
— Pour tout 0 < a, l’intersection avec l’axe des x est en 1, c’est-à-dire que loga 1 = 0 car a 0 = 1.
Remarque
— L’axe (Oy) est une asymptote verticale du graphe.
— Le logarithme est une fonction strictement croissante si a > 1, et strictement décroissante si 0 < a <
1.
— Le graphe est lisse et continu, sans point anguleux ni saut.
5
Propriétés des logarithmes
Nous venons de voir la première
loga a = 1
loga 1 = 0
Pour les suivantes, S et a sont des nombres positifs, avec a 6= 1 et r est un réel quelconque.
Le nombre loga S est l’exposant auquel a doit être élevé pour obtenir S. C’est-à-dire
a loga S = S
loga a r = r
Preuve. Soit x = loga S. On a par définition du logarithme l’expression correspondante de l’exponentielle
Mais x = loga S, donc
a
ax = S
loga S
=S
Exemple
(a) 2l og 2 8 = 8
(b) 2l og 2 π = π
(c) e l n5 = 5
(d) lne x = x
Si S, T et a sont des nombres positifs, avec a 6= 0, et r un réel quelconque, on a
Théorème 6 - 2
a) loga (x
Exemple
p
(1)
loga (S · T) = loga S + loga T
le log d’un produit est égal à la
somme des logs
(2)
loga
µ ¶
S
= loga S − loga T
T
le log d’un quotient est égal à la
différence des logs
(3)
1
loga ( ) = − loga S
S
(4)
loga S r = r · loga S
x 2 + 1) = loga x + loga
p
x2 + 1
2
= loga x + loga (x + 1)1/2
1
= loga x + loga (x 2 + 1)
2
x2
= loga x 2 − loga (x − 1)3
(x − 1)3
= 2loga x − 3log a (x − 1)
p
x3 x2 + 1
= ...
c) loga
(x + 1)4
b) loga
Formule de changement de base
Si a 6= 1, b 6= 1 et S sont des nombres réels positifs, alors
Théorème 6 - 3
loga S =
logb S
logb a
C
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CHAPITRE 6. FONCTION LOGARITHME ET FONCTION EXPONENTIELLE
89
Preuve. Posons y = loga S. On a que a y = S. Donc
logb a y = logb S
y logb a = logb S
y=
loga S =
Théorème 6 - 2 (4)
logb S
résous en y
logb a
logb S
car y = loga S
logb a
log 89 1.94939
≈
= 2.7889
log 5
0.69897
p
1
p
log 5
0.69897
2 log 5
p
= 2.3219
log 2 5 =
≈
p = 1
log 2 2 log 2 0.30103
log5 89 =
Beaucoup de situations de problème présentant une quantité qui croît ou décroît avec le temps, comportent
dans leur énoncé une formulation du type
« Toutes les périodes de durée p, la quantité Q est multipliée par un facteur k ... »
(si 0 < k < 1, on parle de décroissance, si k > 1, de croissance)
Problème : La population d’une culture de bactéries comptant initialement Qo = 100 bactéries, est multipliée
par 3 toutes les 5 heures.
1. Combien de bactéries y aura-t-il après un jour ?
2. Au bout de combien de temps la population aura-t-elle décuplée ?
Explication Si on exprime la quantité de bactéries après t heures par la fonction f (t ), on peut écrire
f (0) = Qo
·31/5
f (1) = Qo · 31/5
·31/5
f (2) = Qo · 32/5
·31/5
f (3) = Qo · 33/5
1/5
·3
f (4) = Qo · 34/5
·3 = 31/5 · 31/5 · 31/5 · 31/5 · 31/5
·31/5
f (5) = Qo · 35/5 = Q0 · 3
..
.
t
f (t ) = Qo · 3 5
De manière plus générale, on a :
Qo : la quantité initiale
t
f (t ) = Qo · k p
avec
k : le facteur de croissance ou de décroissance
p : la période sur laquelle s’applique le facteur k
t : le temps exprimé dans la même unité que la période
Solution On applique cette formule à l’énoncé
1. Un jour représentant 24 heures, p = 5 heures, k = 3, on écrit
f (24) = 100 · 3
24
5
≈ 19506 bactéries après un jour
2. Pour répondre à cette question, il faut écrire l’équation
f (t ) = 10 · Qo
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Modélisation des situations de croissance ou de décroissance par
la fonction exponentielle
C
Exemple
90
6.7. EXERCICES
t
100 · 3 5 = 10 · 100
on résout l’équation exponentielle
3 = 10
³ t´
log 3 5 = log(10)
on prend le log de chaque membre de l’équation
t
5
t
· log(3) = 1
5
t=
on isole t
5
≈ 10, 5 heures
log(3)
Exercices
6 -2
Calculer
r
p
25
0;
;
16
p
0, 0016 ;
p
3
0, 027
6 -3
p
p
Sachant que 27 ≈ 5, 19 et 270 ≈ 16, 43 calculer :
p
p
p
p
p
2700 ;
27000 ;
27000 ;
2, 7 ;
0, 27 ;
p
0, 00027
6 -4
Écrire à l’aide d’exposants rationnels : (a ∈ R∗+ et n ∈ N∗ )
p
p
p
p
p
p
4
n
2n
8
5
32 ;
42 ;
(32 )3 ;
6;
a 2n ;
a 6n ;
³p
3
a2
´6
;
³p
5
a5
´15
;
³p
3
an
´3
.
6 -5
Écrire à l’aide de radicaux :
1
2− 2 ;
3
36 2 ;
5
4− 3
6 -6
Simplifier : (a ∈ R∗+ )
p
p
p p
6
2
a5
a3a
;
;
;
p
p
p
4
4
4
2
a3
a3
p
3
p
a5 6 a
.
a3
6 -7
La pression atmosphérique p sur un ballon ou un avion diminue avec l’altitude. Cette pression, mesurée en
millimètres sur une colonne de mercure, est dépendante de la hauteur, en km, par rapport au niveau de la mer,
selon la formule :
p = 760e −0,145h
a) trouver la pression atmosphérique à une altitude de 2 km ;
b) quelle est cette pression à 10 km au-dessus du sol.
6 -8
La guérison d’une plaie peut-être modélisée par une fonction exponentielle. Si A o représente l’aire de la surface
initiale de la blessure et si A est l’aire de la blessure après n jours, alors la formule
A = A o e −0,35n
décrit l’aire de la plaie au ne jour suivant l’accident, à condition qu’aucune infection ne retarde la cicatrisation.
Supposons qu’une blessure a une aire initiale de 100 cm2 .
a) Si la cicatrisation a lieu normalement, quelle est la taille de la plaie après 3 jours ?
b) Après 10 jours ...
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7
propriété du log, théorème 15 (4)
CHAPITRE 6. FONCTION LOGARITHME ET FONCTION EXPONENTIELLE
91
6 -9
Évaluer en base 10 :
log 1 ;
log 1000 ;
log 107 ;
log
p
3
log 100 .
1
log p
;
4
10
1
;
10
6 - 10
Calculer
log2 64 ;
log2
1
;
512
log3
p
4
3;
log3
p
4
27 ;
log4
p
5
64
6 - 11
Change chacune des expressions exponentielles suivantes en une expression équivalente comportant un logarithme.
1) 16 = 42
4) a 3 = 2, 1
2) 2x = 7, 2
5) x π = e
3) a 2 = 1, 6
6) e 2,2 = M
6 - 12
Change chacune des expressions logarithmiques suivantes en une expression équivalente comportant une exponentielle.
1) log2 8 = 3
4) log2 M = 1, 8
2) loga 3 = 6
1
5) logπ x =
2
3) log3 2 = x
6) ln 4 = x
6 - 13
Trouve la valeur de chacun des logarithmes sans calculatrice
1) log2 1 =
p
5) log10 10 =
2) log5 25 =
p
5
6) log5 25 =
1
=
9
p
7) log 3 9 =
3) log3
4) log1/2 16 =
p
8) ln e =
6 - 14
Écrire chacune des expressions suivantes comme un seul logarithme
a) 3log5 u + 4log5 v =
b) loga 7 + 4loga 3 =
2
c) loga 8 + loga (34 − 8) =
3
d) loga x + loga 9 + loga (x 2 + 1) − loga 5 =
6 - 15
On suppose que ln 2 = a et ln 3 = b , en utilisant les propriétés des logarithmes, exprimer chacun des logarithmes
en termes de a et b .
1) ln 6 =
p
5
5) ln 18 =
2
=
3
6) log2 3 =
2) ln
3) ln 0, 5 =
7) ln 24 =
4) ln 2e =
8) log 0, 6 =
6 - 16
A chaque rebond, une « superballe » atteint les 80 % de la hauteur atteinte au rebond précédent.
Si on lâche la balle d’une hauteur de 2m,
1. quelle sera la hauteur atteinte par la balle au 1er, au 2e, au 3e, au ne rebond ?
2. à partir de quel rebond cette balle ne dépassera-t-elle plus la hauteur de 10 cm ?
6 - 17
Un problème de Nicolas Chuquet (1484)
« Chaque jour on soutire d’un tonneau le dixième de son contenu. Au bout de combien de temps le
tonneau sera-t-il à moitié vide ? »
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92
6.7. EXERCICES
6 - 18
On place un capital de 1000 F. au taux annuel de 5 %.
a) Quel est le capital après une année ? Après 2 années (en ayant laissé l’intérêt annuel sur le compte, on
parle alors d’intérêts composés) ? Après 3 années ? . . . Après n années ?
b) Généraliser la question précédente avec un capital initial Co placé au taux annuel de t %.
c) On reprend la question a) avec le même taux annuel mais cette fois l’intérêt est capitalisé tous les mois.
Quel sera le capital après une année ? Après deux ans ? . . . Après n années ?
d) On reprend la même question mais avec une capitalisation non plus mensuelle mais journalière (l’année
bancaire compte 360 jours). Quel sera alors le capital après une année ? Après deux ans ? Après n années ?
