Feuille d`exercices – Alg`ebre linéaire

PC? 2014–2015 – Lycée Louis Thuillier
Feuille d’exercices – Algèbre linéaire
Feuille d’exercices – Algèbre linéaire
Calculs
Exercice 1
Résoudre les systèmes linéaires suivants :


x − y = −4


2x1 − x2 − x3 = 4



3x + 4x − 2x = 11
x − y + z = 1
1
2
3
[1]
[2]
3x1 − 2x2 + 4x3 = 11

4x + 5y + 2z = 3






2x1 + 5x2 − 7x3 = 4
−x + z = 4


2x + λy − z = 5
[3] (λ − 5)x + y + z = 7


x + 3y + 2z = 4

2
3

x + ay + a z = a
2
3
[4] x + by + b z = b


x + cy + c2 z = c3
Espaces vectoriels
Exercice 2
Montrer les résultats suivants
[1]K1 [X] = Vect(X − 1, X + 1)
[2]K2 [X] = Vect (X − 1)2 , (X − 1)(X + 2), (X + 2)2
[3]K3 = Vect ((1, 0, 1), (1, 1, 0), (2, 1, 1), (1, 1, 1))
[4]Vect ((1, 2, 3), (5, 2, −1)) = Vect ((6, 4, 2), (−4, 0, 5))
Exercice 3 – Supplémentaires en dimension finie
1. Montrer que (x, y, z) ∈ R3 ; x − y = 0 et (x, y, z) ∈ R3 ; x + z = −y + 2z = 0 sont supplémentaires dans R3 .
2. Montrer que K1 [X] et Vect(X 2 + 2X + 1) sont supplémentaires dans K2 [X].
3. On considère F = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 0 et u = (1, 0, 1). Montrer que F ⊕ VectR (u) = R3 .
4. On note E l’ensemble des polynômes divisibles par (X − 1)(X − 2).
Montrer que E est un sous–espace vectoriel de R3 [X] et montrer que R1 [X] est un supplémentaire de E dans
R3 [X]. Déterminer les projections associées de P ∈ R3 [X] en fonction de P (1) et P (2).
Exercice 4
On note f1 = (1, 1, 1), f2 = (0, −1, 2) et f3 = (2, 3, 0) trois vecteurs de R3 .
1. Montrer que (f1 , f2 , f3 ) est liée. Déterminer le rang de (f1 , f2 , f3 ).
2. On note G = (x, y, z) ∈ R3 ; t.q. 3x − 2y − z = 0 . Montrer que G est un sous–espace vectoriel de R3 .
Quelle est sa dimension ? Montrer que F = G.
3. Déterminer un supplémentaire de G dans R3 .
Exercice 5
Soient E un espace vectoriel de dimension 2n et F1 , F2 deux sous–espaces de dimension n tels que E = F1 ⊕ F2 .
Montrer que l’on peut trouver un supplémentaire commun à F1 et F2 dans E.
Exercice 6
Soient E1 = Vect{x → cos(nx) / n ∈ N} et E2 = Vect{x → sin(nx) / n ∈ N} sous espaces-vectoriels de C(R, C).
1. Montrer que E1 ⊕ E2 = VectC {x → einx /n ∈ Z}.
T
T
2. Soit F=VectC {x → einx /n ∈ N}, a–t–on F = (F E1 ) ⊕ (F E2 ) ?
3. Montrer que E1 = VectC {x → cosn x/n ∈ N}. Comparer E2 et VectC {x → sinn x/n ∈ N}.
Exercice 7
Soient H et H 0 deux hyperplans distincts de E de dimension finie. Déterminer dim(H ∩ H 0 ).
Exercice 8
Soient E un K–espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous–espace vectoriel de E tels que dim F + dim G >
dim E. Montrer que F et G ont au moins un vecteurs non nul en commun.
Dikanaina Harrivel – 15 octobre 2014
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Exercice 9
Donner une base de chacun des espaces vectoriels suivants
       
