Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale - Wicky-math

[EXERCICES \
LOI BINOMIALE
Exercice 1 : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 6 et 3
4. On donne Ã6
2!=15.
1. Donner sous forme de fraction irréductible les probabilités P(X =0), P(X =1) et P(X =2).
2. En déduire P(X ≥3).
Exercice 2 : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres net 2
5.
Sachant que E(X) =4, calculer l’écart-type de X.
Exercice 3 : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres 16 et p≤1
2.
Sachant que σ(X) =1, calculer l’espérance de X.
Exercice 4 : En syldavie, Norbert fait participer son chat Banshee au jeu des « lancers de souris ».
Le jeu consiste à lancer quatre fois fois une souris en l’air et à tenter de la rattraper. Banshee estime que sa proba-
bilité de rattraper une souris est toujours égale à 3
5
On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de souris rattrapée par Banshee lors d’une épreuve (donc
lors de quatre lancers).
1. Déterminer la loi de X. Justifier.
2. Calculer la probabilité que Banshee rattrape au moins une souris.
3. Calculer la probabilité que Banshee rattrape exactement 1 souris.
4. Calculer la probabilité que Banshee rattrape exactement 2 souris.
5. Calculer E(X). Interpréter.
6. Calculer σ(X). Banshee est-il régulier ?
Exercice 5 : Dans une loterie, à chaque jeu on a 5% de chance de gagner. On décide de jouer nfois (avec nentier
naturel non nul). Chaque jeu est indépendant des autres.
Soit X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois où on gagne à cette loterie lors des njeux.
1. Quelle loi suit X ? Donner ses paramètres.
2. Montrer que P(X >0) =1−0.95n
3. A l’aide d’un tableau de valeurs à la calculatrice, déterminer le plus petit entier npour laquelle P(X >0) ≥0.5.
4. Interpréter cette valeur trouvée dans le contexte de l’exercice.
Exercice 6 : Donner sans calcul la valeur des coefficients binomiaux suivants :
Ã12
1! Ã17 16! Ã827 1! Ã12358 0! Ã4651 4651!
Exercice 7 : Sachant que Ã101
2!=5050, donner la valeur des coefficients binomiaux suivants sans utiliser la
calculatrice : Ã101
99 ! Ã102 2! Ã102 100!
C. Aupérin
c. auperin@ wicky-math. fr. nf
Lycée Jules Fil
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Exercice 8 : A l’aide du triangle de Pascal, déterminer un coefficient binomial auquel chacun de ces nombres
correspond en prenant la plus petite valeur de npossible :
6 5 15 35 70
En proposer alors deux autres évidents.
Exercice 9 : Le druide de Gattaca a besoin pour préparer sa potion magique de champignons syldave. Il envoie
11 vaillants citoyens les chercher. Parsemé de périls et d’embuche on estime qu’un citoyen (aussi vaillant soit-il) a 2
chances sur 17 de périr pour aller dans la forêt et tout autant pour revenir à Gattaca.
1. Calculer la probabilité qu’un citoyen revienne vivant de l’excursion. on pourra s’aider d’un arbre de probabilité.
2. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de survivant.
a. Expliquer pourquoi X ,→Bµ11; 225
289¶
b. Calculer la probabilité qu’au moins un citoyen ramène des champignons syldave nécessaire à la prépa-
ration de la potion magique.
c. Calculer p(X =0) et p(X =1).
d. En déduire la probabilité qu’au moins deux citoyens ramène des champignons syldave.
e. Calculer E(X). Interpréter.
3. Lance, un jeune cycliste Syldave, n’a pas la permission de consommer les champignons préparé par le druide,
il décide donc de se débrouiller tout seul. Pendant une semaine tous les matins, Lance part chercher les fa-
meux champignons et revient le soir afin de les préparer et de les manger.
On note Y la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Lance a pu manger des champignons syldave.
a. Donner p(Y =1) et p(Y =2).
b. Recopier et compléter le tableau suivant :
k01234567
p(Y =k)
Exercice 10 : Le ministre syldave de l’Éducation décide de donner le bac à 80% des enfants dès leur naissance.
C’est vrai ! Pourquoi attendre 18 ans et dépenser tant d’argent quand on est même pas sûr du résultat, tout ça pour
permettre à des profs d’être payés à être en vacances la moitié de l’année ?