6 - 19
La consommation d’électricité d’un pays double tous les 20 ans.
a) Quel est le taux d’accroissement annuel ?
b) Combien de temps faut-il pour voir cette consommation augmenter de 50 % ?
c) Par combien cette consommation est-elle multipliée après un siècle ? Et après deux siècles ?
6 - 20
La population mondiale a passé le cap du milliard d’êtres humains en 1804, celui du second milliard en 1927,
du 3e en 1960, du 4e en 1974, du 5e en 1987 et du 6e en 1999.
[A titre d’information les projections montrent qu’en -5000 il y avait environ 5 millions d’êtres humains ; 100
millions en -750 ; 200 millions en 400 ; 500 millions en 1650]
a) Quel est le taux d’augmentation entre le 2e et le 6e milliard ?
b) Si ce taux était resté constant, quelle aurait été la population mondiale en 1960 ? 1974 ? 1987 ? 1999 ?
c) Selon la même hypothèse (taux constant), en quelle année le 3e milliard aurait-il été atteint ?
d) Quand le 7e milliard sera-t-il atteint si ce taux se maintient ?
e) Les terres émergées ayant une superficie d’environ 130 millions de km2, à quelle date n’y aura-t-il plus
qu’un mètre carré par habitant ?
6 - 21
Une colonie de bactéries se développe au cours du temps t suivant la loi exponentielle :
N : t 7→ No a t , où No est le nombre initiale de bactéries
1. Déterminer No et a sachant que la colonie comprend 200 000 bactéries après 3 jours et 1 600 000 après
4,5 jours.
2. Quel est le nombre de bactéries au bout de 5 jours ?
3. Après combien de jours la colonie comprend-elle 800 000 bactéries ?
4. Après combien de jours la population de la colonie s’est-elle décuplée ?
6 - 22
Tant qu’il y a de la nourriture, la population d’une culture de bactéries croît proportionnellement à la quantité
de bactéries présentes. Le nombre de bactéries au début de l’expérience est égal à 100 et leur nombre double
chaque heure.
1) Combien y aura-t-il de bactéries deux heures et demie après le début de l’expérience ?
2) Au bout de combien de temps la population sera-t-elle de 100 000 bactéries ?
6 - 23
Dans de l’eau de mer propre la lumière perd 75% de son intensité par mètre de profondeur. À quel profondeur
la lumière n’a-t-elle plus que le millième de l’intensité qu’elle a à la surface de l’eau ?
6 - 24
La demie-vie du radium est de 1690 années. Si on a maintenant 10 grammes, combien en restera-t-il dans 100
ans ? dans 1 000 ans ?
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C
Remarque
En capitalisant instantanément l’intérêt on est amené à donner un sens précis à l’expression (1+ nλ )n pour
des n arbitrairement grand. On montre alors que l’expression (1 + nλ )n s’approche indéfiniment de e λ (où
e ≈ 2, 718) lorsque n devient arbitrairement grand.
Ce nombre e est de la même " nature " que
p le nombre π, on dit qu’il est transcendant, car il n’est solution
d’aucune équation algébrique alors que 2, par exemple, est une des solutions de l’équation x 2 − 2 = 0 .
CHAPITRE 6. FONCTION LOGARITHME ET FONCTION EXPONENTIELLE
93
6 - 25
La population d’une ville suit une loi exponentielle. Si une population a diminuée de 900 000 à 800 000 de 1993
à 1995, quelle sera la population en 1997 ? En quelle année la ville deviendra-t-elle une ville-fantôme ?
6 - 26
La demie-vie du carbone 14 est de 5600 ans. Un fossile contient 70 % de sa quantité normale de carbone 14. De
quand date le fossile ?
6 - 27
Faire correspondre chacune des fonctions suivantes à un des graphes
1) f : x 7→ 3x
2) g : x 7→ 3−x
3) h : x 7→ −3x
4) i : x 7→ −3−x
5) j : x 7→ 3x − 1
6) k : x 7→ 3x−1
7) l : x 7→ 1 − 3x
8) m : x 7→ 31−x
9) n : x 7→ −3x − 1
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6 - 28
Trouve le domaine des fonctions suivantes
2) g : x 7→ ln(x 2 − 1)
1
5) j : x 7→
ln x
3) h : x 7→ log2 x 2
6) k : x 7→ log1/2 (x 2 − x − 6)
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C
1) f : x 7→ ln(3 − x)
µ 2 ¶
x
4) i : x 7→ log3
x −1
94
6.8. ÉQUATIONS LOGARITHMIQUES ET EXPONENTIELLES
6 - 29
Faire correspondre à chacune des fonctions suivantes le graphe approprié
1) f : x 7→ log3 x
2) g : x 7→ log3 (−x)
3) h : x 7→ − log3 x
4) i : x 7→ − log3 (−x)
5) j : x 7→ log3 x − 1
6) k : x 7→ log3 (x − 1)
7) l : x 7→ log3 (1 − x)
8) m : x 7→ − log3 (1 − x)
9) n : x 7→ 1 − log3 x
-5
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-3
-3
Équations logarithmiques et exponentielles
8 1 Équations logarithmiques
On utilisera la bijectivité du log (avec S, T et a qui sont des réels positifs et a 6= 1) :
si S = T, alors loga S = loga T et si loga S = loga T, alors S = T
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1
-1
C
8
-3
3
CHAPITRE 6. FONCTION LOGARITHME ET FONCTION EXPONENTIELLE
95
a. Équation logarithmique
Résoudre log3 (4x − 7) = 2
Solution On peut obtenir une solution exacte en passant de l’expression logarithmique à l’expression exponentielle
log3 (4x − 7) = 2
Contrainte : 4x − 7 > 0
log3 (4x − 7) = log3 (9)
car il faut exprimer 2 comme un logarithme en base 3 : 2 = log3 32
x>
7
4
4x − 7 = 9
4x = 16
x =4
b. Équation logarithmique
Résoudre 2log5 x = log5 9
Solution Comme chaque logarithme est dans la même base, on peut obtenir une solution exacte
de la manière suivante
2log5 x = log5 9
Exemples
Contrainte : x > 0
2
log5 x = log5 9
comme le logarithme est bijectif
x2 = 9
x = 3 ou /////////
x = −3
(cf. contrainte)
c. Équation logarithmique
Résoudre log4 (x + 3) + log4 (2 − x) = 1
Solution Dans ce cas, il faut exprimer le membre de gauche comme un seul logarithme
log4 (x + 3) + log4 (2 − x) = 1
Contrainte : x + 3 > 0 ⇒ x > −3
1
log4 [(x + 3)(2 − x)] = log4 (4 )
2−x > 0 ⇒ x < 2
1
(x + 3)(2 − x) = 4
⇒ −3 < x < 2
2
−x − x + 6 = 4
−x 2 − x + 2 = 0
x2 + x − 2 = 0
(x + 2)(x − 1) = 0
x = −2 ou x = 1
6 - 30
Résoudre
1
log3 x = 2log3 2
2
1) log2 (2x + 1) = 3
2) log3 (x 2 + 1) = 2
3)
4) log5 (x 2 + x + 4) = 2
5) 3log2 x = − log2 27
6) 3log2 (x − 1) + log2 4 = 5
7) log4 x + log4 (x − 3) = 1
8) log1/3 (1 − 2x)1/2 = −1
9) logx 4 = 2
10) 2log3 (x) + 1 = log3 5
8 2 Équations exponentielles
Ces équations sont résolues en utilisant de manière appropriée la propriété suivante de la fonction exponentielle
Si a s = a t , alors s = t avec a > O, a 6= 1
qui découle du fait qu’elle est bijective.
C
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96
6.8. ÉQUATIONS LOGARITHMIQUES ET EXPONENTIELLES
a. Équation exponentielle
Résoudre 5x+1 = 625
Solution Puisque 625 = 54 , l’équation peut s’écrire
5x+1 = 54
x +1 = 4
x =3
b. Équation exponentielle
2
Résoudre e −x = (e x )2 · e13
Solution On arrange l’équation pour avoir la même base dans chaque membre
2
e −x = e 2x · e −3
2
on utilise la bijectivité de l’exponentielle
e −x = e 2x−3
−x 2 = 2x − 3
x 2 + 2x − 3 = 0
(x + 3)(x − 1) = 0
x = −3 ou x = 1
c. Équation exponentielle
Résoudre 4x − 2x − 12 = 0
Solution On remarque que 4x = (22 )x = 22x = (2x )2 . L’équation peut ainsi se récrire
(2x )2 − 2x − 12 = 0
on pose y = 2x
y 2 − y − 12 = 0
(y − 4)(y + 3) = 0
y = 4 ou
x
y = −3
2 = 4 ou 2x = −3
x = 2 (l’équation 2x = −3 n’a pas de solution car 2x > 0, ∀x).
d. Équation exponentielle
Résoudre 2x = 5
Solution On écrit l’équation exponentielle dans son équivalent logarithmique.
2x = 5
x = log2 5
=
ln 5
ln 2
(changement de base)
Il existe une méthode alternative (on prend le ln de chaque membre)
2x = 5
ln 2x = ln 5
x · ln 2 = ln 5
x=
ln 5
≈ 2, 322
ln 2
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Exemples
CHAPITRE 6. FONCTION LOGARITHME ET FONCTION EXPONENTIELLE
e. Équation exponentielle
Résoudre 8 · 3x = 5
Solution
8 · 3x = 5
5
3x =
8
on isole l’exponentielle
on poursuit comme dans l’exemple 4
µ ¶
5
log 3x = log3
8
ln(5/8)
=
≈ −0, 428
ln 3
f. Équation exponentielle
Résoudre 5x−2 = 33x+2 .