1
−2
−1
−3
[5]Vect 2 ,  1  ,  3  , −1 ;
[6] (x, y, z) ∈ R3
1
1
2
0
[7] {P ∈ K4 [X]; P (0) = P (1) = P (2) = P (3)} ;
[9]{f ∈ C ∞ ; f 00 − 2f 0 + f = 0};
Et enfin Vect ( f1 , f2 , f3 , f4 ) ⊂ R
t.q.
x − 3y + 2z = 0 et y + z = 0 ;
[8]Vect 2X 4 + 3X + 1 , 8X 2 − 4X , 2X 4 + 2X 3 , 4X 3 + 2X 2 ;
[10]{(un )n ∈ CN ; ∀n ∈ N; un+2 − 2un + 2 = 0};
]−1,1[
f1
avec x 7→
r
1−x
;
1+x
f2
x 7→
r
1+x
;
1−x
f
3
x 7→ √
1
;
1 − x2
f
4
x 7→ √
x
.
1 − x2
Exercice 10
1. Dans R3 on considère les vecteurs u = (1, 1, 1), v = (1, −1, 1), w = (1, 1, −1) et x = (1, 2, 3).
Montrer que (u, v, w) forme une base de R3 . Donner les coordonnées du vecteur x dans cette base.
2. Montrer que B = (X − 1)2 , X 2 , (X + 1)2 est une base de K2 [X] et donner les coordonnées de X 2 + 1 dans B.
Exercice 11
Soit F un sous-espace vectoriel de C[X] de dimension finie n ≥ 1.
1. Montrer que F admet une base constituée de polynômes ayant tous le même degré.
2. Montrer que F admet une base (P1 , . . . , Pn ) pour laquelle la suite (deg(Pi ))1≤i≤n est strictement décroissante.
Exercice 12 – Hadamard
Soient {vi = (x1i , x2i , .., xni ) / 1 ≤ i ≤ p} p éléments de E = Cn avec p ≤ n tels que ∀j ∈ J1, pK; |xjj | >
X
|xjk |.
1≤k≤p
k6=j
Montrer que la famille {v1 , v2 , .., vp } est libre.
Applications linéaires
Exercice 13
Les applications suivantes sont–elles des automorphismes de Kn [X] ?
[1] φ : Kn [X] −→ Kn [X]
P
7−→
P
0
[2] φ : Kn [X] −→ Kn [X]
P
7−→ 2P − (X − 1)P
[3] φ2 : Kn [X] −→ Kn [X]
0
P
7−→ 2P + (X − 1)P 0
Exercice 14
Montrer qu’il existe une unique application linéaire f ∈ L(R2 , R3 ) telle que f (1, 1) = (1, −1, 1) et f (2, 1) = (1, 1, 1).
Déterminer f (x, y) pour tout (x, y) ∈ R2 et calculer le noyau ainsi que l’image de f .
Exercice 15 – Projecteurs
1. On considère l’espace vectoriel des fonctions de R dans R de classe C 2 sur R.
On pose F = {f ∈ E; f (0) = f 0 (0) = 0} et G = {f ∈ E; f + 4f 00 = 0}.
(a) Montrer que F et G sont des sous–espace vectoriel de E et qu’ils sont supplémentaires dans E.
(b) Donner l’expression des deux projecteurs associés à cette décomposition.
2. On considère F et G définis par
F = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 0 et 2x + y − z = 0
et G = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y = 0
Montrer que R3 = F ⊕ G et déterminer l’expression de la projection sur G parallèlement à F .
Exercice 16
Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E). Montrer que f est une homothétie ssi ∀x ∈ E, x et f (x) sont liés.
En déduire que {f ∈ L(E)/ ∀g ∈ L(E) g ◦ f = f ◦ g} = {f ∈ L(E)/f homothétie }.
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Exercice 17
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et p ∈ L(E) un projecteur.
1. Montrer que tr(p) = rg(p). On pourra se placer dans une base bien choisie.
2. Soient p1 et p2 des projecteurs. Montrer que p1 + p2 est un projecteur ssi p1 ◦ p2 = p2 ◦ p1 = 0. Vérifier qu’alors
Im(p1 + p2 ) = Imp1 ⊕ Imp2 et ker(p1 + p2 ) = ker p1 ∩ ker p2 .
Exercice 18 [Mines–Ponts]
Soient E un espace vectoriel de dimension n, f et g dans L(E) tels que : rgf + rgg 6 n et f + g = idE . Montrer que
Imf ⊕ Img = E puis que f et g sont des projecteurs.
Exercice 19
On considère E un K–espace vectoriel et f ∈ L(E).
1. Montrer que ker(f ) ⊂ ker(f 2 ) et que Im(f 2 ) ⊂ Im(f ).
2. Montrer que ker(f ) ∩ Im(f ) = {0E } ⇐⇒ ker(f 2 ) = ker(f ).
3. Montrer que E = ker(f ) + Im(f ) ⇐⇒ Im(f 2 ) = Im(f ).
Exercice 20 – [Mines 2012] Margaux Naepels
Soient E un espace vectoriel de dimension n = 2p et f ∈ L(E).
Montrer que ker f = Imf si, et seulement si f ◦ f = 0 et il existe h ∈ L(E) tel que f ◦ h − h ◦ f = id.
Exercice 21 – Noyaux itérés
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E) pour tout k ∈ N, on note Nk =Ker(f k ) et Jk =Im(f k )
1. Montrer qu’il existe k0 tel que Nk0 +1 = Nk0 et ∀k ≥ k0 Nk = Nk0 et Jk = Jk0 .
2. Montrer que E = Nk0 ⊕ Jk0 .
3. En déduire qu’il existe un unique couple (E1 , E2 ) de sous-espaces vectoriels de E, stables par f , tels que E =
E1 ⊕ E2 et f restreinte à E1 est bijective, et f restreinte à E2 est nilpotente.
Exercice 22
