Loi uniforme, loi exponentielle.

LOIS UNIFORME ET EXPONENTIELLE
Jusqu'à présent, pour définir une loi de probabilité il suffisait d'associer à chaque issue la probabilité qui lui
correspondait. Cela était possible car le nombre d'issues était fini. Il arrive que la variable aléatoire soit
continue, et donc qu'elle prenne une infinité de valeurs (ex : durée de communications téléphoniques). On ne
peut alors plus attribuer une probabilité à chaque issue (elle serait nulle), mais on s'intéresse à la probabilité que
la variable aléatoire appartienne à un intervalle, (durée de communication entre 1 et 2 min). On dit qu'on définit
une loi de probabilité continue.
I. Loi uniforme :
1°) Loi uniforme sur [ 0 ; 1] :
Exemple :
Considérons l'expérience qui consiste à choisir une variable aléatoire X entre 0 et 1 en utilisant la fonction
de la calculatrice (NbrAléat ou rand suivant le modèle). Cette fonction donne un nombre décimal de l'intervalle
[0 ; 1]. Quelques résultats affichés par la calculatrice : 0,4058096418 ; 0,7338123112 ; 0,0439919875. Comme
il y a une infinité de nombres entre 0 et 1, la probabilité qu'un nombre en particulier (par exemple 0,5) sorte est
nulle (P(X = 0,5) = 0). En revanche, on peut calculer la probabilité que le nombre qui sort appartienne à un
1
intervalle donné. Par exemple, on imagine bien que la probabilité que le nombre soit dans [0 ; 0,5] est de
et
2
1
que la probabilité qu'il soit dans [0,6 ; 0,7] est de
.
10
y
Définition :
On appelle loi uniforme sur [0 ; 1] la loi continue
ayant pour densité la fonction constante f définie sur
[0 ; 1] par f (x) = 1.
Cela signifie que la probabilité de la variable
aléatoire X appartienne à un intervalle [ ; ] est égale à
l'aire situé entre la droite d'équation y = 1, l'axe des
abscisses et les droites d'équation x =  et x = .
1
O
y=1


1
x
Notation :
On note P(X ∈ [ ; ]) ou P([ ; ]) ou P( < X < ]) la probabilité que la variable aléatoire X
β
appartienne à un intervalle [ ; ]. On a donc P(X ∈ [ ; ]) = P( < X < ]) =
∫α 1 d x .
Remarque :
[0 ; 1] étant l'univers, on a bien P([0 ; 1]) = 1.
Propriété :
Pour cette loi, la probabilité d'un intervalle [α ; β] inclus dans [0 ; 1] est P([α ; β]) =  – .
Preuve :
β
P([α ; β]) =
∫α 1 d x
β
= [ x ] α =  – .
Exemple :
On choisit au hasard un réel de [0 ; 1]. La probabilité d’obtenir un réel de
P
([ ])
1 1
1 1 1
; = − = .
8 6
6 8 24
[ ]
1 1
;
8 6
est
2°) Loi uniforme sur [ a ; b] :
y
Définition :
y=
On appelle loi uniforme sur [a ; b] la loi continue
ayant pour densité la fonction constante f définie sur
1
[a ; b] par f (x) =
.
b−a
Cela signifie que la probabilité que la variable
aléatoire X appartienne à un intervalle [ ; ] est égale à
1
l'aire situé entre la droite d'équation y =
, l'axe des
b−a
abscisses et les droites d'équation x =  et x = .
O 1a

b

1
b−a
x
Remarque :
Cette fois l'univers est [a ; b]. P([a ; b]) est l'aire du grand rectangle bleu clair de la figure ci-dessus, donc
1
P([a ; b]) = hauteur × largeur =
× (b – a) = 1.
b−a
Notation :
u(a ; b) signifie loi uniforme sur [a ; b].
Propriété :
Pour cette loi, la probabilité d'un intervalle [α ; β] inclus dans [0 ; 1] e st P([α ; β]) =
1
( – ).
b−a
Preuve :
β
P([α ; β]) =
[
1
1
x
dx =
∫α b−a
b−a
β
]
=
α
1
( – ).
b−a
Exemple :
On choisit au hasard un réel de [2 ; 5]. La probabilité d’obtenir un réel de [3,3 ; 4,5] est
1
1
×( 4 ,5−3 , 3 )= ×1 , 2=0 , 4 .
P([3,1 ; 4,5]) =
5−2
3
II. Loi exponentielle sur [ 0 ; +∞[ :
Définition :
On appelle loi exponentielle de paramètre  est la loi continue ayant
pour densité la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :
y
f (x) = e–x où  est un réel strictement positif.
Propriété :
Pour cette loi, la probabilité d'un intervalle [ ; ] inclus dans
[0 ; +∞[ est P[ ; ] = e– – e–.
Preuve :
β
P [ ; ] =
∫α λ e−λ x d x
α
β
= [ −e – λ x ]α = [ e – λ x ]β = e– – e–.
Exemple :
Pour  = 1,5. On a donc une loi ayant pour densité la fonction f (x) = 1,5e–1,5x.
1
P [0 ; 1] =
0
Remarque :
1
∫ 1 ,5 e−1 ,5 x d x=[−e−1 ,5 x ]0 = 1 – e
–1,5
≈ 0,78.


