EXAMEN ANNEE 2011-2012 Licence Economie 2e année 1re

EXAMEN ANNEE 2011-2012
Licence Economie 2eannée
1re SESSION 3eSEMESTRE
Matière : Statistiques et probabilités – Éléments de corrections Durée : 2H
Exercice I (15 min, 3 points)
1)
x
fX.x/
0
1
1 2 3 4
P .X < 1/ D0
f .x/ Dx1
P .2 < X < 3/ D0 P .X > 4/ D0
Le graphe sur le segment Œ3; 4 est choisi pour assurer la symétrie par rapport à xD2:5 de sorte que Me DD
2:5.
2) La fonction fXest positive, continue (sauf en 2et 3) et d’intégrale égale à 1 (correspondant à l’aire des deux
triangles de coté 1 et de hauteur 1.
3) La variable prend des valeurs (avec une probabilité non nulle) entre 1et 4. Donc XE.X / varie entre 1:5
et 1:5. Comme l’écart-type est plus faible de l’écart-maximum, on a X< 1:5.
Exercice II (25 min, 4 points)
On sait que X ,!N.500; 50/. Dans la suite, on considère que Xcorrespond à la demande pour 2011.
1) Pour les fêtes 2011, l’artisan prévoit de produire 600 Kg de chocolats.
a) On cherche donc la probabilité que la demande soit inférieure à la production. Soit
P .X 6600/ DPX6600 500
50 DP .X 62/ D0:9772
b) C’est la probabilité que la demande soit supérieure à la production. Soit
P .X >600/ D1P .X 6600/ D10:9772 D0:0228
c) C’est la probabilité que la demande soit inférieure à la production (600) et supérieure à 450 (D600 150).
Soit P .450 6X6600/ DP .X 6600/ P .X 6450/. On a
P .X 6450/ DPX6450 500
50 DP .X 61/ D1P .X61/ D10:8413 D0:1587
D’où P .450 6X6600/ D0:9772 0:1587 D0:8185.

2) On cherche donc la quantité à produire Qpour que la demande Xsoit inférieure à Qavec une probabilité
de 0.99. Soit
P .X 6Q/ D0:99 ”PX6Q500
50 D0:99 ”Q500 50 Dz0:99 D2:33
Soit QD500 C2:33 50 D616:5.
Exercice III (35 min, 6 points)
Selon l’administration fiscale américaine (IRS),en 2007,une déclaration des revenus sur cent est contrôlée lorsque
le revenu du contribuable est inférieur à un million de dollars, et neuf sur cent lorsque le revenu est de un million
de dollars ou plus.
1) On identifie l’ensemble des déclarations des contribuables ayant un revenu inférieur à 1 million aux boules
d’une urne. Parmi elles,un proportion pD1%D1=100 D0:01 sont contrôlées. En identifiant un contribuable
à sa déclaration, il a donc (Bernoulli) une probabilité de pD0:01 d’être contrôlé.
2) Le groupe de 10 amis correspond à un tirage (sans remise) de 10 déclarations dans l’urne précédente. On peut
supposer que le tirage est avec remises car le nombre de déclarations est sans aucun doute très supérieur à 10 !
a) On compte le nombre de déclarations contrôlées (boules blanches) dans 10 tirages avec remises.Donc X ,!
B.10; 0:01/
b) Le nombre moyen théorique de personnes contrôlées dans ce groupe correspond à l’espérance de X, soit
E.X/ Dnp D10 0:0:1 D0:1.
c) La probabilité qu’un seul contribuable de ce groupe soit contrôlé est
P .X D1/ D 10
1!0:0110:9990:0913
3) Les contribuables d’une banlieue résidentielle de San Francisco ont des revenus inférieurs à 1 million de
dollars pour 90 % d’entre eux et supérieur à 1 million de dollars pour 10 % d’entre eux.
a) On note Al’évènement « l’individu a un revenu inférieur à 1 million », Bl’évènement « l’individu a un
revenu supérieur à 1 million » et Cl’évenement « (la déclaration de) l’individu est contrôlé(e) ». D’après l’énoncé
initial, on a P .C jA/ D0:01,P .C jB/ D0:09. De plus, pour cette banlieue de SF, on a P .A/ D0:9 et P .B/ D
0:1.
b) D’après la formule des probabilités totales, la probabilité qu’un contribuable de cette banlieue soit contrôlé
est
P .C / DP .C jA/P .A/ CP .C jB/P .B / D0:01 0:9 C0:09 0:1 D0:018
c) D’après la formule de Bayes, la probabilité qu’un contribuable de cette banlieue ayant été contrôlé ait un
revenu inférieur à 1 million de dollars est
P .AjC / DP .C jAP .A/
P .C / D0:01 0:09 0:018 D0:50
4) Soit Yle nombre de millionnaires contrôlés. On a Y ,!B.100; 0:09/. Comme nD100 > 50 et pD0:09 <
0:1,B.100; 0:09/ P.100 0:09/ DP.9/. La probabilité que dans un groupe de 100 millionnaires,12 ou plus
soient contrôlés est donc
P .Y >12/ D1P .Y 611/ D10:803 D0:197
où la valeur P .Y 611/ D0:803 est lue dans la table de la loi de Poisson.
Exercice IV (45 min, 7 points)
Un produit industriel est fabriqué à partir deux matières premières Aet B.Le prix unitaire d’achat de chacune de
ces matières premières est variable. Les probabilités conjointes des prix sont connues et données dans le tableau
suivant :
Produit B
Produit A10 €11 €12 €
20 €0.05 0.25 0.15
25 €0.20 0.30 0.05
2