Soient E et F deux K–espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ) et enfin (e1 , . . . , en ) ∈ E n une famille de vecteurs de E.
1. On suppose que la famille (f (e1 ), . . . , f (en )) est libre. Que penser de la famille (e1 , . . . , en ) ?
2. Montrer que la réciproque est fausse.
3. Quelle hypothèse faut–il ajouter pour que la réciproque soit vraie ?
Exercice 23 – Courbes de Bézier
1. Montrer que, pour tout réels a, a0 , b, b0 il existe un unique polyôme P de degré 3 tel que P (0) = a, P 0 (0) = b,
P (1) = b et P 0 (1) = b0 .
2. Déterminer une base de R3 [X], (P0 , P1 , P2 , P3 ) telle que pour tout P ∈ R3 [X] on ait
P = P (0)P0 + P 0 (0)P1 + P (1)P2 + P 0 (1)P3
Exercice 24 [X/ESPCI]
Soient r ∈ R et n ∈ N tel que n > 2.
Montrer qu’il existe un unique polynôme P ∈ Rn−1 [X] tel que : ∀k ∈ J1, nK; P (k) = rk . Exprimer P (n + 1).
Exercice 25 [X/ESPCI]
Soient a ∈ C∗ et f : P ∈ C[X] 7−→ P (X + a) − P (X).
Calculer f n et en déduire, pour p < n, la valeur de Sn,p =
n X
n
k=0
Exercice 26 [Mines–Ponts]
Soit (e1 , e2 ) une base de R2 et Γ = {ae1 + be2 ; (a, b) ∈ Z2 }.
Déterminer les f ∈ L(E) tels que L(Γ) = Γ.
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3
k
(−1)n−k k p .
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Exercice 27 [Mines–Ponts]
Soit E un espace vectoriel et u ∈ L(E) tel que 2u3 + 5u2 − 3u = 0. Si n > 3, exprimer un en fonction de u et u2 .
Exercice 28 – Base duale et antéduale
Soit E un espace de dimension finie n ∈ N∗ . On note E ∗ le dual de E : E ∗ = L(E, K).
1. Soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E. Montrer qu’il existe B ∗ = (f1 , f2 , . . . , fn ) une base de E telle que pour tout
(i, j) ∈ J1, nK2 on a fi (ej ) = δi,j . La base B ∗ est appelé la base duale de B.
On pourra considérer l’application Ψ : f ∈ E ∗ 7−→ (f (e1 ), . . . , f (en )) ∈ Kn
2. Réciproquement, montrer que si C ∗ = (varphi1 , . . . , ϕn ) est une base de E ∗ alors il existe C = (u1 , . . . , un ) base
de E telle que ϕi (uj ) = δi,j . La base C est appelé la base antéduale de C ∗ .
3. Soient a0 , . . . , an des complexes distincts. Montrer que la famille C = (ϕj )0 6 j 6 n définie par ϕj : P ∈
Cn [X] 7−→ P (aj ) est une base de C[X]∗ . Quelle est la base antéduale de C ∗ ? Quelle est la base antéduale de
Exercice 29 [X/ESPCI]
Soient E un R–espace vectoriel de dimension finie, λ1 , λ2 , . . ., λn , µ dans E ∗ .
1. Montrer que µ ∈ VectR (λ1 , . . . ; λn ) ⇐⇒ ker(λ1 ) ∩ · · · ∩ ker(λn ) ⊂ ker µ
2. Montrer que µ ∈ VectR (λ1 , . . . ; λn ) ⇐⇒ ∃k > 0; ∀x ∈ E; |µ(x)| 6 k max |λk (x)|.
16k6p
Exercice 30 [X/ESPCI]
Soient E et F deux espaces de dimension finie et f ∈ L(E, F ). Soit H = {g ∈ L(F, E); f ◦ g ◦ f = 0}.
1. Montrer que si f est un isomorphisme alors H = {0}.
2. Déterminer la dimension de H
Exercice 31 [X/ESPCI]
Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimensions finies, u ∈ L(E, F ) et w ∈ L(E, G). Montrer que ker u ⊂ ker w
si, et seulement si il existe v ∈ L(F, G) tel que w = v ◦ u.
Matrices
Exercice 32
On dit que A ∈ Mn (R) est stochastique si, et seulement si tous les coefficients de A sont positifs ou nuls et si la
somme des coefficients de chaque ligne de A est égale à 1. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques est
une matrice stochastique.
Exercice 33
Soient J ∈ Mn (K) la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1 et M ∈ Mn (K). Si σ(M ) désigne la somme de
tous les coefficients de M . On prend ici n = 3. Montrer que JM J = σ(M )J. Généraliser.
Exercice 34
On reprend les notation de l’exercice précédent. Calculer J 2 , puis montrer que si λ ∈ K alors I + λJ est inversible et
déterminer son inverse.
Exercice 35 [X/ESPCI]
Soient n ∈ N tel que n > 2 et Nk = {A = (ai,j )16i,j6n ∈ Mn (K); ∀i > j − k; ai,j = 0} pour k ∈ J1, nK. On pose
(Nk )2 = { AB; (A, B) ∈ Nk × Nk }.
1. Si k ∈ J1, n − 1K, montrer que (Nk )2 ⊂ Nk+1 ⊂ Nk .
2. Si k ∈ J1, nK, soit Tk = {In + A; A ∈ Nk }. Montrer que Tk ⊂ GLn (K), puis que Tk est stable par passage à
l’inverse et par multiplication.
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Exercice 36
Déterminer le rang et la matrice dans les bases canoniques des applications linéaires suivantes
3
[1]f1 : R2 −→ R