Solution Comme la base est différente dans chaque membre, on applique le logarithme naturel
sur chaque membre. C’est possible, car le log est bijectif.
ln 5x−2 = ln 33x+2
(x − 2) ln 5 = (3x + 2) ln 3
propriété (4)
x ln 5 − 2ln 5 = (3ln 3)x + 2ln 3
(ln 5 − 3ln 3)x = 2ln 3 + 2ln 5
x=
2ln 3 + 2ln 5
≈ −3, 212
ln 5 − 3ln 3
6 - 31
Résoudre
1
5
3
1) 22x+1 = 4
2) 51−2x =
4) 2x · 8−x = 4x
5) 22x − 2x − 12 = 0
6) 32x + 3x+1 − 4 = 0
7) 2x = 10
8) 8−x = 1, 2
9) 2x+1 = 51−2x
10) e x+3 = πx
11) 5 · (23x ) = 8
12) 500e 0,3x = 600
3) 3x = 9x
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Exemples
(changement de base)
97
CHAPITRE
7
Fonctions trigonométriques
CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
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99
100
7.1. LE THÉORÈME DE THALÈS (RAPPEL)
Il existe deux approches généralement admises pour la présentation des fonctions trigonométriques : l’une
utilise les triangles rectangles et l’autre le cercle de rayon 1, appelé aussi le cercle trigonométrique. Nous commencerons par la première qui est un peu plus concrète, mais qui se limite aux angles aigus (moins de 90˚).
1
Le théorème de Thalès (rappel)
Thalès
Si deux paires de parallèles découpent sur une sécante des segments dans un rapport donné, elles découpent des segments dans le même rapport sur n’importe quelle autre sécante.
(sans démonstration)
Hypothèse
Conclusion
a1 , a2 , b 1 , b 2 des droites parallèles
d et d ′ sécantes en A 1 , A′1 ; A 2 , A′2 ; B1 , B′1 ; B2 , B′2 , respectivement
A 1 A 2 A′1 A′2
=
B1 B2 B′1 B′2
b2
b1
B2
a1
a2
A2
A1
d
B1
d’
A′1
A′2
B′1
B′2
Les points sur la droite d ′ sont les projections de ceux se trouvant sur la droite d selon la direction donnée par
les parallèles a1 , a2 , b 1 , b 2 .
Si on procède à l’interversion des moyens dans le rapport ci-dessus, on écrit
A 1 A 2 B1 B2
=
A′1 A′2 B′1 B′2
En généralisant à plus de points, on obtient une suite de proportions
A 1 A 2 A 2 B1 B1 B2 A 1 B1
=
=
=
= ...
A′1 A′2 A′2 B′1 B′1 B′2 A′1 B′1
Si r est la valeur du rapport
A′1 A′2
A1 A2
, alors
A′1 A′2 = r · A 1 A 2
projeté = r · segment
1 1 Configurations de Thalès
Elles sont constituées de deux triangles formés par deux droites sécantes ((AE) et (AD)) coupées par une paire
de droites parallèles ((BC) et (ED)).
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Théorème 7 - 1
CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
C
b
b
101
D
E
b
C
b
b
A
b
E
b
b
A
b
D
B
b
B
On a les égalités de rapports suivants :
AB AC BC
=
=
AD AE DE
Ce dernier rapport s’obtient en appliquant Thalès à la figure modifiée obtenue en tirant une parallèle à (AD)
passant par C.
Les parallèles sont (AD) et (CL) et elles coupent les sécantes (AE)
et (ED). Le théorème de Thalès permet d’écrire les rapports ce qui
nous permet d’écrire les rapports
E
b
C
L
b
AC DL
=
AE DE
puisque BC = DL, on a
AC BC
=
AE DE
b
b
A
D
Les fonctions trigonométriques
On applique Thalès à la figure ci-contre où par projection orthogonale B et B′ sont respectivement projetés sur
C et C′ . Par interversion des moyens on obtient à chaque fois les seconds rapports.
C′′
b
AC
AB AB′
AB
=
=⇒
=
AB′ AC′
AC AC′
C′
b
bc
BC
AC
BC B′ C′
=
=⇒
=
B′ C′ AC′
AC
AC′
C
b
AB
BC B′ C′
BC
=
=⇒
=
′
′
′
BC
AB
AB
AB′
α
b
b
b
b
A
B
B′
B′′
Ces rapports ne dépendent pas du choix de B, mais seulement de α. Par exemple, la valeur du rapport
présente ainsi sous forme d’une dépendance fonctionnelle
α 7→
AB
AC
En l’occurrence, cette fonction est appelé le cosinus.
On pose
cos(α) =
AB
AC
cos : α 7→
AB
AC
sin(α) =
BC
AC
tan(α) =
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C
2
b
B
BC
AB
AB
AC
se
102
7.2. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
On écrira souvent, pour simplifier l’écriture
cos α, sin α, tan α au lieu de cos(α), sin(α), tan(α)
C
Ou, selon le dessin ci-dessous
b
a
b
c
cos α =
b
a
tan α =
c
sin α =
γ
b
a
α
A
b
b
c
B
D’où
Par le théorème de Pythagore
Donc,
c = b · cos α
(sin α)2 + (cos α)2 = 1
sin2 α + cos2 α = 1
On a aussi
tan α =
sin α =
et
¡
¢
b 2 = a 2 + c 2 = b 2 · (sin α)2 + b 2 · (cos α)2 = b 2 · (sin α)2 + (cos α)2
ou, dans une écriture plus courante
et encore
a = b · sin α
sin α
a b · sin α
=
=
c b · cos α cos α
a
= cos γ = cos(90o − α)
b
c’est-à-dire
tan α =
sin α = cos(90o − α)
donc
et
sin α
cos α
cos α = sin(90o − α)
Ces définitions des fonctions trigonométriques à partir des rapports sur les côtés d’un triangle rectangle, ne
sont valables que pour les angles aigus. En d’autres termes, le cosinus et le sinus sont des fonctions dont le
domaine est ]0, 90[ et les valeurs de ces fonctions sont toujours
c
a
— inférieures à 1 : < 1 et < 1 puisque la longueur de l’hypoténuse b est supérieure à a ou à c
b
b
— supérieures à 0 : car quotient de 2 valeurs positives.
On peut étendre la définition à l’angle de valeur 0. Dans ce cas a = 0 et b = c, donc le sin 0 =
c
0
0
c = 1. De manière semblable, nous pouvons trouver que sin 90 = 1 et cos 90 = 0.
0
b
= 0 et le cos 0 =
Il est toutefois possible d’étendre la définition de ces fonctions au-delà de ce domaine par une nouvelle définition dont voici une première présentation.
La généralisation à tous les angles est donnée grâce
au cercle trigonométrique. Si b = 1, les variations
de l’angle α font décrire à C un cercle de rayon 1.
Le cosinus et le sinus de α (qui est une mesure de
−
→ −→
l’angle orienté (OI, OC)) sont les coordonnées de C
dans le repère (OIJ).
J(0; 1)
C′
¡
¢
C cos(α) ; sin(α)
y = sin(α)
Pour les angles aigus (0 ≤ α ≤ 90), cette définition
est compatible avec l’ancienne. En effet,
α
O
le
ne
el on
en ion
v
i
u
c it
iti
an fin
no fin
x
dé
dé x
= = x= cos(α)
cos(α)=
OC 1
y
y
= = y = sin(α)
sin(α) =
OC 1
x = cos(α) I(1; 0)
Il est à remarquer que ces fonctions dont le domaine est désormais R, ne sont pas bijective.
Ainsi, on voit que les deux points C et C′ ont la même ordonnée, on en conclut que sin(α) = sin (180o − α). Ce
qui signifie que sin−1 (y) n’est pas défini de manière univoque : sin−1 (y) = α ou sin−1 (y) = 180o − α.
C
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CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Résolution de triangles
« Résoudre un triangle », c’est calculer les grandeurs inconnues (côtés, angles, périmètre, aire) à partir de certaines données.
Pour désigner les différentes grandeurs et éléments d’un triangles, on respectera la notation suivante :
C
b
γ
a
b
β
b
α
A
B
c
b
3 1 Résolution de triangles rectangles
Si le triangle est rectangle, la résolution est plutôt simple. Les relations utilisées sont :
1° le théorème de Pythagore
2° les rapports trigonométriques du triangle rectangle
cosinus =
côté adjacent
hypoténuse
sinus =
côté opposé
hypoténuse
tangente =
côté opposé
côté adjacent
3 2 Résolution de triangles quelconques
Un triangle est entièrement déterminé en donnant 3 de ses grandeurs comme dans les trois situations classiques suivantes :
— les longueurs des trois côtés sont données ;
— deux côtés et l’angle compris entre eux sont donnés ;
— un côté et les deux angles adjacents sont donnés.
C
C
b
a
b
c
b
b
b
b
C
b
b
B
α
β
B
c
b
b
α
B
c
b
A
A
A
Dans chacun de ces cas, le triangle est déterminé de manière unique conformément aux théorèmes d’isométrie des triangles (cf. cours de 1re). Par contre, un angle et deux côtés dont l’un n’est pas adjacent à l’angle ne
détermine pas un triangle unique. Dans ce cas, il y a en effet deux possibilités.
Par exemple, si on se donne
C′
l’angle α, la longueur du côté
[AB] et celle du côté [BC], nous
ne sommes pas dans un des 3
C
cas d’isométrie des triangles. La
construction du triangle laisse
B
B
alors apparaître deux possibilités lorsque après avoir dessiné le
α
α
c
c
côté [AB] et l’angle α, l’on veut
A
A
dessiner le côté [BC]
Dans l’exercice 1, les deux possibilités apparaîtront dans le calcul au moment de l’utilisation du théorème du
sinus (page suivante) : pour trouver l’angle γ, nous serons amené à calculer un sin−1 (...), ce qui laisse la porte
ouverte à deux possibilités comme nous l’avons vu plus haut. Mais d’abord, voyons les deux outils indispensables pour résoudre les triangles quelconques.
b
b
b
b
b
b
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C
3
103
104
7.3. RÉSOLUTION DE TRIANGLES
3 2 a Théorème du cosinus
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc · cos α
Remarque :
1° la formule est valable par permutation des lettres désignant les côtés ;
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac · cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab · cos γ
2° si le triangle est rectangle en A, cos α = 0 et l’égalité du théorème du cosinus se réduit à a 2 = b 2 + c 2 : on
retrouve le théorème de Pythagore.
