triangles quelconques

Chapitre 13
TRIANGLES QUELCONQUES
13.1
Rappels : TRIANGLES RECTANGLES
Figure de référence
C
γ
a
B
b
β
c
A
Notations
a = longueur du côté opposé au sommet A
b = longueur du côté opposé au sommet B
c = longueur du côté opposé au sommet C
L’angle de sommet A se nomme α.
L’angle de sommet B se nomme β.
L’angle de sommet C se nomme γ.
Cosinus = adjacent sur hypoténuse
cos β =
|AB|
|BC|
=
cos γ =
|AC|
|BC|
=
b
a
b
a
sin γ =
|AB|
|BC|
=
c
a
b
c
tg γ =
|AB|
|AC|
=
c
b
c
a
Sinus = opposé sur hypoténuse
sin β =
|AC|
|BC|
=
Tangente = côté sur côté
tg β =
|AC|
|AB|
=
Pythagore
|BC|2 = |AC|2 + |AB|2
a2 = b2 + c2
Angles
α+β+γ =π
β+γ =
98
π
2
CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES
99
Exercice 13.1
Résoudre le triangle ABC 1 rectangle en A dans chacun des cas suivants.
a
b
54
32
c
β
γ
38, 6◦
46
38, 2
47, 5
49◦ 18′ 27′′
54, 3
Exercice 13.2
Un observateur veut déterminer la distance de A à B sans devoir franchir la rivière représentée cidessous.
A
B
En A est planté un piquet et en B se trouve l’observateur. Celui-ci est muni d’un théodolite2 .
1. Imaginer une méthode et les mesures à prendre pour résoudre le problème.
2. Supposer des mesures et calculer la distance de A à B d’après ces mesures.
Exercice 13.3
Quand la planète Vénus est observée depuis la Terre pendant une certaine période, elle paraı̂t se mouvoir
en avant et en arrière le long d’un segment de droite, Le Soleil étant au milieu. A la distance apparente
maximale du Soleil, l’angle3 Soleil-Terre-Venus est d’environ 36◦ . Sachant que la distance Terre-Soleil
vaut environ 148, 64 . 106 km, estimez la distance séparant Vénus du Soleil.
1 La
figure de référence est celle donnée en début de paragraphe
qui permet de mesurer des angles sur le terrain
3 Cet angle s’appelle l’élongation. Il est maximum quand le Soleil, la Terre et Vénus sont en quadrature.
2 Appareil
CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES
13.2
100
TRIANGLES QUELCONQUES
Al-Kashi, mathématicien originaire d’Iran mort approximativement en 1436 est connu pour avoir donné
des décimales de π assez précises. Mais nous allons nous intéresser ici au théorème qui porte aujourd’hui
encore son nom, et qui est une forme généralisé du théorème de Pythagore. Il énonce une relation entre
la longueur des côtés d’un triangle quelconque et l’un des angles de celui-ci. Notons que le résultat fut
trouvé antérieurement par Euclide d’Alexandrie au III ème siècle avant J.C. et figure dans la proposition
XII du second livre des Eléments.
13.2.1
Théorème du cosinus (Théorème d’Al-Kashi)
Soit ABC un triangle quelconque. Deux cas se présentent.
Les trois angles sont aigus
Un angle est obtus
Y
Y
B
(x;y)
B
(x;y)
β
β
y
a
c
y
c
a
γ
b
x
cos α =
|AD|
c
y
c
x
D
(x;0)
X
γ
=
x
c
ou x = c cos α
cos α = − cos(π − α) = − |AD|
=
c
ou y = c sin α
sin α =
X
C
(b;0)
A
C
(b;0)
D
(x;0)
sin α =
π−α
b
α
A
α
y
c
x
c
ou x = c cos α
ou y = c sin α
= (b − x)2 + y 2
a2
= (b − c cos α)2 + (c sin α)2
= (b2 − 2bc cos α + c2 cos2 α) + c2 sin2 α
= b2 + c2 (cos2 α + sin2 α) − 2bc cos α
Donc
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
En faisant une permutation cyclique des lettres a, b, c et α, β, γ , nous obtenons les formules pour b2 et
c2 .
13.2.2
Théorème du sinus
Soit ABC un triangle quelconque. On déduit des figures du théorème précédent :
sin α =
y
c
et
sin γ =
y
a
sin α = sin(π − α) =
y
c
et
sin γ =
y
a
CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES
101
Ainsi,
y = c sin α
et
y = c sin(π − α) = c sin α
y = a sin γ
Ce qui nous donne
a
sin α
=
y = a sin γ
a
c
=
sin α
sin γ
a sin γ = c sin α =⇒
Un raisonnement similaire donne la relation
et
b
sin β
qui, combinée avec la précédente, nous fournit:
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
13.2.3
Aire d’un triangle
Soit ABC un triangle quelconque.
Base × Hauteur
b×y
=
2
2
On déduit des figures du premier théorème :
A=
A=
bc sin α
2
ou
A=
ab sin γ
2
A=
bc sin(π−α)
2
=
bc sin α
2
Un raisonnement analogue donne la relation
A=
13.2.4
ac sin β
2
Formulaire
Figure de référence
A
α
c
b
γ
β
a
C
B
Les angles
α+β+γ =π
Théorème du cosinus
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Théorème du Sinus
a
sin α
=
b
sin β
=
c
sin γ
Aire
A=
A=
A=
bc sin α
2
ab sin γ
2
ac sin β
2
ou
A=
ab sin γ
2
CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES
102
Remarques importantes
1. Lorsque deux angles sont donnés, le troisième sera calculé à l’aide de l’égalité α + β + γ = π .
2. Lorsqu’un seul angle est donné, chacun des angles inconnus sera calculé en utilisant soit le
théorème du cosinus, soit le théorème du sinus mais pas la formule donnant la somme des trois
angles qui peut alors conduire à des erreurs.
