Loi de la quantité de mouvement

Exercices du chapitre M 2
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Loi de la quantité de mouvement
Exercice 1 : Ascenseur
[♦♦]
Un ascenseur dont la cabine pèse 1300 kg monte du rez-de-chaussée au premier étage.
1 - Il démarre avec une accélération de 1,5 m · s−2 . Que vaut la tension du câble qui le hisse ?
2 - Il atteint rapidement une vitesse constante de 2 m · s−1 . Déterminer à nouveau la tension du câble.
Exercice 2 : La partie immergée de l’iceberg
[♦♦]
Considérons un iceberg de volume V dont une partie de volume Vi est immergée dans la mer.
Données : masse volumique de l’eau salée liquide ρliq = 1,02 · 103 kg · m−3 et de la glace ρgl = 0,92 · 103 kg · m−3 .
Exprimer la poussée d’Archimède et la force de pesanteur qui s’appliquent sur l’iceberg. En déduire la proportion
du volume de l’iceberg à être immergée.
Exercice 3 : « Ça par exemple ! Quel bond ! »
[♦]
Dans l’album de Tintin On a marché sur la Lune, le capitaine Haddock s’étonne de pouvoir faire un bond
beaucoup plus grand que sur la Terre. Le but de cet exercice est de déterminer la longueur de ce bond.
On assimile le mouvement du capitaine Haddock à celui de son centre d’inertie. Il saute depuis le sol lunaire avec
une vitesse initiale v0 faisant un angle α = 30° avec le sol. On note gL l’accélération de la pesanteur à la surface de
la Lune, environ six fois plus faible que sur Terre.
1 - Établir l’équation du mouvement.
2 - En déduire l’équation de la trajectoire du centre d’inertie du capitaine Haddock.
3 - Exprimer la distance L qu’il a parcourue en sautant en fonction de v0 , α et gL .
4 - En supposant que le capitaine Haddock est capable de sauter 1,5 m sur Terre et en admettant qu’il n’est pas gêné
par son scaphandre, déterminer numériquement la distance L.
Exercice 4 : Viscosimètre à bille
#”
g
L
[♦]
Une méthode très simple à mettre en œuvre pour mesurer la viscosité η d’un fluide relativement
visqueux consiste à lâcher une bille dans une éprouvette contenant le fluide et à mesurer sa vitesse
limite. On s’intéresse dans cet exercice à une bille en acier de rayon R = 1 mm qui tombe dans
une huile siliconée. L’huile exerce sur la bille une force de frottement fluide donnée par la loi de
Stokes,
#”
f = −6π η R #”
v.
Données : masse volumique de l’acier ρa = 7,83 · 103 kg · m−3 et de l’huile ρh = 970 kg · m−3 .
1 - Déterminer la dimension de la viscosité η et son unité dans le Système International.
2 - Montrer qu’en raison de la poussée d’Archimède tout se passe comme si le poids de la bille était modifié avec une
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Étienne Thibierge, 25 janvier 2016, www.etienne-thibierge.fr
Exercices du chapitre M 2 : Loi de la quantité de mouvement
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
masse volumique apparente ρ = ρa − ρh .
3 - Établir l’équation différentielle vérifiée par la norme de la vitesse de la bille.
4 - Exprimer la vitesse limite atteinte par la bille et la durée caractéristique τ pour atteindre cette vitesse limite. En
déduire un ordre de grandeur (surestimé) de la distance de chute nécessaire pour atteindre cette vitesse limite.
5 - On place deux repères distants de L = 15,0 ± 0,2 cm dans l’éprouvette, le premier de ces repères étant situé
environ 5 cm sous l’interface entre l’air et l’huile. On mesure une durée de chute ∆t = 10,7 ± 0,2 s. En déduire la
viscosité de l’huile siliconée.
6 - Confirmer que supposer la vitesse limite atteinte lorsque la bille passe au niveau du premier repère est une
hypothèse tout à fait légitime. Comment aurait-on pu s’en assurer expérimentalement ?