Démonstration
Hypothèse
△ABC un triangle
Conclusion
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc · cos α
Raisonnnement
(dans le cas où α est aigu ; en exercice, rédiger une preuve analogue pour α obtus)
C
b
a 2 = h 2 + (c − x)2
= h 2 + c 2 − 2cx + x 2
b
mais
a
h2 = b2 − x2
donc a 2 = b 2 − x 2 + c 2 − 2cx + x 2
α
A
b
comme
x
b
b
c
on obtient ainsi bien, après substitution de x :
cos α =
x
b
c.à.d.
B
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc · cos α.
3 2 b Théorème du sinus
sin α sin β sin γ
1
=
=
=
a
b
c
2r
r désigne le rayon du cercle circonscrit au triangle.
Démonstration
h
h
et sin β =
b
a
h = b · sin α et h = a · sin β
sin α =
d’où
donc
ou encore
b · sin α = a · sin β
sin α sin α
=
a
b
etc. ...
3 2 c Aire du triangle
On peut montrer que l’aire d’un triangle quelconque est donnée par la formule :
1
1
1
aire triangle = bc · sin α = ac · sin β = ab · sin γ
2
2
2
C
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x = b · cos α
CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
105
7 -1
Calcule les dimensions manquantes :
c
c
a
c
a
a
b
a = 32o
c = 4,8 cm
a = 5 cm
b = 7,5 cm
c = 11 cm
a
a
c
b
a = 6 cm
b = 8,5 cm
g = 110o
b
b
a
g
a = 8 cm
a = 40o
c = 11 cm
a = 35o
b = 70o
c = 9 cm
(triangle isocèle)
a = 52o
b = 6,8 cm
b
a
a
a
h
b
a
b
a = 35
b = 70o
b = 9 cm
o
(triangle équilatérale)
h = 6 cm
a = 7 cm
b = 8,5 cm
a = 55o
c
c
g
c
a
c = 8 cm
a = 70o
g = 45o
\
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$
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C
a
a = 9,5 cm
c = 7 cm
a
c = 5,6 cm
a = 4,8 cm
106
7.3. RÉSOLUTION DE TRIANGLES
Correction de l’exercice
1) Triangle avec a = 5 cm, b = 7, 5 cm, c = 11 cm
Valeur pour α :
Valeur pour β :
Valeur pour γ :
On utilise a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α et on trouve α ≈ 22, 67o .
sin α sin β
=
pour trouver β ≈ 35, 32o (autre possibilité 180o − 35, 32o = 144, 68o )
a
b
γ ≈ 180o − (22, 67o + 35, 32o ) = 122, 01o
On utilise
2) Triangle avec α = 32o , c = 4, 8 cm
Valeur pour β :
Valeur pour a :
Valeur pour b :
β = 90o − 32o = 58o .
a
d’où a = c · sin α ≈ 2, 54cm
sin α =
c
On utilise Pythagore a 2 + b 2 = c 2 et on trouve b ≈ 4, 07 cm
3) Triangle avec a = 8 cm, α = 40o , c = 11 cm
Valeur pour γ :
Valeur pour β :
Valeur pour b :
sin α sin γ
=
pour trouver γ ≈ 62.11o (autre possibilité 180o − 62, 11o = 117, 89o )
a
c
β ≈ 180o − (40o + 62.11o ) = 77, 89o ou 180o − (40o + 117.89o ) = 22, 11o
On utilise
On utilise
sin α sin β
=
et on trouve b ≈ 12, 17 cm ou 4, 69 cm
a
b
4) Triangle avec a = 6 cm, b = 8, 5 cm, γ = 110o
Valeur pour c :
On utilise c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ et on trouve c ≈ 11, 96 cm.
Valeur pour α :
On utilise
Valeur pour β :
β = 180o − (110o + 28, 12o ) ≈ 41.88o .
sin α sin γ
=
pour trouver α ≈ 28, 12o (la valeur 180o −28, 12o = 151, 88o est exclue,
a
c
car la somme des angles dépasse 180°)
5) Triangle avec α = 35o , β = 70o et c = 9 cm
Valeur pour γ :
Valeur pour a :
Valeur pour b :
γ = 180o − (35o + 70o ) = 75o .
sin α sin γ
=
pour trouver a ≈ 5, 34 cm
a
c
sin β sin γ
On utilise
=
pour trouver b ≈ 8.75 cm
b
c
On utilise
6) Triangle avec α = 52o , b = c = 6, 8 cm (triangle isocèle)
Valeur pour β et γ : γ = β = (180o − 52o ) : 2 = 64o .
Valeur pour a :
On utilise
sin α sin γ
=
pour trouver a ≈ 5, 96 cm
a
c
7) Triangle avec α = 35o , β = 70o et b = 9 cm
Valeur pour γ :
Valeur pour a :
Valeur pour c :
γ = 180o − (35o + 70o ) = 75o .
sin α sin β
=
pour trouver a ≈ 5, 49 cm
a
b
sin β sin γ
On utilise
=
pour trouver c ≈ 9, 25 cm
b
c
On utilise
8) Triangle avec α = 60o , β = 60o , γ = 60o et h = 6 cm
³ a ´2
p
12
Valeur pour a :
On utilise Pythagore a 2 =
+ 62 et on trouve a = p = 4 · 3 ≈ 6, 93 cm
2
3
C
\
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CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
107
9) Triangle avec α = 55o , a = 7 cm et b = 8, 5 cm.
Valeur pour β :
Valeur pour γ :
Valeur pour c :
sin α sin β
=
pour trouver β ≈ 84, 09o ou β ≈ 95, 91o (les deux sont possibles)
a
b
γ ≈ 180o − (55o + 84, 09o ) = 40, 91o ou γ ≈ 180o − (55o + 95, 91o ) = 29, 09o
sin α sin γ
On utilise
=
pour trouver c ≈ 5, 6 cm ou c ≈ 4, 15 cm
a
c
On utilise
10) Triangle avec a = 9, 5 cm, c = 7 cm
Valeur pour b :
Valeur pour γ :
Valeur pour α :
On utilise Pythagore a 2 + c 2 = b 2 et on trouve b ≈ 11, 8 cm
c
On utilise sin γ = et on trouve γ ≈ 36, 39o
b
a
sin α = et on trouve α ≈ 53, 62o
b
11) Triangle avec α = 70o , γ = 45o et c = 8 cm
Valeur pour β :
Valeur pour a :
Valeur pour b :
β = 180o − (45o + 70o ) = 65o .
sin α sin γ
On utilise
=
pour trouver a ≈ 10, 63 cm
a
c
sin β sin γ
On utilise
=
pour trouver b ≈ 10, 25 cm
b
c
12) Triangle avec a = 4, 8 cm, c = 5, 6 cm
Valeur pour b :
Valeur pour α :
Valeur pour β :
4
On utilise Pythagore a 2 + b 2 = c 2 et on trouve b ≈ 2, 88 cm
a
b
On utilise sin α =
et on trouve α ≈ 59o . On peut aussi utiliser cos α =
et on trouve
c
c
o
α ≈ 59, 05 .
b
sin β = et on trouve α ≈ 30, 95o
c
Les angles
En géométrie, un angle est défini comme l’ensemble des points déterminés par deux rayons, ou demi-droites,
d2
d1 et d2 , qui ont la même extrémité O. Si A et B sont des points sur d1 et d2 ,
B
 Un
comme ci-contre, nous faisons référence à l’angle AOB (noté ∠AOB ou AOB).
angle peut également être considéré comme deux segments de droites avec une
θ
A
extrémité commune.
d1
En trigonométrie, un angle est défini par la rotation autour du sommet O qui est nécessaire pour amener le
rayon d1 sur d2 . Il n’y a aucune limite de sens ni de nombre de rotations. Nous pouvons laisser d1 effectuer plusieurs rotations autour de O dans un sens quelconque avant de se confondre avec d2 . Ainsi, plusieurs angles
différents ont le même côté initial et le même côté final, ou autrement dit, plusieurs angles au sens trigonométrique correspondent au même angle au sens géométrique habituel. Nous dirons simplement qu’un angle (au
sens géométrique) a plusieurs mesures (au sens trigonométrique).
Si nous introduisons un système de coordonnées rectangulaires, la position standard d’un angle s’obtient en
plaçant le sommet à l’origine et en faisant coïncider le côté initial d1 avec la partie positive de l’axe des x. Si
d1 tourne en sens inverse des aiguilles d’une montre jusqu’à la position finale d2 , l’angle est considéré comme
positif. Si d1 tourne dans le sens des aiguilles d’une montre, l’angle est négatif. Nous parlons alors d’angle
orienté.
Dans l’exemple qui suit, un même angle est donné par différentes mesures ; l’une d’entre elles est définie
comme la mesure principale : c’est celle qui appartient à l’intervalle ] − π ; π] (ou ] − 180o ; 180o ]), à savoir,
dans notre exemple, π3 (ou 60o). Généralement, si l’on mesure un angle en radians, on n’indique aucune unité.
y
420o
x
780o
x
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y
x
−300o
\
θ = 60o
x
y
y
C
y
x
−660o
108
7.4. LES ANGLES
4 1 Unités pour la mesure d’un angle
Les angles sont généralement mesurés en degrés (noté °), en radians (noté rad ou sans unité) ou, parfois, en
gradians (noté grad).
L’utilisation des degrés remontent aux Babyloniens dont le système numérique était sexagésimal (base 60). Les
360o sont vraisemblablement liés à l’année babylonienne, composée de 360 jours.
