Feuille d`exercices – Alg`ebre linéaire

PC?2014–2015 – Lyc´ ee Louis Thuillier Feuille d’exercices – Alg` ebre lin´ eaire
Feuille d’exercices – Alg` ebre lin´ eaire
Calculs
Exercice 1
R´esoudre les syst`emes lin´eaires suivants :
[1] 
2x1−x2−x3= 4
3x1+ 4x2−2x3= 11
3x1−2x2+ 4x3= 11
2x1+ 5x2−7x3= 4
[2] 
x−y=−4
x−y+z= 1
4x+ 5y+ 2z= 3
−x+z= 4
[3] 
2x+λy −z= 5
(λ−5)x+y+z= 7
x+ 3y+ 2z= 4
[4] 
x+ay +a2z=a3
x+by +b2z=b3
x+cy +c2z=c3
Espaces vectoriels
Exercice 2
Montrer les r´esultats suivants
[1]K1[X] = Vect(X−1, X + 1) [2]K2[X] = Vect (X−1)2,(X−1)(X+ 2),(X+ 2)2
[3]K3=Vect ((1,0,1),(1,1,0),(2,1,1),(1,1,1)) [4]Vect ((1,2,3),(5,2,−1)) = Vect ((6,4,2),(−4,0,5))
Exercice 3 – Suppl´ementaires en dimension finie
1. Montrer que (x, y, z)∈R3;x−y= 0et (x, y, z)∈R3;x+z=−y+ 2z= 0sont suppl´ementaires dans R3.
2. Montrer que K1[X] et Vect(X2+ 2X+ 1) sont suppl´ementaires dans K2[X].
3. On consid`ere F=(x, y, z)∈R3;x+y+z= 0et u= (1,0,1). Montrer que F⊕VectR(u) = R3.
4. On note El’ensemble des polynˆomes divisibles par (X−1)(X−2).
Montrer que Eest un sous–espace vectoriel de R3[X] et montrer que R1[X] est un suppl´ementaire de Edans
R3[X]. D´eterminer les projections associ´ees de P∈R3[X] en fonction de P(1) et P(2).
Exercice 4
On note f1= (1,1,1), f2= (0,−1,2) et f3= (2,3,0) trois vecteurs de R3.
1. Montrer que (f1, f2, f3) est li´ee. D´eterminer le rang de (f1, f2, f3).
2. On note G=(x, y, z)∈R3;t.q. 3x−2y−z= 0 . Montrer que Gest un sous–espace vectoriel de R3.
Quelle est sa dimension ? Montrer que F=G.
3. D´eterminer un suppl´ementaire de Gdans R3.
Exercice 5
Soient Eun espace vectoriel de dimension 2net F1,F2deux sous–espaces de dimension ntels que E=F1⊕F2.
Montrer que l’on peut trouver un suppl´ementaire commun `a F1et F2dans E.
Exercice 6
Soient E1=Vect{x→cos(nx)/ n ∈N}et E2=Vect{x→sin(nx)/ n ∈N}sous espaces-vectoriels de C(R,C).
1. Montrer que E1⊕E2=VectC{x→einx/n ∈Z}.
2. Soit F=VectC{x→einx/n ∈N}, a–t–on F= (FTE1)⊕(FTE2) ?
3. Montrer que E1=VectC{x→cosnx/n ∈N}. Comparer E2et VectC{x→sinnx/n ∈N}.
Exercice 7
Soient Het H0deux hyperplans distincts de Ede dimension finie. D´eterminer dim(H∩H0).
Exercice 8
Soient Eun K–espace vectoriel de dimension finie et Fet Gdeux sous–espace vectoriel de Etels que dim F+ dim G >
dim E. Montrer que Fet Gont au moins un vecteurs non nul en commun.
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Exercice 9
Donner une base de chacun des espaces vectoriels suivants
[5]Vect 
1
2
1
, −2
1
1
, −1
3
2
, −3
−1
0
; [6] (x, y, z)∈R3t.q. x−3y+ 2z= 0 et y+z= 0;
[7] {P∈K4[X]; P(0) = P(1) = P(2) = P(3)}; [8]Vect 2X4+ 3X+ 1 ,8X2−4X , 2X4+ 2X3,4X3+ 2X2;
[9]{f∈ C∞;f00 −2f0+f= 0}; [10]{(un)n∈CN;∀n∈N;un+2 −2un+ 2 = 0};
Et enfin Vect (f1, f2, f3, f4)⊂R]−1,1[ avec xf1 7→ r1−x
1 + x;xf2
7→ r1 + x
1−x;xf3
7→ 1
√1−x2;xf4
7→ x
√1−x2.