Le ministre découpe donc dans du carton dix carrés numérotés de 1 à 10 et propose au nouveau-né de tirer un
carton au hasard.
si c’est un multiple de cinq, il est recalé,
si c’est un sept,il obtient la mention « très bien »,
si c’est un multiple de quatre, il obtient la mention « bien »,
si c’est un multiple de trois, il obtient la mention « assez bien »
sinon, il obtient la mention « passable ».
1. Calculer la probabilité pour un nouveau-né syldave d’obtenir le bac avec la mention « passable ».
2. Le village natal du beau-frère du ministre attend sept naissances pour l’année qui suit. On sait qu’il y aura
trois filles et quatre garçons (a). On note X la variable aléatoire égale au nombre de garçons bacheliers et Y la
variable aléatoire égale au nombre de filles bachelières parmi ces bébés.
a. Déterminer les lois de probabilité de X et Y.
(a). Comme chacun sait, la capitale syldave s’appelle Gattaca
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b. Compléter les deux tableaux suivants :
X 0 1 2 3 4 Total
p(X =k) 0.0016 ...... ...... ...... ...... 1
Y 0 1 2 3 Total
p(Y =k) 0,008 ...... ...... ...... 1
c. Calculer la probabilité d’avoir plus de bachelières que de bacheliers. (on pourra s’aider d’un arbre)
d. Calculer la probabilité pour que ce village dépasse l’objectif du ministre.
Exercice 11 : Suite à une étude démographique de la Syldavie, on estime que la probabilité pour qu’un Syldave
interrogé au hasard ne connaisse pas par cœur les œuvres du GGC (Grand Guide Charismatique) est de p.
On a classé la population en mgroupes de nSyldaves. On va comparer deux stratégies pour détecter les traitres
incultes dans chaque groupe :
la première consiste à interroger les syldaves un par un ;
on suppose que les services de renseignements syldaves ont mis au point un test rapide permettant de vérifier
de manière globale si un groupe contient au moins un traitre. Si ce test global est positif, alors on interroge un
a un ses membres pour identifier les traitres, sinon, on passe au groupe suivant.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de traites et Y la variable aléatoire qui compte le nombre de
groupe comportant au moins un traite.
1. Déterminer la loi de X et donner son espérance.
2. a. On considère un groupe de nsyldaves (Z est la variable aléatoire qui compte le nombre de traitre dans
ce groupe), démontrer que la probabilité qu’au moins un syldave soit un traitre vaut :
p(Z ≥1) =1−(1−p)n
b. Expliquer pourquoi Y ,→B(m;1−(1−p)n).
3. On suppose à présent que p=1
100. Déterminer pour quelles valeurs de nla deuxième méthode est plus
économique.
Exercice 12 : Chaque crocodile qui traverse la clairière séparant les kikis (une espèce très particulière qui vit
dans le monde imaginaire des mathématiques...) du fleuve a une probabilité 1/3 de périr écrasé par un éléphant
sautant en parachute (tout est permis dans le monde imaginaire des mathématiques...). Un matin, 32 crocodiles
quittent les kikis pour rejoindre le fleuve. On note X, le nombre de victimes des éléphants parmi ces crocodiles. Les
survivants reviennent le soir par le même chemin. On note Y le nombre total de victimes.
1. Calculer la probabilité que 22 crocodiles se baignent (sans périr) dans le fleuve.
2. Calculer la probabilité que 7 crocodiles retournent sains et saufs le soir dans les kikis.
3. Calculer E(Y). Comment interpréter ce résultat ?
Exercice 13 : Un basketteur effectue une série de 7 lancers francs. Il réussit chacun des lancers francs avec une
probabilité égale à p.
Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la plus petite valeur de p, à 10−2près, telle qu’on soit sûr à plus de 99% que le
basketteur réussisse au moins un des sept lancers francs.
Exercice 14 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On regarde sa couleur puis on la remet dans
le paquet que l’on mélange.
On recommence cette expérience 8 fois de suite.
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1. Calculer la probabilité d’obtenir exactement 4 coeurs. Justifier précisément !
2. A chaque fois qu’on tire un coeur, on gagne 3= C. Dans les autres cas, on perd 1= C.
Est-il financièrement intéressant de jouer à ce jeu ?