1) Probabilités
a) La probabilité que AD20 et BD11 est P .A D20 \BD11/ D0:25.
b) La probabilité que BD11 est P .B D11/ DP .B D11 \AD20/ CP .B D11 \AD25/ D
0:25 C0:30 D0:55.
c) On calcule d’abord P .A D20/ D0:05 C0:25 C0:15 D0:45. La probabilité que BD11 lorsque AD20
est P .B D11jAD20/ DP .B D11 \AD20/=P .A D20/ D0:25=0:45 D0:555
2) Lois marginales
a) La loi marginale de Aest
A 20 25
P 0.45 0.55
On a donc
E.A/ D20 0:45 C25 0:55 D22:75 E.A2/D2020:45 C2520:55 D523:75
Var.A/ D523:75 22:752D6:1875 .A/ Dp6:1875 2:487
Le prix moyen d’achat de Aest 22.75 et son écart-type 2.487.
b) La loi marginale de Best
B 10 €11 €12 €
P 0.25 0.55 0.20
On a donc
E.B/ D10 0:25 C11 0:55 C12 0:20 D10:95 E.B2/D1020:25 C1120:55 C1220:20 D120:35
Var.B/ D120:35 10:952D0:4475 .B/ Dp0:4475 0; 6689
Le prix moyen d’achat de Best 10.95 et son écart-type 0.6689.
3) Loi conditionnelle
a) La loi conditionnelle de Blorsque AD20 est donnée par les probabilités P .B D jAD20/.
B|A=20 10 €11 €12 €
P 0.111 0.556 0.333
b) Le prix moyen de Blorsque AD20 est l’espérance condition de Bsachant AD20. Soit
E.BjAD20/ D10 0:111 C11 0:556 C12 0:333 D11:222
4) Corrélation
a) On a
E.AB/ D20 10 0:05 C  C 25 12 0:05 D248:5
D’où la covariance entre les prix de Aet B: Cov.A; B/ DE.AB/ E.A/ E.B/ D 0:6125
b) on en déduit la corrélation entre Aet B:
.A; B/ DCov.A; B/
AB 0:368
c) Les deux prix sont légèrement corrélés négativement. Lorsque le prix de Aest élevé, celui de Ba tendance
à être bas.
5) Bonus : Le produit industriel est fabriqué à partir trois unités du produit Aet de deux unités du produits B.
Le prix du produit est donc TD3A C2B. On a donc
E.T / D3E.A/ C2E.B/ D90:15 Var.T / D32Var.A/ C22Var.B/ C232Cov.A; B/ D50:13
3