3. On privilégiera toujours, si possible, le théorème du cosinus à celui du sinus pour déterminer un
angle inconnu. En effet, si l’angle est donné par son cosinus, seule la solution comprise entre 0
et π est à retenir (Celle donnée systématiquement par la calculatrice!). Par contre, si l’angle est
donné par son sinus, deux solutions comprises entre 0 et π sont éventuellement à prendre en
considération : l’une donnée systématiquement par la calculatrice, l’autre étant la supplémentaire
de la première.
13.2.5
Exercices
Exercice 13.4
Résoudre les triangles ABC suivants et calculer également leur aire :
1. a = 70.24
2. β = 58.25◦
b = 82.12 γ = 30.69◦
γ = 39.38◦
a = 20.46
3. a = 41.94
b = 96.92 c = 107.26
4. a = 20.43
b = 5.63 c = 27.84
5. β = 30.65◦
a = 98.06
6. β = 39.37◦
a = 460.14
b = 364.04
b = 335.59
Réponses
1. α = 58.79◦ β = 90.52◦ c = 41.92
2. α = 82.37◦ b = 17.55 c = 13.1
3. α = 22.99◦ β = 64.52◦ γ = 92.48◦
4. impossible
5. α = 7.89◦ γ = 141.46◦ c = 444.95
6. deux solutions : α = 60.43◦ γ = 80.2◦ c = 521.33 ou α = 119.57◦ γ = 21.06◦ c = 190.11
Un observateur, couché sur le sol, voit un satellite sous un angle de 35◦ avec la verticale. Sachant
que le satellite gravite à 1000 km au-dessus de la surface de la Terre, quelle est la distance séparant le
satellite de l’observateur (rayon de la Terre : 6370 km) ?
Réponse: 1182.588 km
Exercice 13.5
Un bateau quitte le port à 13h00 et fait route dans la direction 55◦ W à la vitesse de 38 km/h (les
angles sont mesurés avec la direction N). Un deuxième bateau quitte le même port à 13 h 30 et vogue
dans la direction 70◦ E à 28, 5 km/h. Calculez la distance séparant les bateaux à 15 h 00 .
Réponse: 106.44 km
CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES
103
Exercice 13.6 (Le pavage de Penrose)
Les pavés de Penrose4 ont la forme d’un losange ABCD dont la longueur des côtés est 1 et dont un
angle intérieur fait 72◦ . On situe un point P sur la diagonale AC à une distance 1 du sommet C .
De ce point partent les deux segments de droite P B et P D rejoignant les deux autres sommets du
losange, comme le montre la figure ci-dessous. Les deux pavés ainsi formés sont appelés ”fer de lance”
et ”cerf-volant”.
1
B
C
Cerf-volant
1
1
1
P
72
Fer de lance
A
1
D
\ , AP
\
\
1. Calculez les mesures en degrés de ABP
B et BP
C.
2. Calculez la longueur du segment [BP ] à 0.001 près.
3. Calculez l’aire d’un fer de lance et d’un cerf-volant à 0.01 près.
Réponses
1. 36◦
4 Ce
108◦
72◦
2. 0, 618
3. 0, 36
0, 59
pavage joue un rôle important en cristallographie.
Roger Penrose (Colchester, 8 août 1931 - ) Physicien et mathématicien britannique. Il enseigne les mathématiques au
Birkbeck Collège de Londres où il élabore la théorie décrivant l’effondrement des étoiles sur elles-mêmes (Death of stars),
entre 1964 et 1973 , où il rencontre le célèbre physicien Stephen Hawking. Ils travaillent alors àune théorie de l’origine de
l’univers, Penrose y apportant sa contribution mathématique a la théorie de la relativité générale appliquée à la cosmologie
et à l’étude des trous noirs. En 1974 , il publie un article où il présente ses premiers pavages non-périodiques : les pavages
de Penrose (Pentaplexity, Bulletin of the Institute for Mathematics and its Applications, 10 , 266 − 271 , 1974 ).
CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES
104
Exercice 13.7
Une basilique est située au sommet d’une colline (voir schéma ci-dessous). Quelle est la hauteur de
cette basilique ?
Réponse: 105 m
Exercice 13.8
Quelle est la longueur du segment [DE]?
Réponse: ≈ 4, 69
Exercice 13.9
Construire et mesurer l’intensité de la force résultante (résolution algébrique)
A
A
10N
61
120
80N
Réponse: ≈ 155, 42N et ≈ 17, 32N
20N
100N
CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES
105
Exercice 13.10
Le parallélogramme ABCD a ses diagonales qui mesurent 42 m et 51 m et qui font un angle de 62◦ .
Calculer les mesures des côtés et les angles de ce parallélogramme.
A
B
O
62
D
C
Réponses:
b=C
b = 102, 474◦ et B
b=D
b = 77, 526◦ .
|AB| = |DC| = 39, 926 m ; |AD| = |BC| = 24, 26 m; A
Exercice 13.11
Les côtés parallèles d’un trapèze mesurent 15 cm et 10 cm et les autres côtés 5 cm et 6 cm. Calculer les
angles et les longueurs des diagonales.
Exercice 13.12
Un calibre d’angles a la forme de la figure. Il est découpé dans une pièce d’acier de 15 cm sur 10 cm.
Indiquer les cotes sur le plan si les encoches doivent avoir des parois de 2 cm de long.
135
90
60
45
30
Exercice 13.13
Calculer les éléments manquants.
M
N
12
31
49
P
18
Q