;
x+y
x
7−→  x − y 
y
x + 2y
[2]f2 : R3 −→ R2
;
x
x+y
y  7−→
x+y−z
z
[3]f3 : K3 [X] −→ K4 [X]
[4]ϕ4 : M2 (K) −→ M2 (K) ;
[5]ϕ5 : R3 [X] −→ R2
;
P (1)
P
7−→
P 00 (2)
[6]ϕ6 : C2 [X] −→ C3 [X]
A
7−→
t
A
P
P
;
7−→ X(P 0 − P 0 (0))
;
7−→ XP − X 2 P 0 (1)
Exercice 37
Déterminer le noyau et l’image des applications linéaires f ∈ L(Rp , Rq ) dont la matrice dans les bases canoniques de
Rp et Rq sont données par


1 −1 2
1 −1 2
1 0 2
[1]
[2] −2 2 3
[3]
−2 1 1
−1 1 1
1
1 1
Exercice 38
Soit α ∈ R et u = (1, −1, 1) ∈ R3 .
Écrire les matrices dans la base canonique de R3 des endomorphismes suivants.
1. L’homothétie de rapport α.
2. Le projecteur sur le plan P d’équation x + y + 2z = 0 parallèlement à Vect(u).
3. La symétrie s par rapport à Vect(u) de direction P .
Exercice 39 – Trace d’une matrice
Montrer que l’application τ : Mn (K) −→ L(Mn (K), K)
est un isomorphisme.
A
7−→ (M 7−→ tr(AM ))
Exercice 40 [Centrale]
Soient n > 2 et E = Mn (R).
1. Montrer que ker tr = Vect{AB − BA; (A, B) ∈ E 2 }
2. Déterminer les u ∈ L(E) telles que : ∀(A, B) ∈ E 2 ; u(AB) = u(BA).
3. Déterminer les u ∈ L(E) vérifiant les hypothèses précédentes et tels que ∀A ∈ E; tr(u(A)) = trA.
Exercice 41 [X/ESPCI]
Soit A ∈ Mn (R). Déterminer les X ∈ Mn (R) telles que : X + tX = tr(X)A.
Exercice 42
Déterminer si les matrices suivante sont inversibles, et si elles le





0 0
1 1
1
1
0 1 0 4

..
..
1 1 −1 −1


.
.
 ; [2]  4 2 1 3 ; [3] 
[1] 

1 −1 1 −1
13 2 1 9
 0 a2
1 −1 −1 1
7 2 1 5
a1 0
Exercice 43
Soit u ∈ L(R4 , R3 ) telle que ∀X = (x, y, z, t) ∈ R4 ;
sont, calculer leur inverse.

