Vecteurs aléatoires à densités

Vecteurs aléatoires à densités
Les lois
Loi conjointe de
(X1 , ... , Xn)
La loi conjointe de (X1 , ... , Xn) est donnée par la fonction définie sur ℝn par la fonction de
répartition : F(X1,...,Xn) (x1, ... , xn) = P[   
 ]
Lois marginales
La kème loi marginale de (X1 , ... , Xn) est la loi de Xk
Stabilité de la loi en
composant par une
fonction continue de
ℝn dans ℝ
Si (X1 , ... , Xn) et (Y1 , ... , Yn) ont la même loi et si g est une fonction continue de ℝn dans ℝ
alors g(X1 , ... , Xn) et g(Y1 , ... , Yn ) ont la même loi
Loi de Max(X1 , ... , Xn )
On cherche la fonction de répartition
 x  ℝ , P[ Max ≤ x ] = P [ 
 ]
Loi de Min(X1 , ... , Xn )
On cherche la fonction de répartition
 x  ℝ , P[ Min ≤ x ] = 1 – P [ 
 ]
Produit de convolution
Le produit de convolution sert à trouver une densité de (X+Y) lorsque X et Y sont
indépendantes.
On cherche d’abord (X+Y) ()
Cas particulier de convergence : si l’une des deux densités est bornée alors le produit de
convolution converge.
Théorème :
Si X et Y sont indépendantes à densités respectives f et g
Si la fonction h : x     existe et est continue sur ℝ sauf peut-être en un
nombre fini de points
Alors h est une densité de (X+Y)
Stabilité de la loi
gamma pour la somme
La somme de variables aléatoires indépendantes de lois respectives (1) , ... (p) suit la loi
gamma (1+...+p)
Stabilité de la loi
normale pour les
combinaisons linéaires
- Toute combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes de lois normales est une
variable aléatoire X de loi normale N ( E(X) , V(X))
- Si X  N(m,²) alors pour tous réels a et b, aX+b  N( am+b , a²² )
Somme de variables
indépendantes de loi (1)
La loi (1) est la loi (1) donc la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi (1) suit
la loi (n)
L’espérance
Croissance
Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant une espérance.
Si P[ X ≤ Y ] = 1 alors E(X) ≤ E(Y)
Linéarité
Si X et Y admettent une espérance alors pour tous a,b réels , (aX+bY) a une espérance et
E(aX+bY) = aE(X) + b E(Y)
En particulier E(aX+b) = a E(X) + b
Existence d’une
espérance par
domination
Soient X et Y deux variables aléatoires .
Si Y a une espérance et si P[ |X| ≤ Y ] = 1
alors X a une espérance et | E(X) | ≤ E(Y)
Espérance d’un
produit de variables
indépendantes
Si X1 , ... , Xn sont des variables aléatoires réelles indépendantes et admettant une espérance
alors leur produit a une espérance et E(X1 ... Xn ) = E(X1) ... E(Xn)
La variance
Définition
Soit X une variable aléatoire de densité f.
Si l’intégrale  converge alors V(X) = E ( X – E(X) )²) =   
Formule de Koenig-
Huygens
Si X admet une variance alors V(X) = E(X²) – E(X)²
Variance et moment
d’ordre 2
X admet une variance si et seulement si X² admet une espérance
Variance d’une somme
de n VAR indépendantes
Si X1 , ... , Xn sont n variables indépendantes admettant une variance alors leur somme admet
une variance et V( X1 + ... + Xn ) = V(X1) + ... + V(Xn)

V(aX+b)
Soient a et b deux réels.
Si X a une variance alors aX+b aussi et V(aX+b) = a² V(X)
Indépendance
Indépendance
mutuelle de n VAR
X1,...,Xn sont mutuellement indépendantes ssi pour tous réels x1,...,xn :
P[(X1≤x1)  ...  (Xn≤xn) ] = P[X1≤x1] ... P[Xn≤ xn]
Indépendance
mutuelle d’une suite
de VAR discrètes
Une suite (Xn)nIN est formée de var discrètes mutuellement indépendantes ssi toute sous-
suite finie est formée de var mutuellement indépendantes.
Lemme des coalitions
Si X1 , ... , Xn sont indépendantes alors toute fonction de X1 , ... , Xp est indépendante de toute
fonction de Xp+1 , ... , Xn.