Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale - Wicky-math

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[ E XERCICES \
L OI B INOMIALE
3
Exercice 1 : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 6 et .
4
à !
6
On donne
= 15.
2
1. Donner sous forme de fraction irréductible les probabilités P(X = 0), P(X = 1) et P(X = 2).
2. En déduire P(X ≥ 3).
2
Exercice 2 : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et .
5
Sachant que E(X) = 4, calculer l’écart-type de X.
1
Exercice 3 : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres 16 et p ≤ .
2
Sachant que σ(X) = 1, calculer l’espérance de X.
Exercice 4 : En syldavie, Norbert fait participer son chat Banshee au jeu des « lancers de souris ».
Le jeu consiste à lancer quatre fois fois une souris en l’air et à tenter de la rattraper. Banshee estime que sa proba3
bilité de rattraper une souris est toujours égale à
5
On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de souris rattrapée par Banshee lors d’une épreuve (donc
lors de quatre lancers).
1. Déterminer la loi de X. Justifier.
2. Calculer la probabilité que Banshee rattrape au moins une souris.
3. Calculer la probabilité que Banshee rattrape exactement 1 souris.
4. Calculer la probabilité que Banshee rattrape exactement 2 souris.
5. Calculer E(X). Interpréter.
6. Calculer σ(X). Banshee est-il régulier ?
Exercice 5 : Dans une loterie, à chaque jeu on a 5% de chance de gagner. On décide de jouer n fois (avec n entier
naturel non nul). Chaque jeu est indépendant des autres.
Soit X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois où on gagne à cette loterie lors des n jeux.
1. Quelle loi suit X ? Donner ses paramètres.
2. Montrer que P(X > 0) = 1 − 0.95n
3. A l’aide d’un tableau de valeurs à la calculatrice, déterminer le plus petit entier n pour laquelle P(X > 0) ≥ 0.5.
4. Interpréter cette valeur trouvée dans le contexte de l’exercice.
Exercice 6 : Donner sans calcul la valeur des coefficients binomiaux suivants :
Ã
!
12
1
à !
17
16
Ã
!
827
1
Ã
12358
0
!
Ã
!
4651
4651
Ã
!
101
Exercice 7 : Sachant que
= 5050, donner la valeur des coefficients binomiaux suivants sans utiliser la
2
calculatrice :
Ã
!
Ã
!
Ã
!
101
102
102
99
2
100
C. Aupérin
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Loi Binomiale
Exercice 8 : A l’aide du triangle de Pascal, déterminer un coefficient binomial auquel chacun de ces nombres
correspond en prenant la plus petite valeur de n possible :
6
5
15
35
70
En proposer alors deux autres évidents.
Exercice 9 : Le druide de Gattaca a besoin pour préparer sa potion magique de champignons syldave. Il envoie
11 vaillants citoyens les chercher. Parsemé de périls et d’embuche on estime qu’un citoyen (aussi vaillant soit-il) a 2
chances sur 17 de périr pour aller dans la forêt et tout autant pour revenir à Gattaca.
1. Calculer la probabilité qu’un citoyen revienne vivant de l’excursion. on pourra s’aider d’un arbre de probabilité.
2. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de survivant.
¶
µ
225
a. Expliquer pourquoi X ,→ B 11;
289
b. Calculer la probabilité qu’au moins un citoyen ramène des champignons syldave nécessaire à la préparation de la potion magique.
c. Calculer p(X = 0) et p(X = 1).
d. En déduire la probabilité qu’au moins deux citoyens ramène des champignons syldave.
e. Calculer E(X). Interpréter.
3. Lance, un jeune cycliste Syldave, n’a pas la permission de consommer les champignons préparé par le druide,
il décide donc de se débrouiller tout seul. Pendant une semaine tous les matins, Lance part chercher les fameux champignons et revient le soir afin de les préparer et de les manger.
On note Y la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Lance a pu manger des champignons syldave.
a. Donner p(Y = 1) et p(Y = 2).
b. Recopier et compléter le tableau suivant :
0
k
1
2
3
4
5
6
7
p(Y = k)
Exercice 10 : Le ministre syldave de l’Éducation décide de donner le bac à 80% des enfants dès leur naissance.
C’est vrai ! Pourquoi attendre 18 ans et dépenser tant d’argent quand on est même pas sûr du résultat, tout ça pour
permettre à des profs d’être payés à être en vacances la moitié de l’année ?
Le ministre découpe donc dans du carton dix carrés numérotés de 1 à 10 et propose au nouveau-né de tirer un
carton au hasard.
si c’est un multiple de cinq, il est recalé,
si c’est un sept,il obtient la mention « très bien »,
si c’est un multiple de quatre, il obtient la mention « bien »,
si c’est un multiple de trois, il obtient la mention « assez bien »
sinon, il obtient la mention « passable ».