Exercice 10
1. Dans R3on consid`ere les vecteurs u= (1,1,1), v= (1,−1,1), w= (1,1,−1) et x= (1,2,3).
Montrer que (u, v, w) forme une base de R3. Donner les coordonn´ees du vecteur xdans cette base.
2. Montrer que B=(X−1)2, X2,(X+ 1)2est une base de K2[X] et donner les coordonn´ees de X2+ 1 dans B.
Exercice 11
Soit Fun sous-espace vectoriel de C[X] de dimension finie n≥1.
1. Montrer que Fadmet une base constitu´ee de polynˆomes ayant tous le mˆeme degr´e.
2. Montrer que Fadmet une base (P1, . . . , Pn) pour laquelle la suite (deg(Pi))1≤i≤nest strictement d´ecroissante.
Exercice 12 – Hadamard
Soient {vi= (x1i, x2i, .., xni)/1≤i≤p}p´el´ements de E=Cnavec p≤ntels que ∀j∈J1, pK;|xjj |>X
1≤k≤p
k6=j
|xjk|.
Montrer que la famille {v1, v2, .., vp}est libre.
Applications lin´eaires
Exercice 13
Les applications suivantes sont–elles des automorphismes de Kn[X] ?
[1] φ:Kn[X]−→ Kn[X]
P7−→ P0
[2] φ:Kn[X]−→ Kn[X]
P7−→ 2P−(X−1)P0
[3] φ2:Kn[X]−→ Kn[X]
P7−→ 2P+ (X−1)P0
Exercice 14
Montrer qu’il existe une unique application lin´eaire f∈ L(R2,R3) telle que f(1,1) = (1,−1,1) et f(2,1) = (1,1,1).
D´eterminer f(x, y) pour tout (x, y)∈R2et calculer le noyau ainsi que l’image de f.
Exercice 15 – Projecteurs
1. On consid`ere l’espace vectoriel des fonctions de Rdans Rde classe C2sur R.
On pose F={f∈E;f(0) = f0(0) = 0}et G={f∈E;f+ 4f00 = 0}.
(a) Montrer que Fet Gsont des sous–espace vectoriel de Eet qu’ils sont suppl´ementaires dans E.
(b) Donner l’expression des deux projecteurs associ´es `a cette d´ecomposition.
2. On consid`ere Fet Gd´efinis par
F=(x, y, z)∈R3;x+y+z= 0 et 2x+y−z= 0et G=(x, y, z)∈R3;x+y= 0
Montrer que R3=F⊕Get d´eterminer l’expression de la projection sur Gparall`element `a F.
Exercice 16
Soient Eun K-espace vectoriel et f∈ L(E). Montrer que fest une homoth´etie ssi ∀x∈E,xet f(x) sont li´es.
En d´eduire que {f∈ L(E)/∀g∈ L(E)g◦f=f◦g}={f∈ L(E)/f homoth´etie }.
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Exercice 17
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie et p∈ L(E) un projecteur.
1. Montrer que tr(p) = rg(p). On pourra se placer dans une base bien choisie.
2. Soient p1et p2des projecteurs. Montrer que p1+p2est un projecteur ssi p1◦p2=p2◦p1= 0. V´erifier qu’alors
Im(p1+p2) = Imp1⊕Imp2et ker(p1+p2) = ker p1∩ker p2.
Exercice 18 [Mines–Ponts]
Soient Eun espace vectoriel de dimension n,fet gdans L(E) tels que : rgf+rgg6net f+g=idE. Montrer que
Imf⊕Img=Epuis que fet gsont des projecteurs.
Exercice 19
On consid`ere Eun K–espace vectoriel et f∈ L(E).
1. Montrer que ker(f)⊂ker(f2) et que Im(f2)⊂Im(f).
2. Montrer que ker(f)∩Im(f) = {0E} ⇐⇒ ker(f2) = ker(f).
3. Montrer que E= ker(f) + Im(f)⇐⇒ Im(f2) = Im(f).
Exercice 20 – [Mines 2012] Margaux Naepels
Soient Eun espace vectoriel de dimension n= 2pet f∈ L(E).
Montrer que ker f= Imfsi, et seulement si f◦f= 0 et il existe h∈ L(E) tel que f◦h−h◦f=id.
