triangles quelconques

Chapitre 13
TRIANGLES QUELCONQUES
13.1 Rappels : TRIANGLES RECTANGLES
Figure de r´ef´erence
A
B
C
c
ab
β
γ
Notations
a= longueur du cˆot´e oppos´e au sommet AL’angle de sommet Ase nomme α.
b= longueur du cˆot´e oppos´e au sommet BL’angle de sommet Bse nomme β.
c= longueur du cˆot´e oppos´e au sommet CL’angle de sommet Cse nomme γ.
Cosinus = adjacent sur hypot´enuse
cos β=|AB|
|BC|=c acos γ=|AC| |BC|=b a
Sinus = oppos´e sur hypot´enuse
sin β=|AC|
|BC|=b asin γ=|AB| |BC|=c a
Tangente = cˆot´e sur cˆot´e
tg β=|AC|
|AB|=b ctg γ=|AB| |AC|=c b
Pythagore
|BC|2=|AC|2+|AB|2a2=b2+c2
Angles
α+β+γ=π β +γ=π
2
98

CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 99
Exercice 13.1
R´esoudre le triangle ABC 1rectangle en Adans chacun des cas suivants.
a b c β γ
54 32
46 38,6◦
38,2 47,5
54,3 49◦18′27′′
Exercice 13.2
Un observateur veut d´eterminer la distance de A`a Bsans devoir franchir la rivi`ere repr´esent´ee ci-
dessous.
A
B
En Aest plant´e un piquet et en Bse trouve l’observateur. Celui-ci est muni d’un th´eodolite2.
1. Imaginer une m´ethode et les mesures `a prendre pour r´esoudre le probl`eme.
2. Supposer des mesures et calculer la distance de A`a Bd’apr`es ces mesures.
Exercice 13.3
Quand la plan`ete V´enus est observ´ee depuis la Terre pendant une certaine p´eriode, elle paraˆıt se mouvoir
en avant et en arri`ere le long d’un segment de droite, Le Soleil ´etant au milieu. A la distance apparente
maximale du Soleil, l’angle3Soleil-Terre-Venus est d’environ 36◦. Sachant que la distance Terre-Soleil
vaut environ 148,64 .106km, estimez la distance s´eparant V´enus du Soleil.
1La figure de r´ef´erence est celle donn´ee en d´ebut de paragraphe
2Appareil qui permet de mesurer des angles sur le terrain
3Cet angle s’appelle l’´elongation. Il est maximum quand le Soleil, la Terre et V´enus sont en quadrature.

CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 100
13.2 TRIANGLES QUELCONQUES
Al-Kashi, math´ematicien originaire d’Iran mort approximativement en 1436 est connu pour avoir donn´e
des d´ecimales de πassez pr´ecises. Mais nous allons nous int´eresser ici au th´eor`eme qui porte aujourd’hui
encore son nom, et qui est une forme g´en´eralis´e du th´eor`eme de Pythagore. Il ´enonce une relation entre
la longueur des cˆot´es d’un triangle quelconque et l’un des angles de celui-ci. Notons que le r´esultat fut
trouv´e ant´erieurement par Euclide d’Alexandrie au III`eme si`ecle avant J.C. et figure dans la proposition
XII du second livre des El´ements.
13.2.1 Th´eor`eme du cosinus (Th´eor`eme d’Al-Kashi)
Soit ABC un triangle quelconque. Deux cas se pr´esentent.
Les trois angles sont aigus Un angle est obtus
A
B
(x;y)
C
(b;0)
ca
bX
Y
D
(x;0)
α
β
γ
x
y
A
B
(x;y)
C
(b;0)
ca
bX
Y
D
(x;0)
α
π−α
β
γ
x
y
cos α=|AD|
c=x cou x=ccos αcos α=−cos(π−α) = −|AD| c=x cou x=ccos α
sin α=y
cou y=csin αsin α=y cou y=csin α
a2= (b−x)2+y2
= (b−ccos α)2+ (csin α)2
= (b2−2bc cos α+c2cos2α) + c2sin2α
=b2+c2(cos2α+ sin2α)−2bc cos α
Donc
a2=b2+c2−2bc cos α
En faisant une permutation cyclique des lettres a, b, c et α, β, γ , nous obtenons les formules pour b2et
c2.
13.2.2 Th´eor`eme du sinus
Soit ABC un triangle quelconque. On d´eduit des figures du th´eor`eme pr´ec´edent :
sin α=y
cet sin γ=y asin α= sin(π−α) = y cet sin γ=y a

CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 101
Ainsi,
y=csin αet y=asin γ y =csin(π−α) = csin αet y=asin γ
Ce qui nous donne
asin γ=csin α=⇒a
sin α=c sin γ
Un raisonnement similaire donne la relation a
sin α=b sin βqui, combin´ee avec la pr´ec´edente, nous fournit:
a
sin α=b sin β=c sin γ
13.2.3 Aire d’un triangle
Soit ABC un triangle quelconque.
A=Base ×Hauteur
2=b×y 2
On d´eduit des figures du premier th´eor`eme :
A=bc sin α
2ou A=ab sin γ 2A=bc sin(π−α) 2=bc sin α 2ou A=ab sin γ 2
Un raisonnement analogue donne la relation
A=ac sin β
2
13.2.4 Formulaire
Figure de r´ef´erence
A
B
Ca
bc
α
β
γ
Les angles
α+β+γ=π
Th´eor`eme du cosinus Th´eor`eme du Sinus Aire
a2=b2+c2−2bc cos α A =bc sin α
2
b2=a2+c2−2ac cos βa
sin α=b sin β=c sin γA=ab sin γ 2
c2=a2+b2−2ab cos γ A =ac sin β
2

CHAPITRE 13. TRIANGLES QUELCONQUES 102
Remarques importantes
1. Lorsque deux angles sont donn´es, le troisi`eme sera calcul´e `a l’aide de l’´egalit´e α+β+γ=π.
2. Lorsqu’un seul angle est donn´e, chacun des angles inconnus sera calcul´e en utilisant soit le
th´eor`eme du cosinus, soit le th´eor`eme du sinus mais pas la formule donnant la somme des trois
angles qui peut alors conduire `a des erreurs.
3. On privil´egiera toujours, si possible, le th´eor`eme du cosinus `a celui du sinus pour d´eterminer un
angle inconnu. En effet, si l’angle est donn´e par son cosinus, seule la solution comprise entre 0
et πest `a retenir (Celle donn´ee syst´ematiquement par la calculatrice!). Par contre, si l’angle est
donn´e par son sinus, deux solutions comprises entre 0 et πsont ´eventuellement `a prendre en
consid´eration : l’une donn´ee syst´ematiquement par la calculatrice, l’autre ´etant la suppl´ementaire
de la premi`ere.
13.2.5 Exercices
Exercice 13.4
R´esoudre les triangles ABC suivants et calculer ´egalement leur aire :
1. a= 70.24 b= 82.12 γ= 30.69◦
2. β= 58.25◦γ= 39.38◦a= 20.46
3. a= 41.94 b= 96.92 c= 107.26
4. a= 20.43 b= 5.63 c= 27.84
5. β= 30.65◦a= 98.06 b= 364.04
6. β= 39.37◦a= 460.14 b= 335.59
R´eponses
1. α= 58.79◦β= 90.52◦c= 41.92
2. α= 82.37◦b= 17.55 c= 13.1
3. α= 22.99◦β= 64.52◦γ= 92.48◦
4. impossible
5. α= 7.89◦γ= 141.46◦c= 444.95
6. deux solutions : α= 60.43◦γ= 80.2◦c= 521.33 ou α= 119.57◦γ= 21.06◦c= 190.11
Un observateur, couch´e sur le sol, voit un satellite sous un angle de 35◦avec la verticale. Sachant
que le satellite gravite `a 1000 km au-dessus de la surface de la Terre, quelle est la distance s´eparant le
satellite de l’observateur (rayon de la Terre : 6370 km) ?
R´eponse: 1182.588 km
Exercice 13.5
Un bateau quitte le port `a 13h00 et fait route dans la direction 55◦W `a la vitesse de 38 km/h (les
angles sont mesur´es avec la direction N). Un deuxi`eme bateau quitte le mˆeme port `a 13h30 et vogue
dans la direction 70◦E `a 28,5 km/h. Calculez la distance s´eparant les bateaux `a 15h00.
R´eponse: 106.44 km