Activité en PDD et en groupe.

SCHÉMA DE BERNOULLI – LOI BINOMIALE – 1ÈRE S PARTIE 1 : SCHÉMA DE BERNOULLI Étape 1 : Définition : une expérience de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire admettant exactement deux issues : L’une appelée succès, noté S, de probabilité p ; L’autre appelée échec, noté E. Exemple : On lance un dé équilibré à 10 faces. On définit comme succès : « on obtient 10 ». 1. Quelle est la probabilité du succès ? 2. Quel événement décrit l’échec et quelle est sa probabilité ? 3. Remplir l’arbre ci-­‐contre. Étape 2 : répétition de 2 expériences identiques et indépendantes Issues On lance le dé précédent 2 fois de suite de manière indépendante (c’est-­‐à-­‐
dire que l’issue du premier lancer n’influence pas l’issue du second SS lancer). On notera : SS l’événement « le 1er tirage est un succès, le 2nd tirage est un SE succès » et p SS sa probabilité ; !
ES SE l’événement « le 1er tirage est un succès, le 2nd tirage est un EE échec » et p SE sa probabilité ; !
Ainsi de suite… 1. Remplir l’arbre ci-­‐contre avec les probabilités: 2. Calculer p SS , p SE , p ES et p EE . !
!
!
!
Étape 3 : répétition de 4 expériences identiques et indépendantes On lance le dé précédent 4 fois de suite de manière indépendante. On donne l’arbre ci-­‐dessous. 1. Compléter la colonne des issues possibles. ISSUE : SSSS S S SSSE E S S SSES E ………
E S … ………
S S … E ………
E … S ………
E … E ………
… S ………
S … E ………
S … S ………
E … E ………
E … S ………
S … E ………
E … S ………
E … E ………
2. a. Calculer p SSSS . … !
( )
( )
( ) ( ) ( )
(
)
( )
(
) (
) (
)
(
)
b. Calculer p SSSE , p SSES , p SESS et p ESSS . Que remarque-­‐t-­‐on ? !
!
!
!
c. Parmi les quatre propositions suivantes, laquelle permet de calculer les probabilités de la question 2b. ? ( )( )
1
3
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
C. 0,1 × 0,9 !
2
2
3
1
A. 0,1 0,9 B. 0,1 × 0,9 C. 0,1 × 0,9 D. !3× 0,1× 0,9 !
!
!
3. Parmi les quatre propositions suivantes, laquelle permet de calculer la probabilité d’un chemin contenant exactement un seul succès ? ( ) (0,9) A. 0,1
!
1
3
2
( ) ( )
2
3
B. 0,1 × 0,9 !
1
D. !3× 0,1× 0,9 Étape 4 : Répétition de n expériences identiques et indépendantes (n entier naturel non nul) 1. On lance le dé 10 fois de suite de manière indépendante. a. Parmi les quatre propositions suivantes, laquelle permet de calculer p SSSEESSESS : !
(
( ) ( )
7
)
( ) ( )
3
3
7
A. 0,1 × 0,9 B. !7 × 0,1× 3× 0,9 C. !3× 0,1× 7 × 0,9 D. 0,1 × 0,9 !
!
b. Justifier que la probabilité d’un chemin contenant exactement 2 succès est égale à 0,0043, arrondie à !10−4 . 2. On lance le dé n fois de suite de manière indépendante (n entier non nul). Soit k un entier tel que k ≤ n . Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle permet de calculer la probabilité d’un chemin contenant k succès sur les n expériences : ( ) ( )
k
(
n−k
)
(
( )
)
n−k
( )
k
A. 0,1 × 0,9 B. 0,1n × 0,9 n − k C. 0,9n × 0,1 n − k D. 0,1
× 0,9 . !
!
!
3. Cas général : on réalise une expérience de Bernoulli de succès S de probabilité p. a. Exprimer la probabilité de l’échec en fonction de p. b. On répète cette expérience n fois de manière indépendante. Alors la probabilité d’un chemin dans l’arbre contenant exactement k succès est donnée par la formule : (
A. pk 1 − p
)
n−k
(
)
k
B. pn−k 1− p !
(
)
k
(
)
n
C. pn 1− p D. pk 1− p !
!
SYNTHÈSE : Une expérience de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire admettant exactement deux issues : L’une appelée succès, noté S, de probabilité p ; L’autre appelée échec, noté E. Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est obtenu lorsque l’on répète n fois la même expérience de Bernoulli de manière indépendante. Alors, la probabilité d’un chemin dans l’arbre contenant k succès parmi n expériences est donnée par la formule : Nombre de succès Nombre d’échecs ............
