ECS 2 Vecteurs aléatoires discrets B B ] [1,0 ] [1,0

ECS 2
Vecteurs aléatoires discrets
I Pour s’approprier le cours
1-
X et Y sont deux variables indépendantes, de lois respectives
Quelle est la probabilité que X = Y ?
2-
X et Y sont deux variables indépendantes de même loi :
B(3;0,25) et B(5;0,5)
1
2
Valeurs : 0

Proba : 1 / 6 1 / 3 1 / 2
Soient S = X+Y et P = XY.
Donner la loi du couple(S, P) ; en déduire les lois de S et P. Sont-elles indépendantes ?
3-
X, Y, Z sont des variables mutuellement indépendantes, de loi uniforme sur {1, 2,..., n}.
Donner les probabilités des événements X+Y = Z, X+Y+Z = n+1, X+Y = 2Z.
On jette une pièce fournissant pile avec la probabilité p  0,1 . On appelle X le nombre de jets consécutifs fournissant le
même résultat que le 1er jet, et Y le nombre de jets consécutifs fournissant le même résultat que le (X+1)e jet.
4-
Par exemple, si l’on obtient (pile, pile, face, face, face, pile,...), alors X =2 et Y = 3.
Fournir :
- la loi de X et son espérance.
- la loi du couple (X, Y).
- la loi de Y et son espérance.
5-
Soient X et Y deux variables de Poisson indépendantes. Déterminer la loi conditionnelle de Y sachant X+Y=n.
6-
X et Y sont deux variables indépendantes à valeurs dans N telles que :
où p  0,1 et q  1  p .
n  N P( X  n)  P(Y  n)  pq n
On pose M = min(X, Y) et D = X-Y.
Fournir la loi du couple (M, D) ; en déduire les lois de M et D.
M et D sont-elles indépendantes ?
2
7-
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles à valeurs dans IN , de loi conjointe :
 (j, k)  IN , P(X = j, Y = k) =
2
a. Déterminer .
b. X et Y sont-elles indépendantes ?
X+Y
c. Calculer l’espérance de la variable 2 .
8-
On considère une urne contenant b boules blanches et n boules noires. ( On pourra noter : p =
Quand on tire une boule, on la remet dans l'urne avec c autres de la même couleur.
)
Soit Xn =
a.
b.
c.
d.
e.
9-
Pour m  IN*, on note Sm =
Donner les lois de probabilités de X1 et de X2. Comparer ces deux lois.
Quelle est la loi de Xm sachant que Sm-1 = k ?
En déduire par récurrence que la loi de Xm et la loi de X1 sont identiques.
Calculer E(Sm).
Quel est le nombre moyen de boules noires restant dans l'urne après le m-ième tirage ?
On lance n pièces qui fournissent pile avec une probabilité p, puis on relance les pièces qui ont fourni pile. On note X le
nombre de piles obtenus lors des n premiers lancers, et Y le nombre de piles obtenus lors des lancers suivants.
Donner la loi conditionnelle de Y sachant X=k et en déduire la loi de Y.
II Pour aller plus loin
10-
Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire trois boules successivement et sans remise.
ème
On note Xk le numéro de la k boule tirée.
La loi conjointe de ( X1,X2, X3 ) a été étudiée en cours.
On pose : M = Max ( X1 , X2 , X3 ) et N = Min ( X1 , X2 , X3 )
a.
b.
c.
d.
11-
Donner la loi conjointe de ( X1 , X2 , X3)
Donner la loi de M et de N.
Expliciter la matrice des variances-covariances de ( X1 , X2 , X3 , M , N )
En déduire V( X1 + 2 X2 + 3 X3 – M – N )
Soient X, Y deux variables aléatoires à valeurs dans N telles que : i, j
P( X  i et Y  j ) 
a
b i j
.
- Quelle condition doivent vérifier a et b ?
- X et Y sont-elles indépendantes ?
- Pour quelles valeurs du réel s la variable Z  s X a-t-elle une espérance ?
12-
Le nombre de personnes N se présentant à un bureau de poste suit une loi de Poisson de paramètre .
Une personne vient avec une probabilité p pour poster un envoi, et une probabilité q = 1 − p pour une autre
opération (0 < p < 1). On suppose que chaque personne n’effectue qu’une opération, et qu’elles font ces opérations
indépendamment les unes des autres.
On note X le nombre de personnes venant poster une lettre, et Y le nombre de personnes venant pour une autre
opération.
a. Quelle est la loi de X sachant N = j ?
b. Déterminer la loi conjointe du couple (X,N).
c. En déduire la loi de X. Donner sans calcul les valeurs de E(X) et V (X).
d. Montrer que X et Y sont indépendantes
e. En utilisant la relation N = X + Y , calculer cov(X,N). Commenter le signe.
f. Calculer le coefficient de corrélation X,N. N peut-elle être une fonction affine de Y ?
13-
Soit Xn une suite de variables aléatoires indépendantes, chacune prenant les valeurs 1 et 0 avec les probabilités p  0,1
et q  1  p .
Soit, pour n  1, Yn = Xn-1Xn.
a- Fournir la loi de Yn, son espérance et sa variance.
b- Pour i < j, les variables Yi et Yj sont-elles indépendantes ?
Si non, calculer la covariance de Yi et Yj . Calculer la variance de Y1+…+Yn
c- Quel renseignement l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit-elle sur la variable
Y  Y2  ... Yn
?
Zn  1
n
d- La loi faible des grands nombres s’applique-t-elle à la suite de variables Z n ? Son résultat est-il néanmoins vérifié ?
14a.
b.
c.
d.
15-
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles à valeurs dans {0, 1}, dont la loi conjointe est :
P([X = 0]  [Y = 0]) = , P([ X=0 ]  [ Y=1 ]) = , P( [X=1]  [Y=0]) = - p, P( [X=1]  [Y=1]) = p
Quelles sont les conditions que doit vérifier p pour que ces égalités définissent une loi conjointe ?
Reconnaître alors les lois de X et Y
Calculer cov(X, Y ), et le coefficient de corrélation.
Comment choisir p pour que X et Y soient indépendantes ?
On considère une urne contenant b boules blanches et n boules noires. ( On pourra noter : p =
Quand on tire une boule, on la remet dans l'urne avec c autres de la même couleur.
)
Soit Xn =
b.
b.
c.
d.
e.
16-
a.
b.
Pour m  IN*, on note Sm =
Donner les lois de probabilités de X1 et de X2. Comparer ces deux lois.
Quelle est la loi de Xm sachant que Sm-1 = k ?
En déduire par récurrence que la loi de Xm et la loi de X1 sont identiques.
Calculer E(Sm).
Quel est le nombre moyen de boules noires restant dans l'urne après le m-ième tirage ?
Une urne contient 20 boules : il y a 20% de boules rouges, 30% de noires et 50% de blanches.
On effectue des tirages successifs avec remise de 8 boules dans cette urne. X désigne le nombre de boules rouges, Y le
nombre de noires, et Z le nombre de blanches.
Définir la loi du triplet (X; Y;Z) .
Indiquer les lois suivies par les variables aléatoires X, Y , Z, X + Y , X + Z, et Y + Z, en déduire les valeurs des
espérances : E(X), E(Y ), E(Z). Combien vaut la variance V(X + Y + Z) ?