x
On dit que la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement. Explications : si par
exemple X désigne la durée de vie, exprimée en années, d’un composant électronique. La probabilité qu’il
fonctionne encore t années sachant qu’il a déjà fonctionné pendant s années est la même que la probabilité qu’il
fonctionne pendant t années après sa mise en service.
Cette loi modélise le phénomène de « mort sans vieillissement », observé par exemple pour la
désintégration radioactive.
III. Espérance et variance :
1°) Définition :
a) Espérance :
Rappel :
Soit X une variable aléatoire discrète dont les issues sont x1 , x2 , … , xn et qui suit la loi de probabilité
suivante :
X
x1
x2
x3
…
xn
P(X)
p1
p2
p3
…
pn
L'espérance de cette V.A. est : E(X) = x1 p1 + x2 p2 + .... + xn pn.
On prolonge cette définition pour les V.A. continues :
Définition :
L’espérance d’une variable aléatoire X qui suit la loi continue sur [a ; b] est définie par la formule :
b
E(X) =
∫ x f (x ) d x , où f est la fonction densité
de la V.A. X.
a
Remarque :
On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire est la valeur moyenne que l'on peut espérer obtenir
sur un grand nombre de répétition de l'expérience aléatoire. Il s'agit d'un critère de position.
b) Variance :
Rappel :
Soit X une variable aléatoire discrète dont les issues sont x1 , x2 , … , xn qui suit la loi de probabilité
définie dans le tableau suivant et qui a pour espérance E(X).
X
x1
x2
x3
…
xn
P(X)
p1
p2
p3
…
pn
La variance de cette V.A. est : V(X) = p1(x1 – E(X))2 + p2(x2 – E(X))2 + .... + pn(xn – E(X))2 .
On prolonge cette définition pour les V.A. continues :
Définition :
La variance d’une variable aléatoire X qui suit la loi continue sur [a ; b] est définie par la formule :
b
V(X) =
∫ f ( x) ( x−E( X) )2 d x , où f est la fonction densité de la V.A. X.
a
Remarque :
On rappelle que la variance d'une variable aléatoire est un critère de dispersion : plus la variance est
grande, plus les valeurs prises par la V.A. sont éloignées de l'espérance, plus la variance est petite, plus les
valeurs prises par la V.A. sont regroupées autour de l'espérance.
c) Écart type :
Rappel :
L'écart type d'une variable aléatoire est la racine carrée de la variance : (X) =
√ V( X) .
2°) Espérance et variance d'une V.A. suivant une loi uniforme :
a) Espérance ;
Propriété :
y
L'espérance d'une V.A. suivant une loi uniforme sur
a+b
[a ; b] est E(X) =
.
2
y=
1
b−a
Preuve :
b
∫ x f (x )d x
D'après la définition E(X) =
=
a
b
b
1
1
dx =
∫ x × b−a
∫ xd x =
b−a a
a
(b−a)(b+ a)
a+b
b 2−a2
=
=
.
2
2 (b−a)
2( b−a)
O
2 b
[ ]
1 x
b−a 2
a
=
E (X)=
a
x
b
b +a
2
Exemple :
2+5
= 3,5.
2
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [2 ; 5] (u(2 ; 5)). Alors E(X) =
b) Variance :
Propriété :
La variance d'une V.A. suivant une loi uniforme sur [a ; b] est V(X) =
(a−b) 2
.
12
Preuve :
b
D'après la définition : V(X) =
∫
a
1
=
b−a
[
(
a +b
x−
2
3
[
] [
3 b
)
a
1
=
b−a
(
b−
b
b
2
2
1
a+ b
1
a +b
f ( x) ( x−E( X) ) d x = ∫
x−
dx =
x−
dx
∫
2
b−a a
2
a b−a
2
a+ b 3
a+ b
a−
2
2
−
3
3
) (
3
)
] [
1
=
b−a
(
)
a−b 3
a−b
2
2
−
3
3
3
( ) ( )
]
(
)
=
]
3
3
(a−b) 2
1 ( a−b ) ( a−b )
+
=
.
b−a 24
24
12
Exemple :
Reprenons l'exemple d'une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme u(2 ; 5). Alors V(X) =
( 2−5 )2 9
= =0 , 75 .
12
12
3°) Espérance d'une V.A. suivant une loi exponentielle :
Propriété (admise) :
L'espérance d'une V.A. suivant une loi exponentielle sur [0 ; +∞] est E(X) = 1 .
λ
Exemple :
L'espérance d'une V.A. suivant une loi exponentielle de paramètre 2 sur [0 ; +∞] est E(X) =
1
.
2