Bibliothèque d’exercices L1 Énoncés Feuille n◦ 14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 1 Fonctions circulaires inverses Exercice 1 Une statue de hauteur s est placée sur un piédestal de hauteur p. À quelle distance doit se placer un observateur (dont la taille est supposée négligeable) pour voir la statue sous un angle maximal ? Exercice 2 Démontrer les inégalités suivantes : a si 0 < a < 1; 1 − a2 a Arctan a > si a > 0. 1 + a2 Arcsin a > √ Exercice 3 Écrire sous forme d’expression algébrique sin(Arccos x), cos(Arcsin x), sin(3 Arctan x). Exercice 4 Résoudre les équation suivantes : Arcsin x = Arcsin 2 3 + Arcsin , 5 5 3 Arccos x = 2 Arccos , 4 1 Arctan x = 2 Arctan . 2 Exercice 5 Vérifier Arcsin x + Arccos x = 2 π , 2 Arctan x + Arctan 1 π = sgn(x) . x 2 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses Exercice 6 1. Montrer qu’il n’existe pas de fonction f : [1; +∞[→ R vérifiant : ∀x ∈ R, f (ch x) = ex . 2. Déterminer toutes les fonctions f : R+∗ → R telles que : ∀x ∈ R, f (ex ) = ch x. Préciser le nombre de solutions. 3. Déterminer toutes les fonctions f : R+ → R telles que : ∀x ∈ R, f (ex ) = ch x. Préciser le nombre de solutions ; y a t-il des solutions continues sur R+ ? 1 Exercice 7 Calculer : lim ex (ch3 x − sh3 x) x→∞ et lim (x − ln(ch x)). x→∞ Exercice 8 Les réels x et y étant liés par y π x = ln tan + , 2 4 calculer ch x, sh x et th x en fonction de y. Exercice 9 Résoudre l’équation xy = y x où x et y sont des entiers positifs non nuls. 2 Bibliothèque d’exercices L1 Indications Feuille n◦ 14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Indication 1 Faire un dessin. Remarquer que maximiser l’angle d’observation α revient à maximiser tan α. Puis calculer tan α en fonction de la distance et étudier cette fonction. Indication 2 On pourra étudier les fonctions définies par la différence des deux termes de l’inégalité. Indication 3 Il faut utiliser les identités trigonométriques classiques. Indication 4 On compose les équations par la bonne fonction, par exemple sinus pour la première. Indication 5 Faire une étude de fonction. Indication 6 1. Regarder ce qui se passe en deux valeurs opposées x et −x. 2. Poser X = ex . Indication 9 Montrer que l’équation xy = y x est équivalente à fonction x 7→ lnxx . 1 ln x x = ln y , y puis étudier la Bibliothèque d’exercices L1 Corrections Feuille n◦ 14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses Correction 1 On note x la distance de l’observateur au pied de la statue. On note α l’angle d’observation de la statue seule, et β l’angle d’observation du piedestal seul. Nous avons le deux identités : p+s p tan(α + β) = , tan β = . x x En utilisante la relation tan(α + β) = tan α+tan β 1−tan α·tan β tan α = x2 on obtient sx . + p(p + s) Maintenant l’angle α ∈ [0, π2 [ et la fonction tan est croissante sur cet intervalle, donc maximiser α sx est équivalent à maximiser tan α. Étudions la fonction f (x) = x2 +p(p+s) définie sur x ∈ [0, +∞[. p le maximum de f (en 0 et +∞ Après calculs f 0 ne s’annule qu’en x0 = p(p + s) qui donne p l’angle est nul). Donc la distance optimiale de vision est x0 = p(p + s). En complément on peut calculer l’angle maximum α0 correspondant : par la relation tan α0 = f (x0 ) = √ s , on obtient α0 = arctan √ s . 2 p(p+s) 2 p(p+s) a 0 Correction 2 1. Soit f (a) = Arcsin a − √1−a 2 sur ]0, 1[, f (a) > 0 (faite le calcul !) donc f est strictement croissante et f (0) = 0 donc f (a) > 0 pout tout a ∈]0, 1[. 