Exercice 5 : Brique sur un plan incliné
[♦]
On s’intéresse à un plan incliné d’un angle α = 20° par rapport à l’horizontale sur lequel on lance une brique de
masse m = 600 g. La brique est lancée le long de la ligne de plus grande pente du bas vers le haut avec une vitesse #”
v0
de norme 1,5 m · s−1 .
Pour étudier ce mouvement, on utilise un axe (Ox) parallèle au plan incliné et dirigé vers le haut tel que v#” = v #”
e
0
et tel que O coïncide avec le point de départ de la brique.
0
x
1 - Justifier le choix du repérage, et en particulier l’intérêt de considérer un axe incliné.
2 - On imagine pour commencer que le contact entre la brique et le plan incliné se fait sans frottement.
2.a - Établir l’équation horaire du mouvement de la brique lors de la montée.
2.b - Déterminer l’instant auquel la brique s’arrête et la distance qu’elle a parcouru.
2.c - La brique redescend-elle le long du plan incliné ?
3 - On tient compte maintenant des frottements solides. La force de contact entre le support et la brique se décompose
#” #”
#”
#”
#”
en R = R n + R t où R n est perpendiculaire au support, et R t colinéaire et de sens opposé à la vitesse. Tant que la
brique glisse sur le support, ces deux forces sont reliées par
#” #” R t = µd R n où µd = 0,2 est le coefficient de frottement dynamique.
3.a - Établir l’équation horaire du mouvement de la brique lors de la montée.
3.b - Déterminer l’instant auquel la brique s’arrête et la distance qu’elle a parcouru.
3.c - La brique redescend-elle le long du plan incliné ?
4 - On suppose maintenant que la brique n’est plus lancée mais simplement posée en O, et on cherche à savoir si
elle va spontanément descendre le long du plan incliné. Lorsque la brique ne glisse pas sur le support les deux
forces Rt et Rn sont reliées par
#” #” R t ≤ µs R n où µs ' µd = 0,2 est le coefficient de frottement statique. À quelle condition sur l’angle α la brique reste-t-elle
immobile sans glisser ?
Exercice 6 : Glissade sur un igloo
z
E
θ
[♦]
Cet exercice s’intéresse à la glissade d’un enfant esquimau sur le toit d’un igloo d’où il
s’élance sans vitesse initiale. On modélise l’enfant par un point matériel E de masse m
glissant sans aucun frottement à la surface de l’igloo. La position de l’enfant est repérée
par l’angle θ. Pour simplifier, l’igloo est supposé sphérique de rayon R.
1 - Appliquer la loi de la quantité de mouvement à l’enfant pour en déduire deux
équations différentielles portant sur l’angle θ. Identifier l’équation du mouvement.
Quelle information l’autre équation contient-elle ?
2 - À partir de l’équation du mouvement, montrer que
θ̇2 =
2g
(1 − cos θ) .
R
Nous détaillerons au chapitre M 3 une méthode basée sur l’énergie mécanique permettant d’accéder plus
rapidement et plus simplement à la relation ci-dessus.
3 - En déduire l’expression de la force de réaction de l’igloo.
4 - L’enfant décolle-t-il du toit de l’igloo avant d’atteindre le sol ? Si oui, pour quel angle ?
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Exercices du chapitre M 2 : Loi de la quantité de mouvement
Exercice 7 : Posé sur un plateau ?
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
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À l’extrémité inférieure d’un ressort vertical est suspendu un plateau sur lequel est placé un cube. Le
plateau est lâché sans vitesse initiale après l’avoir descendu d’une altitude A par rapport à sa position
d’équilibre.
Le cube décolle-t-il du plateau ?
Remarque : une des principales difficultés de l’exercice est d’établir les équations rigoureusement.
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Étienne Thibierge, 25 janvier 2016, www.etienne-thibierge.fr