1. Calculer la probabilité pour un nouveau-né syldave d’obtenir le bac avec la mention « passable ».
2. Le village natal du beau-frère du ministre attend sept naissances pour l’année qui suit. On sait qu’il y aura
trois filles et quatre garçons (a) . On note X la variable aléatoire égale au nombre de garçons bacheliers et Y la
variable aléatoire égale au nombre de filles bachelières parmi ces bébés.
a. Déterminer les lois de probabilité de X et Y.
(a). Comme chacun sait, la capitale syldave s’appelle Gattaca
C. Aupérin
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b. Compléter les deux tableaux suivants :
X
0
1
2
3
4
Total
p(X = k)
0.0016
......
......
......
......
1
Y
0
1
2
3
Total
p(Y = k)
0, 008
......
......
......
1
c. Calculer la probabilité d’avoir plus de bachelières que de bacheliers. (on pourra s’aider d’un arbre)
d. Calculer la probabilité pour que ce village dépasse l’objectif du ministre.
Exercice 11 : Suite à une étude démographique de la Syldavie, on estime que la probabilité pour qu’un Syldave
interrogé au hasard ne connaisse pas par cœur les œuvres du GGC (Grand Guide Charismatique) est de p.
On a classé la population en m groupes de n Syldaves. On va comparer deux stratégies pour détecter les traitres
incultes dans chaque groupe :
la première consiste à interroger les syldaves un par un ;
on suppose que les services de renseignements syldaves ont mis au point un test rapide permettant de vérifier
de manière globale si un groupe contient au moins un traitre. Si ce test global est positif, alors on interroge un
a un ses membres pour identifier les traitres, sinon, on passe au groupe suivant.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de traites et Y la variable aléatoire qui compte le nombre de
groupe comportant au moins un traite.
1. Déterminer la loi de X et donner son espérance.
2.
a. On considère un groupe de n syldaves (Z est la variable aléatoire qui compte le nombre de traitre dans
ce groupe), démontrer que la probabilité qu’au moins un syldave soit un traitre vaut :
p(Z ≥ 1) = 1 − (1 − p)n
b. Expliquer pourquoi Y ,→ B(m; 1 − (1 − p)n ).
1
. Déterminer pour quelles valeurs de n la deuxième méthode est plus
3. On suppose à présent que p =
100
économique.
Exercice 12 : Chaque crocodile qui traverse la clairière séparant les kikis (une espèce très particulière qui vit
dans le monde imaginaire des mathématiques...) du fleuve a une probabilité 1/3 de périr écrasé par un éléphant
sautant en parachute (tout est permis dans le monde imaginaire des mathématiques...). Un matin, 32 crocodiles
quittent les kikis pour rejoindre le fleuve. On note X, le nombre de victimes des éléphants parmi ces crocodiles. Les
survivants reviennent le soir par le même chemin. On note Y le nombre total de victimes.
1. Calculer la probabilité que 22 crocodiles se baignent (sans périr) dans le fleuve.
2. Calculer la probabilité que 7 crocodiles retournent sains et saufs le soir dans les kikis.
3. Calculer E(Y). Comment interpréter ce résultat ?
Exercice 13 : Un basketteur effectue une série de 7 lancers francs. Il réussit chacun des lancers francs avec une
probabilité égale à p.
Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la plus petite valeur de p, à 10−2 près, telle qu’on soit sûr à plus de 99% que le
basketteur réussisse au moins un des sept lancers francs.
Exercice 14 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On regarde sa couleur puis on la remet dans
le paquet que l’on mélange.
On recommence cette expérience 8 fois de suite.
C. Aupérin
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1. Calculer la probabilité d’obtenir exactement 4 coeurs. Justifier précisément !
2. A chaque fois qu’on tire un coeur, on gagne 3=C. Dans les autres cas, on perd 1=C.
Est-il financièrement intéressant de jouer à ce jeu ?
Exercice 15 :
La loi géométrique tronquée
L’oncle de Tatiana est accroc au jeu de grattage. Chaque semaine, il achète jusqu’à 20 euros de cartes à gratter à deux
euros. Il achète une première carte, la gratte. Si elle est gagnante, il s’arrête, sinon il en achète une seconde, et ainsi
de suite jusqu’à ce qu’il ait une carte gagnante ou bien qu’il ait dépensé 20 euros. La probabilité d’avoir une carte
gagnante est connu et vaut 0, 12.
1. Modéliser le début de cette expérience à l’aide d’un arbre pondéré.
2. Quelle est la probabilité que l’oncle achète 4 cartes ?
3. Quelle est la probabilité que l’oncle achète 10 cartes ?
4. Quelle est la probabilité que l’oncle ne gagne rien ?
5. Soit X la variable aléatoire qui à chaque série d’achats de la semaine, associe la somme dépensée.
a. Etablir la loi de probabilité de X.
b. Quelle est l’espérance de X ? Interpréter ce résultat.
Exercice 16 : Algorithme Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une
course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté.
À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces
désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être
contrôlé à l’issue de plusieurs étapes.