Une unité de mesure plus intéressante d’un point de vue mathématique est le radian (cf. page suivante). Il a la
propriété que la longueur L d’un arc sur un cercle est donnée par l’angle en radians θ multiplié par le rayon r
du cercle (c’est aussi la mesure d’angle la plus utile en analyse). Une révolution complète vaut ainsi 2π rad, car
le périmètre P d’un cercle vaut 2πr .
L = θr
2π rad = 360o
P = 2πr
4 2 Conversions d’unités angulaires
Les mesures d’angles en degrés ou en radians sont proportionnelles. Il est ainsi possible pour faire la conversion d’établir un tableau de proportionalités.
en degrés
360
180
90
60
45
30
α
en radians
2π
π
π
2
π
3
π
4
π
6
x
x=
π
α
180
angles
Nous en tirons la proportion
180 α
=
π
x
d’où
Un angle droit est la moitié d’un angle plat et vaut 90o ou
d’autres types d’angles particuliers.
π
2.
Le tableau ci-dessous contient les définitions
Terminologie
Définition
Exemples
angle aigu α
0o < α < 90o
15o ; 49o
x
angle obtus α
x
angles complémentaires α, β
x et y
angles supplémentaires α, β
x et y
0<x <
π
2
90o < α < 180o
π
2
95o ; 149o
2;
<x<π
α + β = 90o
x+y =
2π
3
30o et 60o ; 75o et 15o
π
3
π
2
α + β = 180o
π
4
1;
et
π
6
120o et 60o ; 75o et 105o
π
3
x+y =π
et
2π
3
Afin que certaines valeurs d’angle en radian puissent mieux être mémorisées, voici un triangle rectangle isocèle
et un triangle équilatéral dont les angles sont bien connus en degré.
π
4
π
6
π
2
π π
3 2
π
4
4 3 Angle au centre et arc intercepté
Nous savons que dans un cercle de rayon r l’angle au centre θ et la longueur de l’arc L intercepté par cet angle,
sont proportionnels.
angle au centre (degrés)
θ
360o
angle au centre (radians)
θ
2π
longueur de l’arc intercepté
L
2πr
longueur de l’arc intercepté
L
2πr
C
\
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CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
109
De chacun de ces tableaux, on tire respectivement,
θ 360
=
L 2πr
πr
L=
θ
180
θ
2π
=
L 2πr
L = θr
Nous retrouvons la formule précité sur la longueur d’un arc de cercle. Pour fixer définitivement les choses, voici
la définition d’un radian.
r
B
Un radian est la mesure d’un angle au
centre d’un cercle qui intercepte un arc de
longueur égale au rayon du cercle.
Définition 7 - 1
r
θ=1
r
On remarque qu’on peut mettre le rayon
plus de 6 fois sur le pourtour du cercle (en
fait exactement 2π ≈ 6, 28 fois).
r
1
A
1
1
r
r
1
θ=1
≈ 0, 28r
1
r
r
Cette définition nous donne immédiatement le résultat utilisé pour faire la conversion des degrés en radians et
trouver la formule exprimant la longueur d’un arc. En effet, si 1 rad est l’angle qui intercepte un arc de longueur
r (rayon du cercle), sachant que le périmètre du cercle vaut 2πr , une révolution complète correspond à un angle
de 2π.
Nous allons encore extraire un dernier résultat de cette définition. Dans un disque, l’angle au centre θ est proportionnel à l’aire A du secteur intercepté par cet angle. Cela permet de poser la proportion
2π
θ
=
A πr 2
θ
2
= 2
A r
r2
A= θ
2
2
θ
2θ
2
A=r θ
4 4 Exercices résolus
a. Conversion de radians en degrés, minutes et secondes
Si θ = 3, donner une valeur approchée de θ en degrés, minutes et secondes.
Solution
3 radians = 3 ·
µ
180o
π
¶
conversion
≈ 171, 8873o
arrondir
= 171o + 0, 8873 · 60′
1o = 60′
= 171o + 53′ + 0, 238 · 60′′
1′ = 60′′
= 171o + 53, 238′
′
′′
= 171 53 + 14, 28
≈ 171o 53′ 14′′
b. Conversion de degrés, minutes et secondes en degrés décimaux
Exprimer 23o 17′ 43′′ sous forme décimale, au dix-millième de degré près.
µ ¶o
¶
µ ¶′ µ
1
1
1 o
Solution On utilise que 1′ =
et 1′′ =
=
60
60
3600
µ ¶o µ
¶
17
43 o
23o 17′ 43′′ = 23o +
+
60
3600
≈ 23o + 0, 2833o + 0, 0119o = 23, 2952o
\
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C
Exemples
o
A = r2 θ
110
7.5. EXERCICES
c. Utilisation des formules de longueur d’un arc de cercle et d’aire du secteur
Un angle au centre θ intercepte un arc de longueur 10 centimètres sur un cercle de rayon 4 centimètres.
(a) Donner une valeur approchée de u en degrés.
(b) Trouver l’aire du secteur circulaire déterminé par u .
Solution
L = θr
(a)
formule de la longueur d’un arc
L
θ=
r
10
= 2, 5
=
4
Exemples
angle en radians !
o
θ
Et on convertit en degrés en utilisant la proportion 180
π = 2,5 . On trouve que θ =
o
143, 24 .
r2
(b)
A= θ
formule de l’aire d’un secteur circulaire
2
1
angle en radians !
= · 42 · 2, 5
2
= 20 cm2
Exercices
7 -2
Si l’angle donné est en position standard, trouver d’autres mesures de ce même angle (2 positives et 2 négatives).
(a) 120o
(e) 620o
(b) −135o
5π
(f)
6
(c) 210o
π
(g) −
4
(d) −315o
11π
(h) −
4
7 -3
Trouver l’angle qui est le complémentaire de α .
(b) α = 32, 5o
(a) α = 5o 17′ 34′′
7 -4
Trouver la valeur exacte de l’angle en radians.
(b) −60o
(c) 225o
(a) 150o
7 -5
Trouver la valeur exacte de l’angle en degrés.
2π
11π
3π
(a)
(b)
(c)
3
6
4
7 -6
Exprimer l’angle sous forme décimale, en arrondissant au dix-millième de degré près.
(b) 83o 17′
(c) 258o 39′ 52′′
(a) 37o 41′
7 -7
Exprimer l’angle en degrés, minutes et secondes, en arrondissant à la seconde.
(b) 12, 864o
(c) 310, 6215o
(a) 63, 169o
7 -8
Les angles suivants sont exprimés en radian. Les convertir en degré.
3π
4
,
2π
3
,
5π
6
,
1 ,
7π
6
,
\
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C
5
180o
π ·2, 5 ≈
15, 6
CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
111
7 -9
Convertir en radian :
36o
345o
,
,
15o
,
210o
,
540o
,
72o
C
7 - 10
Le triangle ABC est équilatéral de centre O.
 , AMB
 et
Évaluer en radian les angles AOB
.
BMC
M
O
7 - 11
B
Dans un triangle d’angle α, β et γ, on a
π
α = rad et
5
A
2π
β=
rad
5
Quelle est la nature de ce triangle ?
7 - 12
Si un arc de cercle de longueur L donnée sous-tend un angle au centre θ sur un cercle, trouver le rayon de ce
cercle.
(b) L = 3 km, θ = 20o
(a) L = 10 cm, θ = 4
7 - 13
(a) Trouver la longueur de l’arc du secteur ombré dans la figure ci-dessous.
(b) Trouver l’aire du secteur.
120o
o
45
r = 8 cm
r = 9 cm
7 - 14
(a) Trouver la valeur en radians et en degrés de l’angle au centre θ qui intercepte l’arc donné de longueur L sur
(b) Trouver l’aire du secteur déterminé par θ.
un cercle de rayon r .
(2) L = 90 cm, r = 50 cm
(1) L = 7 cm, r = 4 cm
7 - 15
Mesure de distances sur terre
La distance entre deux points A et B sur terre se
mesure le long d’un cercle dont le centre C est au
centre de la terre et dont le rayon est égal à la distance de C à la surface (voir la figure). Si le diamètre
de la terre est approximativement de 12’800 km,
calculer la distance entre A et B si l’angle ACB a la
valeur indiquée :
(a) 60o
(b) 10o
C
Mesure d’angles en utilisant la distance
Si deux points A et B sont éloignés de 800 km, exprimer l’angle ACB en radians et en degrés.
A
B
7 - 16
Une roue type pour une petite voiture a un diamètre de 56 cm. Si le véhicule se déplace à une vitesse de 96
km/h, calculer le nombre de tours que la roue fait par minute.
C
\
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Projection d’un escalier tournant (hélice)
On peut se faire une image assez bonne de la projection d’une hélice en visualisant de face ou de dessus un
escalier tournant (en colimaçon).
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
8
7
6
9
10
5
11
4
12
3
2
13
1
14
15
16
Dessin de Dürer, tiré de Underweysung der
Messung, 1525.
La vue de dessus d’une hélice est un cercle et de face une ... sinusoïde.
L’escalier tournant montre bien que lorsqu’on parcourt l’hélice, chaque fois qu’on tourne d’un même
angle (dans ce cas, on passe d’une marche à la suivante en tournant de 22,5°= 360 : 16), on monte
d’une même hauteur. En respectant ce principe, on
peut construire l’hélice « marche par marche ».
Ce principe est à l’œuvre dans toute hélice. Si on
prend un boulon, par exemple, à chaque tour du
filet, on parcourt la même distance dans l’axe du
cylindre.
6 1 Réalisation pratique d’une hélice
On dessine sur une feuille transparente rectangulaire une diagonale. Pour simplifier au plus les choses, on
prendra même plutôt un transparent carré. On enroule ensuite le papier en accolant deux côtés parallèles.
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\
6
7.6. PROJECTION D’UN ESCALIER TOURNANT (HÉLICE)
C
112
CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
M
M '
M '
M
On suppose ensuite que le cylindre soit posé sur
une table dans la position suggérée par le dessin cicontre. Il s’agit maintenant de construire la projection orthogonale de l’hélice sur un plan horizontal
et sur un plan vertical.
