Exercices du chapitre M 2 : Loi de la quantité de mouvement Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
masse volumique apparente ρ=ρa−ρh.
3 - Établir l’équation différentielle vérifiée par la norme de la vitesse de la bille.
4 - Exprimer la vitesse limite atteinte par la bille et la durée caractéristique τpour atteindre cette vitesse limite. En
déduire un ordre de grandeur (surestimé) de la distance de chute nécessaire pour atteindre cette vitesse limite.
5 - On place deux repères distants de L= 15,0±0,2 cm dans l’éprouvette, le premier de ces repères étant situé
environ 5 cm sous l’interface entre l’air et l’huile. On mesure une durée de chute ∆t= 10,7±0,2 s. En déduire la
viscosité de l’huile siliconée.
6 - Confirmer que supposer la vitesse limite atteinte lorsque la bille passe au niveau du premier repère est une
hypothèse tout à fait légitime. Comment aurait-on pu s’en assurer expérimentalement?
Exercice 5 : Brique sur un plan incliné [♦]
On s’intéresse à un plan incliné d’un angle α= 20°par rapport à l’horizontale sur lequel on lance une brique de
masse m= 600 g. La brique est lancée le long de la ligne de plus grande pente du bas vers le haut avec une vitesse #”
v0
de norme 1,5 m ·s−1.
Pour étudier ce mouvement, on utilise un axe (Ox)parallèle au plan incliné et dirigé vers le haut tel que #”
v0=v0
#”
ex
et tel que Ocoïncide avec le point de départ de la brique.
1 - Justifier le choix du repérage, et en particulier l’intérêt de considérer un axe incliné.
2 - On imagine pour commencer que le contact entre la brique et le plan incliné se fait sans frottement.
2.a - Établir l’équation horaire du mouvement de la brique lors de la montée.
2.b - Déterminer l’instant auquel la brique s’arrête et la distance qu’elle a parcouru.
2.c - La brique redescend-elle le long du plan incliné ?
3 - On tient compte maintenant des frottements solides. La force de contact entre le support et la brique se décompose
en #”
R=#”
Rn+#”
Rtoù #”
Rnest perpendiculaire au support, et #”
Rtcolinéaire et de sens opposé à la vitesse. Tant que la
brique glisse sur le support, ces deux forces sont reliées par
#”
Rt
=µd
#”
Rn
où µd= 0,2est le coefficient de frottement dynamique.
3.a - Établir l’équation horaire du mouvement de la brique lors de la montée.
3.b - Déterminer l’instant auquel la brique s’arrête et la distance qu’elle a parcouru.
3.c - La brique redescend-elle le long du plan incliné ?
4 - On suppose maintenant que la brique n’est plus lancée mais simplement posée en O, et on cherche à savoir si
elle va spontanément descendre le long du plan incliné. Lorsque la brique ne glisse pas sur le support les deux
forces Rtet Rnsont reliées par
#”
Rt
≤µs
#”
Rn
où µs'µd= 0,2est le coefficient de frottement statique. À quelle condition sur l’angle αla brique reste-t-elle
immobile sans glisser ?
Exercice 6 : Glissade sur un igloo [♦]
E
z
θ
Cet exercice s’intéresse à la glissade d’un enfant esquimau sur le toit d’un igloo d’où il
s’élance sans vitesse initiale. On modélise l’enfant par un point matériel Ede masse m
glissant sans aucun frottement à la surface de l’igloo. La position de l’enfant est repérée
par l’angle θ. Pour simplifier, l’igloo est supposé sphérique de rayon R.
1 - Appliquer la loi de la quantité de mouvement à l’enfant pour en déduire deux
équations différentielles portant sur l’angle θ. Identifier l’équation du mouvement.
Quelle information l’autre équation contient-elle?
2 - À partir de l’équation du mouvement, montrer que
˙
θ2=2g
R(1 −cos θ).
Nous détaillerons au chapitre M 3 une méthode basée sur l’énergie mécanique permettant d’accéder plus
rapidement et plus simplement à la relation ci-dessus.
3 - En déduire l’expression de la force de réaction de l’igloo.
4 - L’enfant décolle-t-il du toit de l’igloo avant d’atteindre le sol ? Si oui, pour quel angle ?
2/3 Étienne Thibierge, 25 janvier 2016, www.etienne-thibierge.fr