EXAMEN ANNEE 2011-2012 Licence Economie 2e année 1re

EXAMEN ANNEE 2011-2012
Licence Economie 2e année
1re SESSION
3e SEMESTRE
Matière : Statistiques et probabilités – Éléments de corrections
Durée : 2H
Exercice I (15 min, 3 points)
1)
fX .x/
1
0
1
2
P .X < 1/ D 0
3
4
P .2 < X < 3/ D 0
f .x/ D x
x
P .X > 4/ D 0
1
Le graphe sur le segment Œ3; 4 est choisi pour assurer la symétrie par rapport à x D 2:5 de sorte que Me D D
2:5.
2) La fonction fX est positive, continue (sauf en 2 et 3) et d’intégrale égale à 1 (correspondant à l’aire des deux
triangles de coté 1 et de hauteur 1.
3) La variable prend des valeurs (avec une probabilité non nulle) entre 1 et 4. Donc X
et 1:5. Comme l’écart-type est plus faible de l’écart-maximum, on a X < 1:5.
E.X/ varie entre 1:5
Exercice II (25 min, 4 points)
On sait que X ,! N .500; 50/. Dans la suite, on considère que X correspond à la demande pour 2011.
1) Pour les fêtes 2011, l’artisan prévoit de produire 600 Kg de chocolats.
a) On cherche donc la probabilité que la demande soit inférieure à la production. Soit
600
P .X 6 600/ D P X 6
500
50
D P .X 6 2/ D 0:9772
b) C’est la probabilité que la demande soit supérieure à la production. Soit
P .X > 600/ D 1
P .X 6 600/ D 1
0:9772 D 0:0228
c) C’est la probabilité que la demande soit inférieure à la production (600) et supérieure à 450 (D 600
Soit P .450 6 X 6 600/ D P .X 6 600/ P .X 6 450/. On a
450 500
P .X 6 450/ D P X 6
D P .X 6 1/ D 1
50
D’où P .450 6 X 6 600/ D 0:9772
0:1587 D 0:8185.
P .X 6 1/ D 1
150).
0:8413 D 0:1587
2) On cherche donc la quantité à produire Q pour que la demande X soit inférieure à Q avec une probabilité
de 0.99. Soit
Q 500
Q 500
P .X 6 Q/ D 0:99 ” P X 6
D 0:99 ”
D z0:99 D 2:33
50
50
Soit Q D 500 C 2:33 50 D 616:5.
Exercice III (35 min, 6 points)
Selon l’administration fiscale américaine (IRS),en 2007,une déclaration des revenus sur cent est contrôlée lorsque
le revenu du contribuable est inférieur à un million de dollars, et neuf sur cent lorsque le revenu est de un million
de dollars ou plus.
1) On identifie l’ensemble des déclarations des contribuables ayant un revenu inférieur à 1 million aux boules
d’une urne. Parmi elles, un proportion p D 1 % D 1=100 D 0:01 sont contrôlées. En identifiant un contribuable
à sa déclaration, il a donc (Bernoulli) une probabilité de p D 0:01 d’être contrôlé.
2) Le groupe de 10 amis correspond à un tirage (sans remise) de 10 déclarations dans l’urne précédente. On peut
supposer que le tirage est avec remises car le nombre de déclarations est sans aucun doute très supérieur à 10 !
a) On compte le nombre de déclarations contrôlées (boules blanches) dans 10 tirages avec remises. Donc X ,!
B.10; 0:01/
b) Le nombre moyen théorique de personnes contrôlées dans ce groupe correspond à l’espérance de X, soit
E.X/ D np D 10 0:0:1 D 0:1.
c) La probabilité qu’un seul contribuable de ce groupe soit contrôlé est
!