· · · an

1 1


· · · ; [4] 1 2
···
0
1 4
···
0

1
3 ;
9

1
[5]  z
z2
u(X) = 2x − y + z + 5t −x + 2y + 3z − 4t
z
1
z

z2
z ;
1
x + 5z + 6t
1. Déterminer la matrice de u dans les bases canoniques de R4 et R3 .
2. Montrer que B = ((1, 0, 0, 0); (0, 0, 1, 1); (1, 1, 1, 1); (1, 0, 0, 1)) et C = ((1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)) sont des bases
de R4 et R3 respectivement. Déterminer la matrice de u dans les bases B et C.
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Exercice 44
Pour tout P ∈ R[X] on pose ψ(P ) = (X 2 + 2)P 00 + (X + 1)P 0 + P .
1. Vérifier que ψ définit un endomorphisme de R2 [X].
2. Déterminer la matrice de ψ dans la base canonique de R2 [X].
3. Déterminer ker(ψ − 5idR2 [X] ) et calculer ψ(1) et ψ(X + 1).
4. En déduire une base de R2 [X] dans la quelle la matrice de ψ est diagonale, puis la matrice de ψ ◦n pour tout
n ∈ N∗ .
Exercice 45
Soit A ∈ Mn (K) de rang 1. Comparer A2 et tr(A)A. Calculer (A + In )k pour k ∈ N.
Exercice 46
Soit E = Rn [X] l’espace vectoriel de polynômes réels de degré ≤ n. On considère D = {f ∈ L(E)/ ∀P (X) ∈
E f (P 0 (X)) = f (P )0 (X)}. Déterminer la dimension et une base de D..
Exercice 47
Soit E un K-espace vectoriel de
dimension finie et f ∈ L(E). Montrer qu’il existe g ∈ GL(E) tel que f ◦ g ◦ f = f .
1 −2
Exemple : Soit A =
, déterminer B ∈ GL2 (R) telle que ABA = A.
−1 2
Exercice 48
Soit E un K-espace vectoriel de dimension paire n = 2p et f ∈ L(E). Établir l’équivalence des trois propositions :
1. f 2 = 0 et rg(f ) = p ;
2. Imf =Kerf ;
0
3. il existe une base B de E telle que M at (f ) =
0
B
Ip
.
0
Exercice 49

Soit f ∈ L(R3 ) tel que rgf = 2 et f 3 = 0. Montrer qu’il existe une base B de R3 telle que
0

MatB (f ) = 1
0
0
0
1

0
0
0
Exercice 50
Montrer que les matrices non nulles A ∈ M3 (R) telles que A2 = 0 sont toutes semblables.
Exercice 51 [Centrale 2004]
Soit N le sous-espace de Mn (R) engendré par les matrices nilpotentes.
1. Soient A, B ∈ Mn (R) nilpotentes et telles que AB = BA. Montrer que A + B et AB sont nilpotentes.
2. Pour i 6= j, montrer que Eij et Eii − Ejj appartiennent à N .
3. Montrer que N est l’ensemble des matrices de trace nulle.
Exercice 52 [Centrale 2005]
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 2 et u ∈ L(E).
1. Montrer qu’il existe une base B de E telle que MatB (u) =
0
1
a
. Vérifier que a et b ne dépendent pas du choix
b
d’une telle base.
2. En déduire que, pour tout (x, y) ∈ K2 , la matrice
0
1
x
y
est semblable à la matrice
Exercice 53 [Centrale 2005]
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E).
1. Montrer qu’il existe g ∈ GL(E) et p ∈ L(E) projecteur tels que f = g ◦ p.
1 −1
2. Illustrer avec A =
.
1 −1
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6
0
x
1
y
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Exercice 54 [Centrale 2001]
Soit E un R-espace vectoriel de dimension n et f ∈ L(E) tel que f 2 = −idE .
1. Montrer que, si {x1 , x2 , .., xp , f (x1 ), f (x2 ), .., f (xp−1 )} est une famille libre (p ≥ 1) alors
{x1 , x2 , .., xp , f (x1 ), f (x2 ), .., f (xp )} est également libre.
0 −Ip
2
2. Montrer que toute matrice A ∈ Mn (R) telle que A = −In est semblable à
.
Ip
0
3. Montrer que si n est paire, il existe f ∈ L(E) tel que f 2 = −idE .
Exercice 55 [X/ESPCI]
1. Soit A ∈ Mn (C). À quelle condition existe–t–il (X, Y ) ∈ Mn,1 (C)2 tel que A = X tY ?
2. Soit A ∈ Mn (C) de rang r ∈ N∗ . Montrer qu’il existe (X1 , . . . , Xr , Y1 , . . . , Yr ) ∈ Mn,1 (C)2 tel que
r
X
Xk tYk .
A =
k=1
Exercice 56 – Exemple d’exponentielle de matrice



