Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 1 Fonctions

Biblioth`eque d’exercices ´ Enonc´es
L1 Feuille n◦14
Fonctions circulaires et hyperboliques inverses
1 Fonctions circulaires inverses
Exercice 1 Une statue de hauteur sest plac´ee sur un pi´edestal de hauteur p.` A quelle distance
doit se placer un observateur (dont la taille est suppos´ee n´egligeable) pour voir la statue sous
un angle maximal ?
Exercice 2 D´emontrer les in´egalit´es suivantes :
Arcsin a > a
√1−a2si 0 < a < 1;
Arctan a > a
1 + a2si a > 0.
Exercice 3 ´ Ecrire sous forme d’expression alg´ebrique
sin(Arccos x),cos(Arcsin x),sin(3 Arctan x).
Exercice 4 R´esoudre les ´equation suivantes :
Arcsin x= Arcsin 2
5+ Arcsin 3 5,Arccos x= 2 Arccos 3 4,
Arctan x= 2 Arctan 1
2.
Exercice 5 V´erifier
Arcsin x+ Arccos x=π
2,Arctan x+ Arctan 1 x= sgn(x)π 2.
2 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses
Exercice 6 1. Montrer qu’il n’existe pas de fonction f: [1; +∞[→Rv´erifiant :
∀x∈R, f(ch x) = ex.
2. D´eterminer toutes les fonctions f:R+∗→Rtelles que :
∀x∈R, f(ex) = ch x.
Pr´eciser le nombre de solutions.
3. D´eterminer toutes les fonctions f:R+→Rtelles que :
∀x∈R, f(ex) = ch x.
Pr´eciser le nombre de solutions ; y a t-il des solutions continues sur R+?
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Exercice 7 Calculer :
lim
x→∞ ex(ch3x−sh3x) et lim x→∞(x−ln(ch x)).
Exercice 8 Les r´eels xet y´etant li´es par
x= ln tan y
2+π 4,
calculer ch x, sh xet th xen fonction de y.
Exercice 9 R´esoudre l’´equation xy=yxo`u xet ysont des entiers positifs non nuls.
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Biblioth`eque d’exercices Indications
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Fonctions circulaires et hyperboliques inverses
Indication 1 Faire un dessin. Remarquer que maximiser l’angle d’observation αrevient `a
maximiser tan α. Puis calculer tan αen fonction de la distance et ´etudier cette fonction.
Indication 2 On pourra ´etudier les fonctions d´efinies par la diff´erence des deux termes de
l’in´egalit´e.
Indication 3 Il faut utiliser les identit´es trigonom´etriques classiques.
Indication 4 On compose les ´equations par la bonne fonction, par exemple sinus pour la
premi`ere.
Indication 5 Faire une ´etude de fonction.
Indication 6 1. Regarder ce qui se passe en deux valeurs oppos´ees xet −x.
2. Poser X=ex.
Indication 9 Montrer que l’´equation xy=yxest ´equivalente `a ln x
x=ln y y, puis ´etudier la
fonction x7→ ln x
x.
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Biblioth`eque d’exercices Corrections
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Fonctions circulaires et hyperboliques inverses
Correction 1 On note xla distance de l’observateur au pied de la statue. On note αl’angle
d’observation de la statue seule, et βl’angle d’observation du piedestal seul. Nous avons le deux
identit´es :
tan(α+β) = p+s
x,tan β=p x.
En utilisante la relation tan(α+β) = tan α+tan β
1−tan α·tan βon obtient
tan α=sx
x2+p(p+s).
Maintenant l’angle α∈[0,π
2[ et la fonction tan est croissante sur cet intervalle, donc maximiser α
est ´equivalent `a maximiser tan α.´ Etudions la fonction f(x) = sx
x2+p(p+s)d´efinie sur x∈[0,+∞[.
Apr`es calculs f0ne s’annule qu’en x0=pp(p+s) qui donne le maximum de f(en 0 et +∞
l’angle est nul). Donc la distance optimiale de vision est x0=pp(p+s).
En compl´ement on peut calculer l’angle maximum α0correspondant : par la relation tan α0=
f(x0) = s
2√p(p+s), on obtient α0= arctan s 2√p(p+s).
Correction 2 1. Soit f(a) = Arcsin a−a
√1−a2sur ]0,1[, f0(a)>0 (faite le calcul !) donc f
est strictement croissante et f(0) = 0 donc f(a)>0 pout tout a∈]0,1[.
2. g(a) = Arctan a−a
1+a2alors g0(a) = 1 1+a2−1+a2 (1+a2)2=2a2 (1+a2)2>0 Donc gest strictement
croissante et g(0) = 0 donc gest strictement positive sur ]0,+∞[.