......
......
Probabilité du succès (............)
Probabilité de l’échec SCHÉMA DE BERNOULLI – LOI BINOMIALE – 1ÈRE S PARTIE 2 : LOI BINOMIALE On lance un dé équilibré à 10 faces, 4 fois de suite de manière indépendante. On reprendra l’arbre de de l’étape 3 de la partie 1. 1. a. Citer tous les chemins dans l’arbre contenant exactement 3 succès et donner leurs probabilités. b. Parmi les expressions suivantes, laquelle permet de calculer la probabilité totale d’obtenir exactement 3 succès ? ( ) ( )
4
( ) ( )
6
( ) ( )
4
( ) ( )
( ) ( )
4
( ) ( )
( ) ( )
3
1
1
3
3
1
1
3
A. ⎡ 0,1 × 0,9 ⎤ B. ⎡ 0,1 × 0,9 ⎤ C. 4 × 0,1 × 0,9 D. 4 × 0,1 × 0,9 ⎢
⎥⎦
⎢
⎥⎦
!
!
!⎣
!⎣
2. a. Combien de chemins dans l’arbre contiennent exactement 2 succès ? Citer ces chemins et calculer leurs probabilités. b. Parmi les expressions suivantes, laquelle permet de calculer la probabilité totale d’obtenir exactement 2 succès ? ( ) ( )
a. On note X le nombre de succès obtenus parmi les 4 lancers et p( X = k ) la probabilité !
2
2
2
2
2
2
1
3
A. ⎡⎢ 0,1 × 0,9 ⎤⎥ B. ⎡⎢ 0,1 × 0,9 ⎤⎥ C. 6 × 0,1 × 0,9 D. 6 × 0,1 × 0,9 !
⎣
⎦
⎣
⎦
3.
d’obtenir k succès sur 4 lancers. Compléter alors le tableau suivant : Nombre k de succès 4 3 2 Nombre d’échecs Probabilité d’un chemin contenant k succès Nombre d’issues dans l’arbre (
)
p X = k !
(0,1) × (0,9) !
3
1
1 0 4 × 0,1 × 0,9 !
( ) ( )
3
1
c. Quel contrôle peut-­‐on faire dans la dernière ligne du tableau ? Effectuer ce contrôle. 4. On lance le dé 10 fois de suite de manière indépendante. On note X le nombre de succès à l’issue de l’expérience. ⎛ 10⎞
On note ⎜ ⎟ le nombre d’issues (ou chemins dans l’arbre) qui contiennent exactement 3 !⎝ 3 ⎠
succès parmi 10. On obtient ce calcul à la calculatrice de la manière suivante : ⎛ 10⎞
a. Vérifier que ⎜ ⎟ = 120 . !⎝ 3 ⎠
b. Que vaut alors p X = 6 , la probabilité d’obtenir 6 succès parmi les 10 lancers ? !
(
)
5. Généralisation Propriété : Dans un schéma de Bernoulli, la variable aléatoire X qui donne le nombre de succès parmi n expériences a pour loi de probabilité : Nombre de Nombre de succès Nombre chemins ⎛ n⎞ k
p X = k = ⎜ ⎟ p 1− p
⎝ k⎠
!
(
)
(
)
d’échecs n−k
Probabilité Probabilité de l’échec du succès Définition : X suit ici la loi binomiale de paramètres n et p. On note X ∼> !Β n;p !
Application : On lance un dé équilibré à 6 faces 5 fois de suite de manière indépendante. Soit X le nombre de 6 obtenus parmi les 5 lancers. 1. a. Quelle est l’expérience de Bernoulli répétée 5 fois ? b. Quel issue donne le succès de l’expérience ? l’échec ? c. Quelles sont les valeurs exactes de n et p ? 2. Compléter alors le tableau suivant à l’aide de la formule et de la calculatrice (on arrondira les résultats à 10−4 : k 0 1 2 3 4 5 p X = k !