1 −1 1
1
On considère les matrices A = −1 1 −1, B = −1
1 −1 1
−2
On note E = VectR (A, B).
−1
1
2

−2
2  et I la matrice identité 3 × 3.
4
1. Calculer A2 , B 2 , AB et BA. Vérifier que ces matrices appartiennent à E. E est–il stable par multiplication ?
2. Soit M = aA + bB un élément de E. Calculer M n en fonction de a, A, b, B et n ∈ N.
n
X
Mk
. Montrer que (Sn )n converge vers une limite que l’on notera exp(M ). On
3. On pose maintenant Sn =
k!
k=0
exprimera exp(M ) en fonction de I, A et B.
4. Montrer que si M, N ∈ E alors on a exp(M + N ) = exp(M ) × exp(N ).
Exercice 57 – Commutant d’un endomorphisme Nilpotent
Soit E un espace vectoriel de dimension n > 1. On considère f ∈ L(E) nilpotent c’est–à–dire tel qu’il existe p ∈ N∗ tel
que f p = 0L(E) . On appelle indice de Nilpotence de f le plus petit entier p > 0 tel que f p = 0.
1. Que dire si p = 1 ? On prendra à partir de maintenant p > 1.
2. Soit x ∈ E et k ∈ N tel que f k (x) 6= 0E . Montrer que (x, f (x), . . . , f k (x)) est libre.
En déduire que f n = 0L(E) .
3. Montrer que si f est Nilpotente d’indice p > 1 alors rg(f ) > p − 1.
4. Montrer que pour tout λ 6= 0, f − λidE est bijectif. Déterminer alors (f − λidE )−1 en fonction des puissances de
f.
5. On suppose maintenant que f est nilpotente d’indice n et on se donne x0 tel que f n−1 (x0 ) 6= 0E .
(a) Montrer que la famille (x, f (x), . . . , f n−1 (x)) est une base de E. Donner la matrice de f dans cette base.
Quel est le rang de f ?
(b) Soit g ∈ L(E) tel que g ◦ f = f ◦ g. Montrer que g ∈ Vect(idE , f, f 2 , . . . , f n−1 ). On pourra décomposer g(x0 )
dans une base bien choisie.
Exercice 58 [Centrale]
Soit E un espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ et f ∈ L(E) tel que f n−1 6= 0 et f n = 0. Déterminer le rang de f .
Exercice 59 [X/ESPCI]
Déterminer le sous–espace vectoriel de Mn (C) engendré par les matrices nilpotentes.
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Déterminants
Exercice 60 – Applications numériques
2
1 2 0 −1
1 2 3
0
1 1 1 1 [1] 4 5 6 [2] [3] −1
1
0
0
−1
7 8 9
5
0 1 2 2 −1
0
2
3
3 −4
3 −2
1 2 2 0
1
1
[4] 1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
2
1
[5] 1
1
2
0
2
0
2
0
Exercice 61
On se donne (a, b, c, d) ∈ R4 , (α, β, γ) ∈ R4 . Calculer (sous forme factorisée) les déterminants suivants
0 1 1
a c c b 1
1
1 1
1 1 0 a2
c a b c
1
b
c [3] [4]
[1] a + b c + a b + c [2] a
1 a2 0
c b a c ab
b+c c+a a+b
ca
bc
1 b2 c2
b c c a
−1
1
0
2
1
0 1
0 1
0 1
1 3
0 4
1 b2 c2 0
Exercice 62 – Déterminants tridiagonaux

(0)


..

