Sur les homomorphismes des demi-groupes compacts

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
ROBERT P. H UNTER
Sur les homomorphismes des demi-groupes compacts
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 22, no 2 (1968-1969), exp. no 20,
p. 1-5
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Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des
22e
année, 1968/69,
n°
20-01
nombres)
20, 5
19 mai 1969
p.
SUR LES HOMOMORPHISMES DES DEMI-GROUPES COMPACTS
par Robert P. HUNTER
On
se
propose d’étudier certains
giques, notamment
la nature des
aspects de la structure des demi-groupes topolohomomorphismes (continus) des demi-groupes compacts.
Nous abordons essentiellement le
problème
de la
dimension (il s’agit
de la dimension
cohomologique).
Homomorphismes qui élèvent
1.
Soient
G
un
groupe
la dimension.
compact,
et
f
un
homomorphisme (continu)
G. On connait
de
bien la formule
dim G
où
N
désigne
Le résultat
dim
f(G)
+
dim
N ,
particulier,
analogue pour les demi-groupes est faux.
Exemple 1
de l ’intervalle,
groupe
f. En
le noyau de
=
C
Soit
muni de la
compact de dimension
(on peut,
l’ensemble de Cantor considéré
comme
min(x , y) .
Alors
multiplication
0 . Soit
f
xy
une
=
application
de
C
sous-ensemble
C
est
un
demi-
~G ~ 1) pré-
sur
décomposition qui identifie
les extrémités d’une composante du complément). En prenant
(0 , 1) J , avec la
multiplication
min(x ,9 y) , on voit que f est un homomorphisme continu qui
élève la dimension de 1. En formant les cônes avec 1_intervalle ordinaire I ,y on
servant l’ordre
par
exemple1 considérer
la
=
a un
exemple
connexe.
et
Soient
momorphisme
induit par
’2 ~ ~2
un
il existe
une
f . De plus,
suite
( ~ compris)
en
commençant
~’~
~2
avec
C
x
C
f f
J
~~ ~ "
~l
x
J ,
on
où
B. 1
est
un
est
homomorphisme élevant
dans le
Néanmoins,
parmi toutes
connexe (avec identité)
demi-groupe compact
un
les
la dimension de
de
cas
y
est
images
on
comp act
avec
peut démontrer que
identité de dimension
précisément
demi-groupe satisfaisant
Pour la stabilité
et
f
la dimension la
plus haute
2 .
élevée parmi toutes les images est
On dit
1 :
i .
PROPOSITION 1.1. - Etant donnés deux entiers
et connexe,
de dimension
aux
elle-même ( 0-stabilité)
9
k ,y
n,
il existe
un
demi-groupe
n ~ tel que la dimension l a
plus
k .
n +
conditions
précédentes
est
k-stable.
il semble que le résultat le plus net
soit le suivant.
PROPOSITION 1.2. -
1 . Si
mension
Soit
S
un
demi-groupe compact
est localement connexe, alors
S
connexe
S
avec
identité de di-
est stable.
2. Homomo hismes abaissant la dimension.
Si
G
est
un
groupe abélien
ractères,9 c ’est-à-dire
culier, chaque
dimension. Là
G ,
de
encore
des
compact,
homomorphismes continus
connu
que
G
possède
des
dans le cercle unité. En
ca-
parti-
dimension % 2 , possède des homomorphismes qui abaissent
le résultat
Exemple (URSELL). -
il est bien
la
analogue pour les demi-groupes est faux.
Considérons le demi-groupe
V :
Supposons qu’il existe un homomorphisme continu f sur T, où T est de dimension 1 . Rappelons qu’u~n demi-groupe compact et connexe de dimension 1 ~ avec
zéro et identité, contient précisément un arc (fil) entre zéro et l’identité. Puisil est idempotent, mais il est contenu aussi
que cet arc est contenu dans
bien dans f(N)
qui est nilpotent.
Propriétés
(l)
(2)
Tout
de
V .
homomorphisme
est monotone.
qu’on puisse croire le contraire, il existe des homomorphismes non dégénérés (c’est-à-dire: qui ne soient pas des homomorphismes de Rees sur un idéal).
(3) Chaque image homomorphe de V est homéomorphe à v .
Bien
3. Dimension et congruence.
les
sions des espaces
S
Soit
un
de Green. On considère les dimen-
équivalences
etc.
quotients
demi-groupe compact
identité :
avec
5~~~ ~ ~ 9
1° Si
dim S ~
alors
2° Si
dim
alors il est
possible d’ avoir
il n’est pas
encore
0 ,
S >, 2 ,
dim
5~~~7 ~
dim
dim S
+
k
pour tout
9
3° Si
dim S =
soit
de
Soit
Hx
1 ,
connu
que cela
que la dimension
implique
1.
une
H-classe du
demi-groupe compact
minimal relativement à la condition
x
xe .