1. On considère l’algorithme ci-contre dans lequel :
« rand(1, 50) » permet d’obtenir un nombre entier
aléatoire appartenant à l’intervalle [1 ; 50]
l’écriture « x := y » désigne l’affectation d’une valeur y à une variable x.
a. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels
ont pu être obtenus avec cet algorithme :
L1 = {2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15}; L2 = {8, 17, 41, 34, 6};
L3 = {12, 17, 23, 17, 50}; L4 = {45, 19, 43, 21, 18} ?
b. Que permet de réaliser cet algorithme concernant
la course cycliste ?
Algorithme 1 :
Entrée(s) :
a, b, c, d , e sont des variables du type entier
a := 0 ; b := 0 ; c := 0 ; d := 0 ; e := 0
Tant que ((a = b) ou (a = c) ou (a = d ) ou
(a = e) ou (b = c) ou (b = d ) ou (b = e) ou
(c = d ) ou (c = e) ou (d = e)) Faire
a := rand(1, 50) ; b := rand(1, 50) ;
c := rand(1, 50) ; d := rand(1, 50) ;
e := rand(1, 50)
2. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur
Fin
Tant
que
parmi les 50 participants. Établir que la probabilité pour
Afficher a, b, c, d , e
qu’il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale
à 0, 1.
3. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l’ensemble
des 10 étapes de la course.
a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres.
b. On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dixmillième, les probabilités des évènements suivants :
il a été contrôlé 5 fois exactement ;
il n’a pas été contrôlé ;
il a été contrôlé au moins une fois.
C. Aupérin
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Algorithme 2 :
Exercice 17 :
Algorithme
On considère l’algorithme ci-contre.
Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre affiché par cet algorithme.
1. Quelle loi suit X ? Donner ses paramètres.
Variable(s) :
A, i et C sont des nombres entiers naturels.
Début
C := 0
Pour i allant de 1 à 9 Faire
A prend la valeur d’un nombre entier aléatoire entre 1 et 7
2. Que faut-il changer dans le programme pour que
les paramètres de la loi suivie par X soient 10 et 0.2 ?
Si (A > 5) Alors
3. Programmer cet algorithme sur votre calculatrice
ou sur un ordinateur.
Fin
C := C + 1
Fin Si
Fin Pour
Afficher C.
Un exemple de devoir
Exercice 18 :
(2 points)
1
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 10 et p avec p > .
2
Sachant que V(X) = 2, calculer p puis E(X).
Exercice 19 :
(8 points)
Le ministre syldave a supprimé la faculté de médecine. L’unique dentiste de Gattaca est un ancien boxeur, à moitiéaveugle et parkinsonien.
Les syldaves venant le consulter se font toujours arracher une dent.
Le dentiste arrive à peu près à discerner la dent malade grâce aux indications des patients, et essaie toujours d’extraire celle-ci, mais sa maladie le faisant trembler, il n’a qu’une probabilité de 0.4 de réussir.
Le dentiste reçoit quinze clients par jour, en on note X le nombre de dents malades extraites à bon escient sur ces
quinze clients.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Justifier.
2. Calculer la probabilité pour qu’aucun des patients n’y laisse une dent malade.
3. Calculer la probabilité que le dentiste arrache exactement 11 dents malades.
4. Calculer la probabilité pour que le dentiste arrache au moins 2 dents malades.
5. Finalement, le dentiste a extrait 7 dents malades. Peut-il être satisfait de lui-même ?
6. Parmi les deux diagrammes en barres suivant, lequel peut représenter la loi de probabilité de X ? Justifier
C. Aupérin
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7. Avant chaque intervention, le patient paie 30=C, puis le dentiste lui arrache une dent. Si c’est la bonne, le
patient doit encore payer 20=C.
a. Combien le dentiste peut-il espérer gagner d’argent en une journée ? Justifier.
b. Les tremblements du dentiste empirant, sa probabilité d’extraire une dent malade risque de baisser.
A partir de quelle probabilité de réussite ce métier lui permet-il de gagner plus de 510=C par jour ?
Exercice 20 :
(10 points)
Une compagnie de transports désire optimiser les contrôles afin de limite l’impact des fraudes. Cette compagnie
effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les 20 jours ouvrables d’un mois, soit au total 40 trajets.
On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d’être
contrôlé est égale à p.
Un trajet côute 10=C. En cas de fraude, l’amende est de 100=C.
Théo fraude systématiquement lors des 40 trajets étudiés (ce n’est pas bien du tout !).
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de trajets où Théo a été contrôlé.
1. Quelle loi suit X. Justifier.
2. On suppose que p = 0.05.
a. Calculer à 10−4 près P(X = 5). Interpréter.
b. Calculer à 10−4 près la probabilité que Théo soit contrôlé au moins une fois.
c. Calculer à 10−4 près la probabilité que Théo soit contrôlé au plus deux fois.
3. Soit Z la variable aléatoire donnant le gain algébrique réalisé par le fraudeur.
a. Justifier que Z = 400 − 110X.
b. Calculer E(Z).
4.
a. La fraude est-elle favorable ou non pour Théo ?
b. Pour quelles valeurs de p en serait-il autrement ?
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