Correction 3 1. sin2y= 1 −cos2ydonc sin y=±p1−cos2y. Donc sin arccos x=
±√1−cos2arccos x=±√1−x2et comme arccos x>0 on a sin arccos x= +√1−x2.
2. De la mˆeme mani`ere cos arcsin x= +√1−x2.
3. On utilise 1 + tan2x=1
cos2x=1
1−sin2xce qui permet d’avoir sin2x= 1 −1
1+tan2x. Ensuite
on calcule tan 3yen utilisant deux fois la formule de tan(a+b) on trouve tan 3y=
3 tan y−(tan y)3
1−3(tan y)2. Cela permet d’avoir
sin(3 arctan x) = 4 x
(1 + x2)3/2−x
√1 + x2.
Correction 4 1. En prenant le sinus de l’´equation Arcsin x= Arcsin 2
5+Arcsin 3 5on obtient
x= sin(Arcsin 2
5+ Arcsin 3 5), donc x=2 5cos Arcsin 3 5+3 5cos Arcsin 2 5. En utilisant la
formule cos arcsin x= +√1−x2. On obtient x=2
5
4
5+3 5q21 25 =8 25 +3√21 25 .
2. En prenant le cosinus de l’´equation Arccos x= 2 Arccos 3
4on obtient x= cos(2 Arccos 3 4)
on utilise la formule cos 2u= 2 cos2u−1 et on arrive `a : x= 2(3
4)2−1 = 1 8.
3. En prenant la tangente et `a l’aide de tan(a+b) = ··· on obtient : x= tan 2 Arctan 1
2=4 3.
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Correction 5 1. Soit fla fonction sur [−1,1] d´efinie par f(x) = Arcsin x+ Arccos xalors
f0(x) = 0 pour x∈]−1,1[ donc fest une fonction constante sur [−1,1] (car continue aux
extr´emit´es). Or f(0) = π
2donc pour tout x∈[−1,1],f(x) = π 2.
2. Soit g(x) = Arctan x+ Arctan 1
x, la fonction est d´efinie sur ] − ∞,0[ et sur ]0,+∞[. On
ag0(x) = 0 donc gest constante sur chacun des ses intervalle de d´efinition. g(x) = c1
sur ] − ∞,0[ et g(x) = c2sur ]0,+∞[. En calculant g(1) et g(−1) on obtient c1=−π
2et
c2= +π
2.
Correction 6 1. Si fexiste alors pour x= 1 on a f(ch 1) = eet pour x=−1 on
f(ch −1) = f(ch 1) = 1/e. Une fonction ne peut prendre deux valeurs diff´erentes au
mˆeme point (ici t= ch 1).
2. Notons X=ex, l’´equation devient
f(X) = ex+e−x
2=1 2(X+1 X).
Comme la fonction exponentielle est une bijection de Rsur ]0,+∞[, alors l’unique fa¸con
de d´efinir fsur ]0,+∞[ est par la formule f(t) = 1
2(t+1 t).
3. Comme exest toujours non nul, alors fpeut prendre n’importe quelle valeur en 0. f(0) =
c∈Ret f(t) = 1
2(t+1 t) pour t > 0. Il y a une infinit´e de solutions. Mais aucune de ces
solutions n’est continue car la limite de f(t) quand t > 0 et t→0 est +∞.
Correction 7 R´eponses :
1. +∞;
2. ln 2.
Correction 8 Soit x= ln tan y
2+π 4.
1.
ch x=ex+1
ex
2=
tan y
2+π 4+1
tan(y
2+π 4)
2=1
2 sin y
2+π 4cos y 2+π 4=1
sin(y+π
2)=1
cos(y).
2. De mˆeme sh x= tan y.
3. th x= sin y.
Correction 9
xy=yx⇔eyln x=exln y⇔yln x=xln y⇔ln x
x=ln y y
(la fonction exponentielle est bijective). Etudions la fonction f(x) = ln x
xsur [1,+∞[.
f0(x) = 1−ln x
x2>0,
donc fest croissante sur [1, e] et d´ecroissante sur [e, +∞[. Donc pour z∈]0, f(e) = 1/e[,
l’´equation f(x) = za exactement deux solutions, une dans ]1, e[ et une dans ]e, +∞[.
Revenons `a l’´equation xy=yx´equivalente `a f(x) = f(y). Prenons yun entier, si y= 1 alors
f(y) = z= 0 on doit donc r´esoude f(x) = 0 alors x= 1 ; si y= 2 alors il faut r´esoudre
l’´equation f(x) = ln 2
2∈]0,1/e[. Alors d’apr`es l’´etude pr´ec´edente, il existe deux solutions une
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