Exercice 21 – Noyaux it´er´es
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie et f∈L(E) pour tout k∈N, on note Nk=Ker(fk) et Jk=Im(fk)
1. Montrer qu’il existe k0tel que Nk0+1 =Nk0et ∀k≥k0Nk=Nk0et Jk=Jk0.
2. Montrer que E=Nk0⊕Jk0.
3. En d´eduire qu’il existe un unique couple (E1, E2) de sous-espaces vectoriels de E, stables par f, tels que E=
E1⊕E2et frestreinte `a E1est bijective, et frestreinte `a E2est nilpotente.
Exercice 22
Soient Eet Fdeux K–espaces vectoriels et f∈ L(E, F ) et enfin (e1, . . . , en)∈Enune famille de vecteurs de E.
1. On suppose que la famille (f(e1), . . . , f(en)) est libre. Que penser de la famille (e1, . . . , en) ?
2. Montrer que la r´eciproque est fausse.
3. Quelle hypoth`ese faut–il ajouter pour que la r´eciproque soit vraie ?
Exercice 23 – Courbes de B´ezier
1. Montrer que, pour tout r´eels a,a0,b,b0il existe un unique polyˆome Pde degr´e 3 tel que P(0) = a,P0(0) = b,
P(1) = bet P0(1) = b0.
2. D´eterminer une base de R3[X], (P0, P1, P2, P3) telle que pour tout P∈R3[X] on ait
P=P(0)P0+P0(0)P1+P(1)P2+P0(1)P3
Exercice 24 [X/ESPCI]
Soient r∈Ret n∈Ntel que n>2.
Montrer qu’il existe un unique polynˆome P∈Rn−1[X] tel que : ∀k∈J1, nK;P(k) = rk. Exprimer P(n+ 1).
Exercice 25 [X/ESPCI]
Soient a∈C∗et f:P∈C[X]7−→ P(X+a)−P(X).
Calculer fnet en d´eduire, pour p<n, la valeur de Sn,p =
n
X
k=0 n
k(−1)n−kkp.
Exercice 26 [Mines–Ponts]
Soit (e1, e2) une base de R2et Γ = {ae1+be2; (a, b)∈Z2}.
D´eterminer les f∈ L(E) tels que L(Γ) = Γ.
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Exercice 27 [Mines–Ponts]
Soit Eun espace vectoriel et u∈ L(E) tel que 2u3+ 5u2−3u= 0. Si n>3, exprimer unen fonction de uet u2.
Exercice 28 – Base duale et ant´eduale
Soit Eun espace de dimension finie n∈N∗. On note E∗le dual de E:E∗=L(E, K).
1. Soit B= (e1, . . . , en) une base de E. Montrer qu’il existe B∗= (f1, f2, . . . , fn) une base de Etelle que pour tout
(i, j)∈J1, nK2on a fi(ej) = δi,j . La base B∗est appel´e la base duale de B.
On pourra consid´erer l’application Ψ : f∈E∗7−→ (f(e1), . . . , f (en)) ∈Kn
2. R´eciproquement, montrer que si C∗= (varphi1, . . . , ϕn) est une base de E∗alors il existe C= (u1, . . . , un) base
de Etelle que ϕi(uj) = δi,j . La base Cest appel´e la base ant´eduale de C∗.
3. Soient a0, . . . , andes complexes distincts. Montrer que la famille C= (ϕj)06j6nd´efinie par ϕj:P∈
Cn[X]7−→ P(aj) est une base de C[X]∗. Quelle est la base ant´eduale de C∗? Quelle est la base ant´eduale de
Exercice 29 [X/ESPCI]
Soient Eun R–espace vectoriel de dimension finie, λ1,λ2, . . ., λn,µdans E∗.
1. Montrer que µ∈VectR(λ1, . . . ;λn)⇐⇒ ker(λ1)∩ ··· ∩ ker(λn)⊂ker µ
2. Montrer que µ∈VectR(λ1, . . . ;λn)⇐⇒ ∃k > 0; ∀x∈E;|µ(x)|6kmax
16k6p|λk(x)|.
Exercice 30 [X/ESPCI]
Soient Eet Fdeux espaces de dimension finie et f∈ L(E, F ). Soit H={g∈ L(F, E); f◦g◦f= 0}.
1. Montrer que si fest un isomorphisme alors H={0}.
2. D´eterminer la dimension de H
Exercice 31 [X/ESPCI]
Soient E,Fet Gtrois espaces vectoriels de dimensions finies, u∈ L(E, F ) et w∈ L(E, G). Montrer que ker u⊂ker w
si, et seulement si il existe v∈ L(F, G) tel que w=v◦u.