2 2 a 1 1+a 2a 0 2. g(a) = Arctan a − 1+a 2 alors g (a) = 1+a2 − (1+a2 )2 = (1+a2 )2 > 0 Donc g est strictement croissante et g(0) = 0 donc g est strictement positive sur ]0, +∞[. p 2 2 Correction 3 1. sin y = 1 − cos y donc sin y = ± 1 − cos2 y. Donc sin arccos x = √ √ √ 2 2 ± 1 − cos arccos x = ± 1 − x et comme arccos x > 0 on a sin arccos x = + 1 − x2 . √ 2. De la même manière cos arcsin x = + 1 − x2 . 2 1 1 3. On utilise 1 + tan2 x = cos12 x = 1−sin 2 x ce qui permet d’avoir sin x = 1 − 1+tan2 x . Ensuite on calcule tan 3y en utilisant deux fois la formule de tan(a + b) on trouve tan 3y = 3 tan y−(tan y)3 . Cela permet d’avoir 1−3(tan y)2 sin(3 arctan x) = 4 x (1 + x2 )3/2 −√ x . 1 + x2 Correction 4 1. En prenant le sinus de l’équation Arcsin x = Arcsin 25 +Arcsin 53 on obtient x = sin(Arcsin 52 + Arcsin 35 ), donc x = 52 cos Arcsin 53 + 35 cos Arcsin 25 . En utilisant la q √ √ 3 21 3 8 24 2 formule cos arcsin x = + 1 − x . On obtient x = 5 5 + 5 21 = + . 25 25 25 2. En prenant le cosinus de l’équation Arccos x = 2 Arccos 43 on obtient x = cos(2 Arccos 34 ) on utilise la formule cos 2u = 2 cos2 u − 1 et on arrive à : x = 2( 43 )2 − 1 = 18 . 3. En prenant la tangente et à l’aide de tan(a + b) = · · · on obtient : x = tan 2 Arctan 21 = 43 . 1 Correction 5 1. Soit f la fonction sur [−1, 1] définie par f (x) = Arcsin x + Arccos x alors f 0 (x) = 0 pour x ∈] − 1, 1[ donc f est une fonction constante sur [−1, 1] (car continue aux extrémités). Or f (0) = π2 donc pour tout x ∈ [−1, 1],f (x) = π2 . 2. Soit g(x) = Arctan x + Arctan x1 , la fonction est définie sur ] − ∞, 0[ et sur ]0, +∞[. On a g 0 (x) = 0 donc g est constante sur chacun des ses intervalle de définition. g(x) = c1 sur ] − ∞, 0[ et g(x) = c2 sur ]0, +∞[. En calculant g(1) et g(−1) on obtient c1 = − π2 et c2 = + π2 . Correction 6 1. Si f existe alors pour x = 1 on a f (ch 1) = e et pour x = −1 on f (ch −1) = f (ch 1) = 1/e. Une fonction ne peut prendre deux valeurs différentes au même point (ici t = ch 1). 2. Notons X = ex , l’équation devient f (X) = 1 1 ex + e−x = (X + ). 2 2 X Comme la fonction exponentielle est une bijection de R sur ]0, +∞[, alors l’unique façon de définir f sur ]0, +∞[ est par la formule f (t) = 21 (t + 1t ). 3. Comme ex est toujours non nul, alors f peut prendre n’importe quelle valeur en 0. f (0) = c ∈ R et f (t) = 12 (t + 1t ) pour t > 0. Il y a une infinité de solutions. Mais aucune de ces solutions n’est continue car la limite de f (t) quand t > 0 et t → 0 est +∞. Correction 7 Réponses : 1. +∞ ; 2. ln 2. Correction 8 Soit x = ln tan y 2 + π 4 + 1 tan( y2 + π4 ) . 1. x e + ch x = 2 1 ex tan = y 2 + π 4 2 = 2 sin y 2 + π 4 1 cos y 2 + π 4 = 1 1 . π = sin(y + 2 ) cos(y) 2. De même sh x = tan y. 3. th x = sin y. Correction 9 xy = y x ⇔ ey ln x = ex ln y ⇔ y ln x = x ln y ⇔ ln x ln y = x y (la fonction exponentielle est bijective). Etudions la fonction f (x) = f 0 (x) = ln x x sur [1, +∞[. 1 − ln x > 0, x2 donc f est croissante sur [1, e] et décroissante sur [e, +∞[. Donc pour z ∈]0, f (e) = 1/e[, l’équation f (x) = z a exactement deux solutions, une dans ]1, e[ et une dans ]e, +∞[. Revenons à l’équation xy = y x équivalente à f (x) = f (y). Prenons y un entier, si y = 1 alors f (y) = z = 0 on doit donc résoude f (x) = 0 alors x = 1 ; si y = 2 alors il faut résoudre l’équation f (x) = ln22 ∈]0, 1/e[. Alors d’après l’étude précédente, il existe deux solutions une 2 sur ]0, e[ qui est x = 2 ( !) et une sur ]e, +∞[ qui est 4, en effet ln44 = ln22 . Soit 22 = 22 et 24 = 42 . Si y > 3 alors y > e donc il y a une solution x de l’équation g(y) = g(y) dans ]e, +∞ qui x = y, et une solution dans l’intervalle ]1, e[. Mais comme x est un entier alors x = 2, cas que nous avons déjà étudié. Conclusion les couples d’entiers qui vérifient l’équation xy = y x sont les couples (x, y = x) et les couples (2, 4) et (4, 2). 3