Exercice 15 :La loi géométrique tronquée
L’oncle de Tatiana est accroc au jeu de grattage. Chaque semaine, il achète jusqu’à 20 euros de cartes à gratter à deux
euros. Il achète une première carte, la gratte. Si elle est gagnante, il s’arrête, sinon il en achète une seconde, et ainsi
de suite jusqu’à ce qu’il ait une carte gagnante ou bien qu’il ait dépensé 20 euros. La probabilité d’avoir une carte
gagnante est connu et vaut 0,12.
1. Modéliser le début de cette expérience à l’aide d’un arbre pondéré.
2. Quelle est la probabilité que l’oncle achète 4 cartes ?
3. Quelle est la probabilité que l’oncle achète 10 cartes ?
4. Quelle est la probabilité que l’oncle ne gagne rien ?
5. Soit X la variable aléatoire qui à chaque série d’achats de la semaine, associe la somme dépensée.
a. Etablir la loi de probabilité de X.
b. Quelle est l’espérance de X ? Interpréter ce résultat.
Exercice 16 :Algorithme Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une
course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté.
À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces
désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être
contrôlé à l’issue de plusieurs étapes.
1. On considère l’algorithme ci-contre dans lequel :
« rand(1, 50) » permet d’obtenir un nombre entier
aléatoire appartenant à l’intervalle [1 ; 50]
l’écriture « x:=y» désigne l’affectation d’une va-
leur yà une variable x.
a. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels
ont pu être obtenus avec cet algorithme :
L1={2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15};L2={8,17,41,34,6};
L3={12,17,23,17,50};L4={45,19,43,21,18} ?
b. Que permet de réaliser cet algorithme concernant
la course cycliste ?
2. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur
parmi les 50 participants. Établir que la probabilité pour
qu’il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale
à 0,1.
Algorithme 1 :
Entrée(s) :
a,b,c,d,esont des variables du type entier
a:=0; b:=0; c:=0; d:=0 ; e:=0
Tant que ((a=b) ou (a=c) ou (a=d) ou
(a=e) ou (b=c) ou (b=d) ou (b=e) ou
(c=d) ou (c=e) ou (d=e)) Faire
a:=rand(1, 50); b:=rand(1, 50) ;
c:=rand(1, 50); d:=rand(1, 50) ;
e:=rand(1, 50)
Fin Tant que
Afficher a,b,c,d,e
3. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l’ensemble
des 10 étapes de la course.
a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres.
b. On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-
millième, les probabilités des évènements suivants :
il a été contrôlé 5 fois exactement ;
il n’a pas été contrôlé ;
il a été contrôlé au moins une fois.
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Exercice 17 :Algorithme
On considère l’algorithme ci-contre.
Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre af-
fiché par cet algorithme.
1. Quelle loi suit X ? Donner ses paramètres.
2. Que faut-il changer dans le programme pour que
les paramètres de la loi suivie par X soient 10 et 0.2 ?
3. Programmer cet algorithme sur votre calculatrice
ou sur un ordinateur.
Algorithme 2 :
Variable(s) :
A, iet C sont des nombres entiers naturels.
Début
C :=0
Pour iallant de 1 à 9 Faire
A prend la valeur d’un nombre en-
tier aléatoire entre 1 et 7
Si (A >5) Alors
C :=C+1
Fin Si
Fin Pour
Afficher C.
Fin
Un exemple de devoir
Exercice 18 : (2 points)
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 10 et pavec p>1
2.
Sachant que V(X) =2, calculer ppuis E(X).
Exercice 19 : (8 points)
Le ministre syldave a supprimé la faculté de médecine. L’unique dentiste de Gattaca est un ancien boxeur, à moitié-
aveugle et parkinsonien.
Les syldaves venant le consulter se font toujours arracher une dent.
Le dentiste arrive à peu près à discerner la dent malade grâce aux indications des patients, et essaie toujours d’ex-
traire celle-ci, mais sa maladie le faisant trembler, il n’a qu’une probabilité de 0.4 de réussir.
Le dentiste reçoit quinze clients par jour, en on note X le nombre de dents malades extraites à bon escient sur ces
quinze clients.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Justifier.
2. Calculer la probabilité pour qu’aucun des patients n’y laisse une dent malade.
3. Calculer la probabilité que le dentiste arrache exactement 11 dents malades.
4. Calculer la probabilité pour que le dentiste arrache au moins 2 dents malades.
5. Finalement, le dentiste a extrait 7 dents malades. Peut-il être satisfait de lui-même?
6. Parmi les deux diagrammes en barres suivant, lequel peut représenter la loi de probabilité de X ? Justifier
C. Aupérin
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