Matrices
Exercice 32
On dit que A∈ Mn(R) est stochastique si, et seulement si tous les coefficients de Asont positifs ou nuls et si la
somme des coefficients de chaque ligne de Aest ´egale `a 1. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques est
une matrice stochastique.
Exercice 33
Soient J∈ Mn(K) la matrice dont tous les coefficients sont ´egaux `a 1 et M∈ Mn(K). Si σ(M) d´esigne la somme de
tous les coefficients de M. On prend ici n= 3. Montrer que JMJ =σ(M)J. G´en´eraliser.
Exercice 34
On reprend les notation de l’exercice pr´ec´edent. Calculer J2, puis montrer que si λ∈Kalors I+λJ est inversible et
d´eterminer son inverse.
Exercice 35 [X/ESPCI]
Soient n∈Ntel que n>2 et Nk={A= (ai,j )16i,j6n∈ Mn(K); ∀i>j−k;ai,j = 0}pour k∈J1, nK. On pose
(Nk)2={AB; (A, B)∈ Nk× Nk}.
1. Si k∈J1, n −1K, montrer que (Nk)2⊂ Nk+1 ⊂ Nk.
2. Si k∈J1, nK, soit Tk={In+A;A∈ Nk}. Montrer que Tk⊂GLn(K), puis que Tkest stable par passage `a
l’inverse et par multiplication.
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Exercice 36
D´eterminer le rang et la matrice dans les bases canoniques des applications lin´eaires suivantes
[1]f1:R2−→ R3
x
y7−→ 
x+y
x−y
x+ 2y
; [2]f2:R3−→ R2
x
y
z
7−→ x+y
x+y−z
; [3]f3:K3[X]−→ K4[X]
P7−→ X(P0−P0(0))
;
[4]ϕ4:M2(K)−→ M2(K)
A7−→ t A
; [5]ϕ5:R3[X]−→ R2
P7−→ P(1)
P00(2)
; [6]ϕ6:C2[X]−→ C3[X]
P7−→ XP −X2P0(1)
;
Exercice 37
D´eterminer le noyau et l’image des applications lin´eaires f∈ L(Rp,Rq) dont la matrice dans les bases canoniques de
Rpet Rqsont donn´ees par
[1] 1−1 2
−211[2] 
1−1 2
−223
1 1 1
[3] 1 0 2
−111
Exercice 38
Soit α∈Ret u= (1,−1,1) ∈R3.
´
Ecrire les matrices dans la base canonique de R3des endomorphismes suivants.
1. L’homoth´etie de rapport α.
2. Le projecteur sur le plan Pd’´equation x+y+ 2z= 0 parall`element `a Vect(u).
3. La sym´etrie spar rapport `a Vect(u) de direction P.
Exercice 39 – Trace d’une matrice
Montrer que l’application τ:Mn(K)−→ L(Mn(K),K)
A7−→ (M7−→ tr(AM))
est un isomorphisme.
Exercice 40 [Centrale]
Soient n>2 et E=Mn(R).
1. Montrer que ker tr =Vect{AB −BA; (A, B)∈E2}
2. D´eterminer les u∈ L(E) telles que : ∀(A, B)∈E2;u(AB) = u(BA).
3. D´eterminer les u∈ L(E) v´erifiant les hypoth`eses pr´ec´edentes et tels que ∀A∈E;tr(u(A)) = trA.
Exercice 41 [X/ESPCI]
Soit A∈ Mn(R). D´eterminer les X∈ Mn(R) telles que : X+t X=tr(X)A.
Exercice 42
D´eterminer si les matrices suivante sont inversibles, et si elles le sont, calculer leur inverse.
[1] 
1 1 1 1
1 1 −1−1
1−1 1 −1
1−1−1 1
; [2] 
0 1 0 4
4 2 1 3
13219
7 2 1 5
; [3] 
0 0 ··· an
.
.
..
.
.···
0a2··· 0
a10··· 0
; [4] 
111
123
149
; [5] 
1z z2
z1z
z2z1
;
Exercice 43
Soit u∈ L(R4,R3) telle que ∀X= (x, y, z, t)∈R4;u(X) = 2x−y+z+ 5t−x+ 2y+ 3z−4t x + 5z+ 6t
1. D´eterminer la matrice de udans les bases canoniques de R4et R3.
2. Montrer que B= ((1,0,0,0); (0,0,1,1); (1,1,1,1); (1,0,0,1)) et C= ((1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)) sont des bases
de R4et R3respectivement. D´eterminer la matrice de udans les bases Bet C.
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