=
S . Il existe
Il
en
un
idempotent
e
résulte que
Il est commode ici de définir la dimension de groupe d’un
demi-groupe
S,
Un résultat fondamental de A. D. WALLACE est que le sous-groupe maximal contenant
l t élément unité d’un
demi-groupe compact
mension
au
plus
1 . Il
que si
S
est
n un
résulte,
en
H
alors
n ,y
er.
et
demi-groupe compact
classe de dimension
et connexe, de dimension
est
faisant usage des résultats
connexe
un
de dimension
au
problème original
PROPOSITION 3.1. - Soit
un
demi-groupe compact
H
est
alors
une
S
Un tel
est
un
il
n,y et
une
la stabilité.
sur
soit localement
congraence telle que
précédentsp
groupe,y et c’est l’idéal minimal.
Le résultat suivant est lié
S
n, est de di-
et
connexe
avec
connexe, et
identité. Si
de dimension
1y
est stable.
demi-groupe peut être
arc
compliquée même
s’il est commutatif et si
Sl~~
(voir [3J).
dim
1
comme nous
l’avons
Notons que la condition
dim .3 == dim
assez
S. Et
qu’il
contient
entraîne,
mentionné)
un
idéal
soit
ceci
comme
dim S = 1
implique
+
que
sous-groupe).
dim S ,
S
est
soit
un
ho-
En tout cas, pour
En
Il
est
un
résulte que si
en
sous-groupe
S
f ô
élève aussi la dimension de
Si
G
est
on
on a
considère
sous-
un
On voit que
alors
2,
2 .
compact d’un demi-groupe contenant l’élément unitéy
sous-groupe
g (S/G) et d(S/G)
à gauche et à droite. Soient
opère
G
alors
un
f(S) ,
de
élève la dimension de
T
~
f ,
quelconque
compact
f ~‘ ( ~~ s
de l’idéal minimal de
M
groupe
G
si
effet,
continu
homomorphisme
un
les espaces quo-
tients associés.
Finalement9
mentionnons le résultat
nous
suivant 9 qui établit
connection très
une
nette entre la dimension et l’existence d’une congruence.
PROPOSITION 3.2. - Soient
G
un
sous-groupe
S
demi-groupe compact et,
connexe de
H 1 . Si g (S/G)
et
compact
un
2014’2014201420142014-2014201420142014’20142014201420142014201420142014’20142014201420142014
Supposons y
Nous
Tx
y(xG) .
Il
en
au
est
cas
un
S
où
voit que
existe
est
un
minimal de
E-classe dans
dégénéré
pour tout
à gauche
(sinon, K/G
seule
L-classe,
Evidemment,
serait
il
en
S
est
un
avec
congruence.
xG.
contienne pas
y :
S
l’appli-
--~
g
entre les espaces
g
(G/T x)
l’espace homogène
g(G/Tx).
cohomologie
dégénéréep
une
non
et
Puisque
nous
l’opération de S sur
cohomologie dégénérée.
faisant usage de
(S/G)
n’est pas
a une
dégénérée
K ,p soit chaque
produit cartésien
résulte que
si les espaces
l’idéal minimal de
S)
une
et
1 ,
’2014"-"2014201420142014
ne
G!- . Soit
homéomorphisme
sous-espace
effet,
Gx
identité
zéro. Considérons
contient
sous-espace de
chaque
tel que
x
compact de
un
résulte que
(l’idéal
K
a un
sous-groupe
contradiction. En
avons une
existe
avec
est de dimension
_.~
Ainsi les orbites forment
contraire, qu’ il
(G/Tx)
l’espace
une
x .
canonique. Alors il
cation
Si
au
bornons
nous
Evidemment
on
pour tout
xG ~ Gx
alors
connexe
kG ~ Gk ,
note que,
E-classe de
non
soit
K
ou
est
dégénéré). Alors,
puisque
kG
=
Hk
sont de dimension
et
simple à gauche
on
simple à droite.
y(L)
est
une
orbite
K
étant
pour tout
1,
alors
20-05
On note aussi
pour
soit de dimension
Un
il faut que
1 ,
demi-groupe S ,
qu’un sous-groupe G
satisfaisant
contenant l’ identi té tel que
morphisme
local sur A
G
aux
de H1
contienne
une
conditions
ait la
composante
précédentes,y
propriété
que
de
contient
l ’homomorphisme canonique défini par G
un
est
A
arc
un
iso-
’.
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On the Green
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University, 1966.
(Texte
Robert P. HUNTER
Department of fiathematics
University of Georgia
ATHENS, Ga (Etats-Unis)
reçu le 6 novembre
1969)