( )
(
)
SCHÉMA DE BERNOULLI – LOI BINOMIALE – 1ÈRE S PARTIE 1 : SCHÉMA DE BERNOULLI Définition : une expérience de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire admettant exactement deux issues : L’une appelée succès, noté S, de probabilité p ; L’autre appelée échec, noté E. Définition : Deux expériences aléatoires sont indépendantes si l’issue de la première n’influence pas les probabilités des issues de la seconde. Définition : On appelle schéma de Bernoulli la répétition de n expériences de Bernoulli identiques et indépendantes dont le succès S est de probabilité p. Soit X la variable aléatoire qui à chaque issue d’un schéma de Bernoulli associe le nombre de succès obtenus. Exemple 1 : on lance un dé équilibré à 6 faces et on appelle succès S l’événement « on obtient 6 ». On répète l’expérience 4 fois de suite de manière indépendante. 1. Quelle est la probabilité p de S ? 2. Quel événement correspond à l’échec E de chaque lancer ? Quelle est sa probabilité ? 3. Tracer un arbre de probabilité représentant les 4 lancers successifs et compléter les probabilités sur les branches. On note SSSS l’événement « on obtient 4 succès aux 4 lancers » ; On note SSSE l’événement « on obtient 3 succès aux 3 premiers lancers et un échec au 4e lancer » ; Et ainsi de suite… 4. a. À l’aide de l’arbre, déterminer tous les événements contenant exactement 3 succès et calculer leurs probabilités. Que constate-­‐t-­‐on ? 5
b. En déduire que la probabilité d’obtenir exactement 3 succès est égale à 4 × 4 . 6
(
)
5. On note X le nombre de succès parmi les 4 lancers et p X = k la probabilité d’obtenir k succès !
sur 4 lancers. Compléter le tableau ci-­‐dessous de manière identique à la colonne déjà remplie : k 4 Nombre d’échecs Nombre d’issues dans l’arbre Probabilité de chaque issue (
)
p X = k !
3 1 4 5
4
!6
5
4 × 4 6
2 1 0 Exemple 2 : On lance le dé 10 fois de suite de manière indépendante. On note X la variable aléatoire qui à chaque issue associe le nombre de succès parmi les 10 lancers. 1. Calculer la probabilité de !SSSSSSSSSS . 2. a. Calculer la probabilité de SSSSSSEEEE . b. La probabilité change-­‐t-­‐elle si on change l’ordre des 4 échecs dans l’événement précédent ? 3
7
⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞
3. Quels sont les événements dont la probabilité est donnée par le calcul ⎜ ⎟ × ⎜ ⎟ ? ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠
!
⎛ 10⎞
On note ⎜ ⎟ le nombre d’issues (ou chemins dans l’arbre) qui contiennent exactement !⎝ 6 ⎠
6 succès parmi 10. ⎛ 10⎞
a. Vérifier que ⎜ ⎟ = 210 . ⎝ 6⎠
(
)
b. Que vaut alors p X = 6 , la probabilité d’obtenir 6 succès parmi les 10 lancers (on !
−3
arrondira à !10 près) ? Cas général : On répète n fois de manière indépendante une expérience de Bernoulli de probabilité de succès p. Soit X le nombre de succès possibles parmi les n expériences. 1. Exprimer la probabilité de l’échec en fonction de p. 2. Soit k un entier naturel tel que k ≤ n. a. Compléter alors la propriété suivante avec les expressions n, k, p, !n − k et !1− p : Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est obtenu lorsque l’on répète n fois la même expérience de Bernoulli de probabilité de succès p, de manière indépendante. Alors, la probabilité d’un chemin dans l’arbre contenant k succès parmi n expériences est donnée par la formule : Nombre de succès Nombre d’échecs ............
......
......
Probabilité du succès (............)
Probabilité de l’échec ⎛ n⎞
b. On note ⎜ ⎟ le nombre d’issues (ou chemins dans l’arbre) contenant k succès parmi n. !⎝ k ⎠
Compléter alors la probabilité d’obtenir k succès parmi n dans un schéma de Bernoulli, donnée par : ⎛ ......⎞ ......
p X = k = ⎜ ⎟ ....... ...............
⎝ ......⎠
!
(
)
(
)
............
( )
Définition : on dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p. On note X ∼> !Β n;p !
Application : On lance un dé équilibré à 6 faces 5 fois de suite de manière indépendante. Soit X le nombre de multiples de 3 obtenus parmi les 5 lancers. 1. a. Quelle est l’expérience de Bernoulli répétée 5 fois ? b. Quel issue donne le succès de l’expérience ? l’échec ? c. Quelles sont les valeurs exactes de n et p ? 2. Compléter alors le tableau suivant à l’aide de la formule et de la calculatrice (on arrondira les résultats à 10−4 : k 0 1 2 3 4 5 p X = k !
(
)