10
P .X D 1/ D
0:011 0:999 0:0913
1
3) Les contribuables d’une banlieue résidentielle de San Francisco ont des revenus inférieurs à 1 million de
dollars pour 90 % d’entre eux et supérieur à 1 million de dollars pour 10 % d’entre eux.
a) On note A l’évènement « l’individu a un revenu inférieur à 1 million », B l’évènement « l’individu a un
revenu supérieur à 1 million » et C l’évenement « (la déclaration de) l’individu est contrôlé(e) ». D’après l’énoncé
initial, on a P .C jA/ D 0:01, P .C jB/ D 0:09. De plus, pour cette banlieue de SF, on a P .A/ D 0:9 et P .B/ D
0:1.
b) D’après la formule des probabilités totales, la probabilité qu’un contribuable de cette banlieue soit contrôlé
est
P .C / D P .C jA/P .A/ C P .C jB/P .B/ D 0:01 0:9 C 0:09 0:1 D 0:018
c) D’après la formule de Bayes, la probabilité qu’un contribuable de cette banlieue ayant été contrôlé ait un
revenu inférieur à 1 million de dollars est
P .AjC / D
P .C jAP .A/
0:01 0:09
D
D 0:50
P .C /
0:018
4) Soit Y le nombre de millionnaires contrôlés. On a Y ,! B.100; 0:09/. Comme n D 100 > 50 et p D 0:09 <
0:1, B.100; 0:09/ P .100 0:09/ D P .9/. La probabilité que dans un groupe de 100 millionnaires, 12 ou plus
soient contrôlés est donc
P .Y > 12/ D 1
P .Y 6 11/ D 1
0:803 D 0:197
où la valeur P .Y 6 11/ D 0:803 est lue dans la table de la loi de Poisson.
Exercice IV (45 min, 7 points)
Un produit industriel est fabriqué à partir deux matières premières A et B. Le prix unitaire d’achat de chacune de
ces matières premières est variable. Les probabilités conjointes des prix sont connues et données dans le tableau
suivant :
Produit A
20 €
25 €
10 €
0.05
0.20
2
Produit B
11 € 12 €
0.25 0.15
0.30 0.05
1) Probabilités
a) La probabilité que A D 20 et B D 11 est P .A D 20 \ B D 11/ D 0:25.
b) La probabilité que B D 11 est P .B D 11/ D P .B D 11 \ A D 20/ C P .B D 11 \ A D 25/ D
0:25 C 0:30 D 0:55.
c) On calcule d’abord P .A D 20/ D 0:05 C 0:25 C 0:15 D 0:45. La probabilité que B D 11 lorsque A D 20
est P .B D 11jA D 20/ D P .B D 11 \ A D 20/=P .A D 20/ D 0:25=0:45 D 0:555
2) Lois marginales
a) La loi marginale de A est
A
P
20
0.45
25
0.55
On a donc
E.A2 / D 202 0:45 C 252 0:55 D 523:75
p
.A/ D 6:1875 2:487
E.A/ D 20 0:45 C 25 0:55 D 22:75
Var.A/ D 523:75
22:752 D 6:1875
Le prix moyen d’achat de A est 22.75 et son écart-type 2.487.
b) La loi marginale de B est
B
P
10 €
0.25
11 €
0.55
12 €
0.20
On a donc
E.B/ D 10 0:25 C 11 0:55 C 12 0:20 D 10:95
Var.B/ D 120:35
10:952 D 0:4475
E.B 2 / D 102 0:25 C 112 0:55 C 122 0:20 D 120:35
p
.B/ D 0:4475 0; 6689
Le prix moyen d’achat de B est 10.95 et son écart-type 0.6689.
3) Loi conditionnelle
a) La loi conditionnelle de B lorsque A D 20 est donnée par les probabilités P .B D jA D 20/.
B|A=20
P
10 €
0.111
11 €
0.556
12 €
0.333
b) Le prix moyen de B lorsque A D 20 est l’espérance condition de B sachant A D 20. Soit
E.BjA D 20/ D 10 0:111 C 11 0:556 C 12 0:333 D 11:222
4) Corrélation
a) On a
E.AB/ D 20 10 0:05 C C 25 12 0:05 D 248:5
D’où la covariance entre les prix de A et B : Cov.A; B/ D E.AB/
b) on en déduit la corrélation entre A et B :
.A; B/ D
Cov.A; B/
A B
E.A/ E.B/ D
0:6125
0:368
c) Les deux prix sont légèrement corrélés négativement. Lorsque le prix de A est élevé, celui de B a tendance
à être bas.
5) Bonus : Le produit industriel est fabriqué à partir trois unités du produit A et de deux unités du produits B.
Le prix du produit est donc T D 3A C 2B. On a donc
E.T / D 3 E.A/ C 2 E.B/ D 90:15
Var.T / D 32 Var.A/ C 22 Var.B/ C 2 3 2 Cov.A; B/ D 50:13
3