A
A
113
A '
A '
Après enroulement le côté du carré devient le cercle de la base du cylindre. Si le côté vaut 12 cm, le rayon du
12
≈ 1, 91 cm.
cercle mesure 2π
La vue de dessus de l’hélice (projection horizontale de l’hélice) se confond avec celle du cylindre : c’est un
12
cercle de rayon 2π
cm.
Afin de réaliser la projection verticale, on marque 12
points, de 30°en 30 °, sur le cercle de la projection horizontale. On appellera ces points A, B, C, etc. Que se
passe-t-il lorsqu’on passe d’un point au suivant immédiat : on tourne de 30°, on avance de 1 cm sur le cercle
(puisque son périmètre est égal au côté du carré valant
12 cm) et on monte de 1cm.
M
M’
A
A’
1 c m
1 c m
Pour bien s’en rendre
compte, il faut imaginer le déplacement sur
la diagonale du carré
qui devient l’hélice dans
le cylindre. AA′ mesure
12 cm et correspond au
cercle partagé en 12. Si
l’on avance sur la diagonale de telle sorte que
sur la projection horizontale, on avance de
1 cm, alors on montera
aussi de 1 cm.
B’
1 c m
Ces considérations permettent de déterminer le correspondant A′ , B′ , C′ , etc. de chacun des points A, B, C, etc.
sur la vue verticale. On place ainsi les douze points et on
dessine au mieux la courbe qui les relie.
A’
D
E
C
\
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1
C
cm
B 1 cm
A
114
Approche analytique de la projection d’une hélice
Après avoir construit la projection verticale d’une hélice, il est temps de trouver l’expression analytique de la
courbe obtenue. Cela signifie qu’on va rechercher l’équation qui relie les coordonnées x et y de chaque point
(x ; y) de la courbe obtenue. Il faudra ainsi choisir un système d’axes et des unités appropriées.
Afin de se faire une certaine idée de l’expression analytique recherchée, on fait subir à la projection verticale
précédemment obtenue une rotation de 90°et on place les axes de coordonnées, avec l’origine au départ de la
courbe, en A′ .
y
D’
E’
C’
C
D
E
1
cm
F’
B’
B
F
1 c m
G’
M’
A’
A= M
G
α
1 c m
x
L’
H’
L
H
J’
K’
I’
J
K
I
On se rappelle aussi du cercle trigonométrique qui a permis de définir les fonctions sinus et cosinus pour tout
nombre réel.
y
r · sin(α)
Les coordonnées du point A repéré par l’angle α
sont (cos(α) ; sin(α)). Le point T, quant à lui, a les
coordonnées (r ·cos(α) ; r ·sin(α)) (on applique Thalès).
T
1
A
sin(α)
α
1
r
Le cercle de la projection horizontale de l’hélice
a un rayon différent de 1. Un moyen de trouver
l’équation de la courbe représentant la projection
verticale de l’hélice est de choisir comme unité la
valeur du rayon.
De cette manière, les ordonnées des points A′ , B′ ,
etc. s’expriment simplement comme des sinus de
l’angle. On va le voir en détail.
x
Si l’unité retenue sur l’axe des abscisse est le rayon r , alors, étant donné que la distance AM est égale à la longueur du cercle (2πr ), l’abscisse de M est égale à 2π. Les abscisses des autres points s’obtiennent par division.
Les ordonnées des points de la courbe s’obtiennent comme le sinus d’un angle x. En principe, si l’unité était
de 1, ces ordonnées vaudraient r · sin x, mais avec le choix d’unité égale au rayon, ces ordonnées valent sin x.
y
x
A
A
π
2
π
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\
α
C
7
7.7. APPROCHE ANALYTIQUE DE LA PROJECTION D’UNE HÉLICE
M
x
CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
115
On peut en calculer quelques valeurs pour des x entre 0 et π2 .
si x = 0,
y = sin 0° = 0
π
,
6
π
si x = ,
3
π
si x = ,
2
y = sin 30° =
si x =
y = sin 60° =
1
2
r
3
2
y = sin 90° = 1
Pour avoir une relation directe entre x et y, on observe qu’il suffit de remplacer la mesure des angles en degrés
par celle en radians. En effet,
sin 0° = sin 0 rappel : sans unité, les angles sont en radians
π
sin 30° = sin
6
π
sin 60° = sin
3
π
sin 90° = sin
2
Comme on a choisi comme unité le rayon r et que la longueur du cercle vaut 2πr et est égale à AM, on reconnaît
une propriété du radian, à savoir qu’un angle de 1 radian intercepte sur le cercle un arc de longueur égale au
rayon. On a ainsi une identité entre la mesure des angles et les abscisses x.
y
1
r
A
A
π
2
1
r
π
M
x
7 1 Fonction sinus
1
1
0,5 π 5π
2
0,5
12 π
3 π
4
0
π
− π2 − 5π
− π3 − π4 − π6 − 12
12
π
0 12
π
6
π
4
π
3
5π
12
π
6
π
12
π
− 12
π
−6
π
2
−π
π 4
−
5π 3
− π2− 12
−0,5
-1
Si on poursuit la construction de la courbe au-delà de π2 et − π2 jusqu’à respectivement π et −π, on obtient la
courbe pour un tour complet du cercle. Si on insiste en poursuivant avec des angles dépassant ces valeurs, la
C
\
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$
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116
7.7. APPROCHE ANALYTIQUE DE LA PROJECTION D’UNE HÉLICE
courbe se reproduit à l’identique. C’est pourquoi l’on dit que le sinus est une fonction périodique de période
2π.
1
0,5
0
−π
− π2
π
2
π
−0,5
-1
Une fonction f est dite périodique s’il existe un nombre réel positif p tel que
f (t + p) = f (t )
Définition 7 - 2
quel que soit t dans le domaine de définition de f . Le plus petit nombre réel positif p, s’il existe, est la
période de f .
7 - 17
La période de la fonction sinus est donc de 2π. Quelle est la période des fonctions
³x´
f : x 7→ sin(2x)
g : x 7→ sin
3
h : x 7→ 3sin(x)
i : x 7→ sin(5x − 3)
1. Trouver une règle générale pour la période de f (x) = sin(a · x).
2. Justifier cette règle algébriquement : f (x + p) = sin(a · (x + p)) = . . .
C
\
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CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
117
7 2 Fonction cosinus
1
0,5 π 5π
2
0
12 π
3 π
4π
6
π
12
Pour trouver le graphique de la
fonction cosinus, il faut faire un
travail semblable, mais en considérant cette fois les abscisses des
points sur le cercle, car c’est ainsi
qu’est défini le cosinus.
1
0,5
0
π
12
Si on poursuit la construction de
la courbe au-delà de π2 et − π2 jusqu’à respectivement π et −π, on
obtient la courbe pour un tour
complet du cercle. Si on insiste
en poursuivant avec des angles
dépassant ces valeurs, la courbe
se reproduit à l’identique. C’est
pourquoi l’on dit que le cosinus
est une fonction périodique de
période 2π.
π
6
π
4
π 5π
3 12
π
2
1
0,5
0
− π2
π
2
−0,5
-1
\
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C
−π
π
Quelques
propriétés
trigonométriques
remarquables
des
fonctions
Nous allons d’abord montrer la cohérence des définitions du cos x et du sin x avec les rapports trigonométriques
connus dans le triangle rectangle où les valeurs pour x (l’angle) sont comprises entre 0 et π2 .
J(0 ; 1)
M
sin(x)
x
cos(x)
O
J(0 ; 1)
I(1 ; 0)
M
S
x
C
Définition du sinus et du cosinus dans le cercle
trigonométrique
I(1 ; 0)
Trigonométrie « ordinaire » dans le triangle OCM
Par comparaison, on voit que cos x = OC et sin x = OS. Avec la trigonométrie « ordinaire » dans le triangle OCM,
on obtient :
cos x
OC
=
= cos x
OM
1
MC sin x
=
cos IOM
=
= sin x
OM
1
=
cos IOM
On en conclut, heureusement :

Pour x ∈]0 ; π2 [, cos x et sin x sont les cosinus et sinus de l’angle aigu géométrique IOM
Ceci permet de calculer quelques valeurs remarquables.
8 1 Valeurs remarquables du sinus et du cosinus
Un triangle rectangle isocèle et un triangle équilatéral ont des angles particuliers. En calculant les rapports
trigonométriques, on trouve les valeurs suivantes
x
0
cos x
1
sin x
0
tan x
0
π
6
p
3
2
1
2
p
3
3
π
4
p
2
2
p
2
2
1
2
p
3
2
1
p
π
3
3
Ces valeurs se trouvent de la manière suivante :
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\
8
7.8. QUELQUES PROPRIÉTÉS REMARQUABLES DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
C
118
π
2
0
1
??
CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
c
π
4
p
π
2
c
2c
π
6
h
119
On cherche d’abord h :
r
³ c ´2
h = c2 −
2
r
4 2 1 2
=
c − c
4
4
r
3 2
c
=
4
p
3
=
c
2
c
π π
3 2
π
4
c
c
p
p
π
c
1
2
sin = p = p =
4
2
2c
2
p
c
π
1
2
cos = p = p =
4
2
2c
2
π c
tan = = 1
4 c
Remarque Puisque les angles
π
3
et
π
6
3
c p3
π
2
sin =
=
3
c
2
c
1
π
cos = 2 =
3
c
2
p
3
c p
π
2
tan = c = 3
3
2
c
π 2 1
sin = =
6
c
2
p
3
c p3
π
cos = 2 =
6
c
2
p
c
π
3
1
2
tan = p = p =
6
3
3
3
c
2
sont complémentaires, il est normal qu’on ait trouvé
π
π
= cos
3
6
π
π
sin = cos
6
3
sin
8 2 Propriétés élémentaires
Les valeurs du sinus et du cosinus respectent les inégalités
−1 ≤ cos x
≤1
−1 ≤ sin x
≤1
La périodicité du sinus et du cosinus permet d’écrire pour tout réel x et tout entier relatif k
cos(x + 2kπ) = cos x
sin(x + 2kπ) = sin x
Grâce à Pythagore, on vérifie aisément
(cos(x))2 + (sin(x))2 = 1
ou , autrement écrit,
Les signes du cosinus et du sinus sont
cos x ≤ 0
cos x ≥ 0
J
sin x ≥ 0
sin x ≥ 0
I
O
cos x ≤ 0
cos x ≥ 0
sin x ≤ 0
sin x ≤ 0
C
\
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cos2 x + sin2 x = 1
7.8. QUELQUES PROPRIÉTÉS REMARQUABLES DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
8 3 Angles complémentaires
Deux points du cercle associés à deux angles complémentaires sont symétriques par rapport à la
droite d d’équation y = x. Pour cette raison, leur
coordonnées sont « échangées ». Si la coordonnées
d’un point est (a , b), l’autre a pour coordonnées
(b , a). On a ainsi
cos
sin
³π
2
³π
2
M′ (cos(π/2 − x), sin(π/2 − x))
J
π
2
−x
M(cos x, sin x)
x
I
O
´
− x = sin x
´
− x = cos x
d :y =x
8 4 Angles associés
En lisant attentivement le cercle trigonométrique, on trouve les résultats
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
M1 (cos(π − x), sin(π − x))
J
M(cos x, sin x)
M1
π−x
M
x
I
−x
M3
π+x
M2
M2 (cos(π + x), sin(π + x))
M3 (cos(−x), sin(−x))
cos(π + x) = − cos x
cos(−x) = cos x
sin(π + x) = − sin x
sin(−x) = − sin x
8 5 Sinus et arcsinus, cosinus et arccos sur la calculatrice
On sait maintenant que ces fonctions ne sont pas bijectives de R dans R. Par contre, il est toujours possible de
restreindre les ensembles de départ et d’arrivée pour qu’elles le soient de sorte à pouvoir définir leur réciproque
respective.
1
−2π
4
−π
4
1
π
4
2π
4
3π
4
π
−π
4
5π
4
−1
π
4
2π
4
3π
4
π
5π
4
−1
sin : [−π/2, π/2] → [−1, +1]
cos : [0, π] → [−1, +1]
arcsin : [−1, +1] → [−π/2, π/2]
arccos : [−1, +1] → [0, π]
Le choix fait dans les deux figures ci-dessus correspond à celui effectué sur toutes les calculatrices. Il faut être
conscient de ce choix et en tenir compte dans les calculs. Par exemple, si on applique le théorème du sinus pour
résoudre un triangle afin de déterminer un angle, on est amené à utiliser l’arcsinus. Dans la première figure de
\
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C
120
CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
l’exercice 7 - 1, page 105, l’angle β se trouve en faisant
ric
at
ul
121
e
¶ lc
7, 5 · sin(22, 67°) ca
β = arcsin
=35, 52°,
5
µ
mais il ne faut pas oublier qu’il y a sur l’intervalle ]0°, 180°[ des valeurs possibles pour les angles d’un triangle,
deux valeurs d’angle telles que sin(β) = 7,5·sin(22,67°) , celle que donne la calculatrice 35, 52° et une deuxième
5
donnée par 180° − 35, 52° = 144, 68°.
Trouver les différentes valeurs d’angle telles que cos(x) =
p
3
2 .
1
p
3
2
−π
2
a
b
π
2
π
3π
2
c
d
2π
5π
2
3π
7π
2
e
−1
La calculatrice ou la table page 118 fournira la valeur b = π/6 . Les autres valeurs se trouvent en utilisant
les angles associés (cf. page précédente)
a=−
π
6
c =−
π
11π
+ 2π =
6
6
d=
π
13π
+ 2π =
6
6
e=
−π
23π
+ 4π =
6
6
Dans les exercices qui suivent, il faut bien tenir compte de l’intervalle dans lequel la calculatrice donne ses
valeurs et des autres valeurs possibles qui pourraient peut-être mieux convenir au problème posé !
\
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C
Exemple
122
Exercices
7 - 18
Un point P(x ; y) correspondant à un nombre réel t est représenté sur le cercle unitaire U. Trouver les valeurs
1
des fonctions
trigonométriques de t .
y
y
(5 5)
P 4; 3
( 17 17 )
P – 15 ; 8
t
t
O
O
x
x
U
U
3
4
y
y
t
t
O
(25
P 24 ; – 7
U
25
)
O
x
x
U
( 13
P – 5 ; – 12
13
)
7 - 19
Soit P(t ) le point sur le cercle unitaire U qui correspond à t . Si P(t ) a les coordonnées rectangulaires données
¢
¡
a) ¡ 53 ; 45
¢
12
5
; − 13
c) − 13
¡ 8 15 ¢
; 17 ¢
b) ¡− 17
7
; − 24
d) 25
25
déterminer pour chacun de ces cas
1. P(t + π)
2. P(t − π)
3. P(−t )
4. P(−t − π)
7 - 20
Soit P(t ) le point sur le cercle unitaire U qui correspond à t . Trouver les coordonnées de P et les valeurs exactes
des fonctions trigonométriques de t , si possible.
(a) 2π
(b) −3π
(d) 6π
(e)
9π
4
(h) −
7π
4
(f) −
7π
2
(i) −
π
4
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\
(g)
3π
2
(c) −π
C
9
7.9. EXERCICES
CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
123
y
7 - 21
Soit P un point sur le cercle unitaire U qui correspond à t . Trouver la coordonnée manquante de
P et les valeurs exactes des fonctions trigonométriques de t , si possible.
( 5)
P ?; 3
t
O
x
U
7 - 22
Dans les énoncés suivants, on donne l’un des deux
nombres cos x et sin x . Calculer l’autre en s’aidant
du cercle trigonométrique et de la relation cos2 x +
sin2 x = 1
a) cos x =
3
4
et sin x ≤ 0
b) cos x = 0, 8 et 0 < x < π
c) sin x = 0, 1 et cos x > 0
d) cos x = −0, 6 et π < x <
3π
2
7 - 23
Vérifier l’identité en transformant le membre de gauche pour obtenir le membre de droite.
1. cos(x − π) = cos(x + π)
2. sin(x − 3π) = sin(3π + x)
1
3.
− tan(−x) sin(−x) = cos(x)
cos(−x)
7 - 24
Exprimer chaque expression en fonction de cos(x) et de sin(x)
¢
¡
1. A = cos(x − π) + cos x − π2 + sin(x − π)
2. B = cos(−x) + sin(−x) + sin(π + x) + cos(π − x)
¡
¢
¢
¡
3. C = sin π2 − x + cos(π + x) − cos x − π2
7 - 25
Déterminer la valeur exacte du sinus et cosinus de chaque réel (utiliser les valeurs remarquables et les angles
associés).
2π 4π π
,
,−
3 3
3
5π π 7π
(c)
,− ,
6
6 6
π 5π 3π
(b) − ,
,
4 4 4
8π 11π 13π
(d) − ,
,−
3
6
4
(a)
7 - 26
Montrer que les fonctions :
x 7→ cos 2x
et x 7→ sin 2x
sont périodiques de période π.
7 - 27
Vrai ou faux :
Les points du cercle trigonométrique associés à 0, π3 ,
2π
2π
3 , π, − 3
et − π3 sont les sommets d’un hexagone régulier.
7 - 28
Vrai ou faux :
Lorsque x est positif, on a :
sin x =
7 - 29
p
1 − cos2 x
Vrai ou faux :
Si x augmente de π, alors cos x et sin x changent de signe.
C
\
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124
7.9. EXERCICES
7 - 30
Trouver l’expression algébrique des fonctions représentées par les courbes suivantes :
1
-Π
1
Π
Π
2
2
Π
-
3Π
2
2Π
5Π
2
3Π
-Π
Π
Π
2
2
3Π
Π
-
-1
2
5Π
2Π
3Π
2
-1
2
1
1
-Π
Π
Π
2
2
Π
-
3Π
2
2Π
5Π
2
3Π
Π
Π
2
2
-Π -
Π
3Π
2
2Π
5Π
2
3Π
7Π
2
4Π
9Π
2
5Π
11 Π
2
6Π
-1
-1
3
4
2
3
1
2
1
Π
-Π
2
Π
-1
Π
2
3Π
2
2Π
5Π
2
3Π
Π
-Π
-2
2
3Π
Π
Π
-1
-3
-2
-4
-3
-5
-4
2
2
5Π
2Π
3Π
2
3
2
1
1
Π
Π
Π
-1
2
3Π
2
2Π
5Π
2
3Π
Π
Π
2
2
-Π -
Π
-2
-3
-1
-4
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\
2
C
-Π
3Π
2
2Π
5Π
2
3Π
7Π
2
4Π
9Π
2
5Π
11 Π
2
6Π
CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
2
3
1
2
125
1
Π
Π
-Π -
Π
2
2
3Π
2
2Π
5Π
2
3Π
7Π
2
4Π
9Π
2
5Π
11 Π
2
6Π
-1
Π
Π
2
2
-Π -2
Π
3Π
2
2Π
5Π
2
7Π
3Π
2
4Π
9Π
2
5Π
11 Π
2
6Π
-1
3
5
2
4
3
1
2
1
Π
-Π
2
Π
Π
-1
2
3Π
2
2Π
5Π
3Π
2
Π
-Π
-2
3Π
Π
-1
2
Π
2
5Π
2Π
2
2
3Π
-2
-3
-3
-4
-5
-5
Équations trigonométrique
Ce sont des équations dans lesquelles l’inconnue apparaît comme argument de fonctions trigonométriques.
Les formes les plus élémentaires en sont
cos x = a
et sin x = a
avec a ∈ [−1; +1]
En effet pour tout réel x, on a −1 ≤ cos x ≤ +1 et −1 ≤ sin x ≤ +1. Par conséquent, ces équations n’ont pas de
solutions pour a < −1 et a > 1.