1
.
∗
. Pour x ∈ C on pose Pn (x) = det(An +xIn ).

1. Pour n ∈ N on considère An la matrice An = 

.
.
.. .. 1 

(0)
1
0
Déterminer une relation de récurrence liant Pn (x) ,Pn+1 (x) et Pn+2 (x) pour n ∈ N∗ et en déduire Pn (x).
2 cos θ 1
2a a
(0) (0) a + b ab
0 .. ..
.. ..
1
a ... ...
.
.
.
.
1
2. Calculer et et .
.
.
.
.
.
.
.
.. ..
.. .. a .
.
ab 1
(0)
0
1 a + b
1 2 cos θ (0)
a 2a 
Exercice 63
Calculer les déterminants n × n suivants
1 1 1 · · · 1
1 1 0 · · · 0
(0)
1 .
1
[1] 1 0 1 · · · .. [2] . . . .
.
. . .. .. .. ..
1
(0)
1 0 0 · · · 1
0
1
..
.
(a1 + b1 )n−1
..
[3] .
(an + b1 )n−1
···
···
n−1 (a1 + bn )
..
.
(an + bn )n−1 1
1
[4] .
..
1
a1
a2
..
.
···
···
an−2
1
an−2
2
..
.
an
···
an−2
n
an1 an2 .. .
an n
Exercice 64
Soit A ∈ Mn (R), on note J la matrice carré d’ordre n dont tous les coefficients valent 1. Pour x ∈ R on pose
P (x) = det(A + xJ).
Montrer que P est une fonction polynômiale de degré 1 puis calculer les déterminants suivants (a 6= b)
0
1
1 · · · 1
x1
b ···
b 1 + a1
1
···
1 −1 0
1
·
·
·
1
.. 1
1 + a2 · · ·
1 a x2 . . .
. [1] −1 −1 0 · · · 1
[2] .
[3]
.
.
.. ..
..
..
..
..
..
..
..
.. ..
.
..
. .
.
.
b
. .
.
.
1
1
·
·
·
1
+
an a ···
−1 −1 −1 · · · 0
a xn Exercice 65
Soient A ∈ M2n (R) antisymétrique et J ∈ M2n (R) la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Établir
∀x ∈ R, det(A + xJ) = det A.
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Feuille d’exercices – Algèbre linéaire
Exercice 66
Soit P ∈ Rn [X] avec do P = n.
Montrer que {P (X), P 0 (X), . . . , P (n) (X)} et {P (X), P (X + 1), . . . , P (X + n)} sont deux bases de Rn [X].
Exercice 67 – Déterminant de Cauchy
1
Calculer ∆n = det(M ) avec M = ai +b
j
avec ∀i, j; ai + bj 6= 0.
16i,j6n
On pourra introduire la fraction rationnelle R =
(b1 −X)(b2 −X)···(bn−1 −X)
(X+a1 )(X+a2 )···(X+an ) ,
que l’on décomposera en éléments simples.
Exercice 68
P (X)
X−λ1
1
n
Q
(X − λi ). Calculer : ∆(X) = Soit λ1 , . . . , λn ∈ C distincts et P (X) =
..
i=1
.
λn−2
1
P (X)
X−λ2
1
..
.
λn−2
2
···
···
P (X)
X−λn
···
λn−2
n
1
..
.
Exercice 69 – Déterminants circulants




a b c
1 1 1
On se donne (a, b, c) ∈ C3 et on considère M =  c a b  ainsi que J = 1 j j 2 .
b c a
1 j2 j
Montrer que
En déduire la valeur de det(M ). 
 det(J) 6= 0 puis calculer
 le produit M J. 
a1 a2 a3 .. an
1
1
1
..
1
an a1 a2 . .
 ξn1
..
ξnn 
ξn3
ξn2
.̇ 




2iπ
.