La résolution de ces équations se fait, du moins au départ, en passant par le cercle trigonométrique.
Exercice Résoudre dans R chacune des équations suivantes :
p
π
3
• cos x = −0, 2
• cos x = sin
• sin x =
2
5
• cos 3x = sin x
p
3
2
Pour avoir une idée de la situation, il est intéressant de voir les solutions graphiquement
bC
−2π
x6
p1
3
2
bC
−3π
2
x5
−π
×
bC
bC
x1
−π
2
π
2
x2
−1
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\
• sin x =
C
10
-4
bC
π
3π
2
2π
x3
bC
5π
2
x4
3π
126
7.10. ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUE
On réalise tout de suite qu’il y a une
infinité de solutions dont une seule nous est fournie par le
p
tableau de la page 118 : sin(π/3) = 23 , ce qui correspond à la valeur x1 du graphe. La valeur x2 peut
être trouvée grâce au cercle trigonométrique (angles associés).
p
p
3
3
π
2π
P( 2π
P( π3 )
Le fait que sin =
et que sin
=
3 )
3
2
3
2
bC
bC
p
permet d’écrire
sin x = sin
et
sin x = sin
3
2
³π´
3
µ
2π
3
¶
Les autres solutions sont trouvées en ajoutant
ou enlevant des tours complets (k ·2π où k est
un entier positif ou négatif).
π
2π
Notre équation a ainsi pour solution : x = + 2kπ (k ∈ Z) ou x =
+ 2kπ (k ∈ Z).
3
3
• cos x = −0,2
P(1.77)
La calculatrice nous donne cos 1.77 ≈ −0, 2.
bC
L’équation peut ainsi s’écrire
cos x ≈ cos 1, 77
mais, comme le montre le cercle trigonométrique, on a aussi
−0.2
cos x ≈ cos 4, 51 ou − 1, 77
Notre équation a ainsi pour solution :
x ≈ 1.77 + 2kπ (k ∈ Z) ou x ≈ 4.51 + 2kπ (k ∈ Z).
³π´
• cos(x) = sin
5
Nous allons la ramener à une équation de la
forme cos x = cos a grâce à la relation
sin
³π´
5
= cos
³π
2
−
bC
P(4.51) = P(−1, 77)
bC
3π
π´
= cos
5
10
P( 3π
10 )
On résoudra ainsi l’équation
µ ¶
3π
cos x = cos
10
mais,comme le montre le cercle trigonomébC
trique, on a aussi
µ
¶
P(− 3π
30 )
3π
cos x = cos −
10
3π
3π
+ 2kπ (k ∈ Z) ou x = −
+ 2kπ (k ∈ Z).
Notre équation a ainsi pour solution : x =
10
10
• cos3x = sin x
Nous allons la ramener à une équation de la forme cos x = cos . . . grâce à la relation
´
³π
−x
sin x = cos
2
³π
´
On résoudra ainsi l’équation :
cos 3x = cos
−x
2³
´
³
π´
π
− x = cos x −
mais, on a aussi
cos 3x = cos −
2
2


π
π






(k ∈ Z)
 3x = 2 − x + 2kπ (k ∈ Z)
 4x = 2 + 2kπ




Nous obtenons ainsi : ou
soit ou








π


 3x = x − + 2kπ (k ∈ Z)
 2x = − π + 2kπ (k ∈ Z)
2
2
C
\
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CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
D’où finalement x =
127
π
π
π
+ k ou x = − + kπ avec k ∈ Z
8
2
4
7 - 31
Voici une partie du graphe de la fonction f : x 7→ cos(x).
Déterminer les valeurs exactes de a , b , c et d .
1
€€€€€
2
a
b
c
d
!!!
3
- €€€€€€€€€€€€€
2
7 - 32
Pour chacune des équations suivantes, on demande
1° de donner toutes les solutions dans R ;
2° de placer sur le cercle trigonométrique les points correspondants à ces solutions ;
3° de donner la mesure principale associée à chacun des points représentés.
p
2
a) cos x =
2
b) sin x =
p
2
2
c) cos x = −
1
2
³
π´
d) cos x = cos x +
3
7 - 33
Résoudre dans l’intervalle I =] − π; π] les équations données, puis représenter les solutions sur le cercle trigonométrique :
p
p
2
2
1
a) cos 2x = 0
b) cos 2x =
c) sin 2x =
d) cos 3x = −
2
2
2
7 - 34
Résoudre, dans R, les équations données et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique :
p
p
p
³
3
2
3
1
π´
1) cos x =
2) sin x =
3) cos x = −
4) sin x +
=
2p
2
2
4
2
3
6) sin 2x = 1, 2
7) sin 2x = −1
8) cos 2x = sin x
5) sin 2x =
2
2
2
2
9) 2sin x = tan x
10) 1 − sin x = 0
11) cos x = sin x
12) (2cos(x) + 3) · (2sin(x) + 1) = 0
Exercices divers
7 - 35
Lorsque l’angle d’élévation du soleil est de 64°, un
poteau téléphonique qui penche d’un angle de 9°
par rapport à une ligne formée par le pied du poteau et le soleil projette une ombre de 6,3 m sur le
sol. Calculer la hauteur du poteau.
9
64
6,3 m
\
BY:
$
Jann Weiss, Licence Creative Commons , 2015-2016
C
11
128
7.11. EXERCICES DIVERS
7 - 36
Un point P au niveau du sol se trouve à 3,0 kilomètres au nord d’un point Q. Un coureur, partant de Q, se
déplace vers le point R dans la direction N25° E, puis de R vers P dans la direction S70° O. Calculer la distance
parcourue.
7 - 37
240 m
Topographie Pour calculer la distance séparant deux points A
et B situés sur les rives opposées d’un fleuve, un géomètre définit un segment de droite AC de 240 m le long d’une des rives.
 et ACB
 sont resIl détermine que les mesures des angles BAC
pectivement de 63° 20’ et 54° 10’ (voir figure). Calculer la distance entre A et B.
A
C
54 10
63 20
B
7 - 38
Téléphérique La figure représente un téléphérique transportant des passagers d’un point A, qui se trouve à 2 km du point
B situé au pied de la montagne, à un point P au sommet de la
montagne. Les angles d’élévation de P aux points A et B sont
respectivement de 21° et 65°.
P
21
A
1. Calculer la distance entre A et P.
2. Calculer la hauteur de la montagne.
B
65
2 km
7 - 39
Un bateau de pêche industriel utilise un sonar pour détecter un banc de poissons à 4 km à l’est du bateau, qui
se déplace en direction N51° O à la vitesse de 16 km/h.
1. Si le bateau avance à une vitesse de 40 km/h,
calculer, à 0,1° près, la direction à suivre pour
intercepter le banc de poissons.
2. Calculer le temps, à la minute près, qu’il faudra au bateau pour atteindre le banc de poissons.
51
4 km
7 - 40
Hauteur d’une cathédrale La figure représente une
cathédrale sise au sommet d’une colline. En observant le sommet de la flèche depuis le pied de la colline, l’angle d’élévation est de 48°. Si on l’observe à
60 m de la base de la colline, l’angle d’élévation de
la flèche est de 41°. La pente de la colline forme un
angle de 32°. Calculer la hauteur de la cathédrale.
41
48
60 m
7 - 41
Un parallélogramme a des côtés de 30 cm et de 70 cm et un angle de 65°. Calculer la longueur de chaque
diagonale au centimètre près.
C
\
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$
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CHAPITRE 7. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
129
7 - 42
C
Un poteau haut de 12 m est planté sur le flanc
d’une colline qui forme un angle de 17° avec l’horizontale. Calculer la longueur minimale d’un câble
tendu entre le sommet du poteau et un point en
contrebas distant de 21,6 m de la base du poteau.
12 m
m
21, 6
A
C
\
BY:
$
Jann Weiss, Licence Creative Commons , 2015-2016
B
17
D
130
7.11. EXERCICES DIVERS
7 - 43
Calcul de distances On peut calculer la largeur d’un
fleuve sans avoir à mesurer d’angle. Comme le montre
la figure, on choisit un point A sur une rive et deux
points B et C sur la rive opposée. Les segments de droite
AB et AC sont étendus jusqu’aux points D et E (voir figure). Puis on mesure les distances BC, BD, BE, CD et
CE. Supposons que les distances sont : BC= 184 m,BD=
102 m, BE = 218 m, CD = 236 m et CE = 80 m.
A
C
E
B
D
1. Calculer les distances AC et AB.
2. Calculer à partir du point A la plus courte distance au travers du fleuve.
7 - 44
Calculer l’aire du triangle ABC si a = 2,20 cm, b = 1,30 cm et g = 43,2°.
7 - 45
La distance OM peut se calculer si on connaît les angles en O et O′ du triangle △OMO′ et la distance OO′ . De la
même manière, on trouve la longueur du côté OM′ dans le triangle △OM′ O′ .
On considère ensuite le triangle △OMM′ , pour lequel on connaît maintenant les longueurs des côtés OM et
OM′ . En vertu du théorème d’isométrie des triangles et connaissant par visée l’angle en O, on peut calculer la
distance entre MM′ .
Appliquer cette démarche avec les mesures suivantes :
′ OO′ = 50◦ , MOO
′ O = 70◦ et M
′ O′ M = 50◦ .
à
ƒ′ = 80◦ , MO
ƒ
à
OO′ = 5 km, M
7 - 46
En sortant de son phare le gardien a laissé la porte ouverte, mais il a laissé son chien (féroce) attaché à un piquet
par une chaîne de 10 m.
Je connais bien le gardien, mais malheureusement le chien ne me connaît
pas.
Vais-je pouvoir rendre visite au gardien ?
porte
2m
3m
(rayon du cercle
extérieur)
10 m
C
\
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$
Jann Weiss, Licence Creative Commons , 2015-2016
1m