 2
ξn4
ξn6
..
ξn2n 
Soit A = 
 avec ξ = exp( n ).
 .̇ a. n a. 1 . . a3  ∈ Mn (C) et U =  ξn

 a3


.̇
.̇
.̇
.̇
.̇
.
.
. a2
ξnn−1 ξn2n−2 ξn3n−3 .. ξnnn−n
a2 a3 .. an a1


0
..
0
P (ξn1 )
n
X
 0
.̇ 
P (ξn2 ) . .
. En déduire le déterminant de A.
On note P (X) =
ak X k−1 . Montrer que AU = U 
.
.
 .̇
.
.
0 
k=1
0
..
0 P (ξnn )
Exercice 70

1
0
En introduisant la matrice P = 
0
0
3
2
0
0
0
4
3
0

1
0

1
0
,
calculer
le
déterminant
1

5
1
4
2a + 3
2b + 3
2c + 3
2d + 3
3a2 + 4a
3b2 + 4b
3c2 + 4c
3d2 + 4d
4a3 + 5a2 4b3 + 5b2 4c3 + 5c2 4d3 + 5d2 Exercice 71
Soient A, B, C et D desmatrices
carrées de taille n × n telles que CD = DC et D inversible.
A B
Montrer que l’on a det
= det(AD − BC).
C D
Exercice 72
Calculer le déterminant des endomorphismes ϕ ∈ L(E) dans les cas suivants
[1]E = Kn [X]; ϕ : P 7→ P (X + a) − P (X)
[2]E = Kn [X]; ϕ : P 7→ P (X + a)
[3]E = Mn (K); ϕ : M 7→ tM
Exercice 73
Soient A ∈ Mn (C) et ϕA ∈ L(Mn (C)) déterminé par ϕA (M ) = AM . Calculer la trace et le déterminant de ϕA
Exercice 74
Soit E un R–espace vectoriel de dimension impaire.
Montrer qu’il n’existe aucun endomorphisme f ∈ L(E) tel que f 2 = −idE . Qu’en est–il si E est de dimension paire ?
Exercice 75
On dit qu’une matrice A ∈ Mn (R) est élément de GLn (Z) si la matrice A est à coefficients entiers, qu’elle est inversible
et que son inverse est à coefficients entiers.
1. Montrer que si A ∈ GLn (Z) alors |det A| = 1.
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Feuille d’exercices – Algèbre linéaire
2. Soient A, B ∈ Mn (R) vérifiant : ∀k ∈ {0, 1, . . . , 2n} , A + kB ∈ GLn (Z). Calculer det A et det B.
Exercice 76
Calculer det A avec A ∈ Mn (R) dans chacun des cas :
[1]∀i
aii = a et ai,n−i = b [2]∀i, j
aij =| i − j | [3]∀i, j
aij = 1 + · · · + min(i, j)
[4]∀i, j
ai,j = (−1)min(i,j)
Exercice 77
Soit P ∈ GLn (C) une matrice inversible et ΦP : M ∈ Mn (C) −→ P M P −1 ∈ Mn (C). Calculer det(ΦP ) et tr(ΦP ).
Exercice 78
2
Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (R) telle que ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n} , ai,j > 0 et ∀i ∈ {1, . . . , n} ,
n
X
ai,j 6 1. Montrer |det A| 6 1.
j=1
Exercice 79
Soit C ∈ Mn (R). Montrer que (∀Y ∈ Mn (R)
det(C + Y ) = det(Y )) =⇒ C = 0
Exercice 80
Soient a1 , . . . , an ∈ C? deux à deux distincts.
On pose

0
a2


P (x) = det(A + xIn ) avec A = 


a1
..
.
0
..
.
···
a1
...
..
.
..
.
an−1

an
.. 
. 


an 
0
1. Calculer P (ai ).
2. Justifier que P est un polynôme unitaire de degré n.
3. Former la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle Q
n
P (X)
(X − ai )
i=1
4. En déduire le déterminant de A + In .
Exercice 81 [X/ESPCI]
Soient A et B dans Mn (R) semblables dans Mn (C). Les matrices A et B sont–elles semblables dans Mn (R) ?
Exercice 82
Soient A, B ∈ Mn (R) telles que AB = BA. Montrer que det(A2 + B 2 ) > 0.
Exercice 83
Soit A ∈ Mn (K) de colonnes C1 , . . . , Cn .
Calculer le déterminant de la matrice B de colonnes C1 − C2 , . . . , Cn−1 − Cn , Cn − C1 .
Exercice 84 – Matrice compagnon

0
 ..

Soit (a0 , . . . , an−1 ) ∈ Kn . Calculer le déterminant det(A − xIn ) avec A =  .
 0
a0
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10
1
..
.
···
a1
0
..
.
0
···
1
an−1



.
