ECS 2 Vecteurs aléatoires discrets B B ] [1,0 ] [1,0

ECS 2 Vecteurs aléatoires discrets
I Pour s’approprier le cours
1- X et Y sont deux variables indépendantes, de lois respectives
)25,0;3(B
et
)5,0;5(B
Quelle est la probabilité que X = Y ?
2- X et Y sont deux variables indépendantes de même loi :
2/13/16/1:Proba
210:Valeurs
Soient S = X+Y et P = XY.
Donner la loi du couple(S, P) ; en déduire les lois de S et P. Sont-elles indépendantes ?
3- X, Y, Z sont des variables mutuellement indépendantes, de loi uniforme sur {1, 2,..., n}.
Donner les probabilités des événements X+Y = Z, X+Y+Z = n+1, X+Y = 2Z.
4- On jette une pièce fournissant pile avec la probabilité
1,0p
. On appelle X le nombre de jets consécutifs fournissant le
même résultat que le 1er jet, et Y le nombre de jets consécutifs fournissant le même résultat que le (X+1)e jet.
Par exemple, si l’on obtient (pile, pile, face, face, face, pile,...), alors X =2 et Y = 3.
Fournir :
- la loi de X et son espérance.
- la loi du couple (X, Y).
- la loi de Y et son espérance.
5- Soient X et Y deux variables de Poisson indépendantes. Déterminer la loi conditionnelle de Y sachant X+Y=n.
6- X et Y sont deux variables indépendantes à valeurs dans N telles que :
n
pqnYPnXPn  )()(N
où
1,0p
et
pq 1
.
On pose M = min(X, Y) et D = X-Y.
Fournir la loi du couple (M, D) ; en déduire les lois de M et D.
M et D sont-elles indépendantes ?
7- Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles à valeurs dans IN2, de loi conjointe :
 (j, k)  IN2, P(X = j, Y = k) = 
a. Déterminer .
b. X et Y sont-elles indépendantes ?
c. Calculer l’espérance de la variable 2X+Y .
8- On considère une urne contenant b boules blanches et n boules noires. ( On pourra noter : p = 
)
Quand on tire une boule, on la remet dans l'urne avec c autres de la même couleur.
Soit Xn = 
Pour m  IN*, on note Sm = 
a. Donner les lois de probabilités de X1 et de X2. Comparer ces deux lois.
b. Quelle est la loi de Xm sachant que Sm-1 = k ?
c. En déduire par récurrence que la loi de Xm et la loi de X1 sont identiques.
d. Calculer E(Sm).
e. Quel est le nombre moyen de boules noires restant dans l'urne après le m-ième tirage ?
9- On lance n pièces qui fournissent pile avec une probabilité p, puis on relance les pièces qui ont fourni pile. On note X le
nombre de piles obtenus lors des n premiers lancers, et Y le nombre de piles obtenus lors des lancers suivants.
Donner la loi conditionnelle de Y sachant X=k et en déduire la loi de Y.
II Pour aller plus loin
10- Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire trois boules successivement et sans remise.
On note Xk le numéro de la kème boule tirée.
La loi conjointe de ( X1,X2, X3 ) a été étudiée en cours.
On pose : M = Max ( X1 , X2 , X3 ) et N = Min ( X1 , X2 , X3 )

a. Donner la loi conjointe de ( X1 , X2 , X3)
b. Donner la loi de M et de N.
c. Expliciter la matrice des variances-covariances de ( X1 , X2 , X3 , M , N )
d. En déduire V( X1 + 2 X2 + 3 X3 – M – N )
11- Soient X, Y deux variables aléatoires à valeurs dans N telles que :
ji
b
a
jYetiXPji   )(,
.
- Quelle condition doivent vérifier a et b ?
- X et Y sont-elles indépendantes ?
- Pour quelles valeurs du réel s la variable
X
sZ 
a-t-elle une espérance ?
12- Le nombre de personnes N se présentant à un bureau de poste suit une loi de Poisson de paramètre .
Une personne vient avec une probabilité p pour poster un envoi, et une probabilité q = 1 − p pour une autre
opération (0 < p < 1). On suppose que chaque personne n’effectue qu’une opération, et qu’elles font ces opérations
indépendamment les unes des autres.
On note X le nombre de personnes venant poster une lettre, et Y le nombre de personnes venant pour une autre
opération.
a. Quelle est la loi de X sachant N = j ?
b. Déterminer la loi conjointe du couple (X,N).
c. En déduire la loi de X. Donner sans calcul les valeurs de E(X) et V (X).
d. Montrer que X et Y sont indépendantes
e. En utilisant la relation N = X + Y , calculer cov(X,N). Commenter le signe.
f. Calculer le coefficient de corrélation X,N. N peut-elle être une fonction affine de Y ?
13- Soit Xn une suite de variables aléatoires indépendantes, chacune prenant les valeurs 1 et 0 avec les probabilités
1,0p
et
pq 1
.
Soit, pour n 1, Yn = Xn-1Xn.
a- Fournir la loi de Yn, son espérance et sa variance.
b- Pour i < j, les variables Yi et Yj sont-elles indépendantes ?
Si non, calculer la covariance de Yi et Yj . Calculer la variance de Y1+…+Yn
c- Quel renseignement l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit-elle sur la variable
n
YYY
Zn
n
...
21
?
d- La loi faible des grands nombres s’applique-t-elle à la suite de variables
n
Z
? Son résultat est-il néanmoins vérifié ?
14- Soient X et Y deux variables aléatoires réelles à valeurs dans {0, 1}, dont la loi conjointe est :
P([X = 0]  [Y = 0]) = 
 , P([ X=0 ]  [ Y=1 ]) =   , P( [X=1]  [Y=0]) =   - p, P( [X=1]  [Y=1]) = p
a. Quelles sont les conditions que doit vérifier p pour que ces égalités définissent une loi conjointe ?
b. Reconnaître alors les lois de X et Y
c. Calculer cov(X, Y ), et le coefficient de corrélation.
d. Comment choisir p pour que X et Y soient indépendantes ?
15- On considère une urne contenant b boules blanches et n boules noires. ( On pourra noter : p = 
)
Quand on tire une boule, on la remet dans l'urne avec c autres de la même couleur.
Soit Xn = 
Pour m  IN*, on note Sm = 
b. Donner les lois de probabilités de X1 et de X2. Comparer ces deux lois.
b. Quelle est la loi de Xm sachant que Sm-1 = k ?
c. En déduire par récurrence que la loi de Xm et la loi de X1 sont identiques.
d. Calculer E(Sm).
e. Quel est le nombre moyen de boules noires restant dans l'urne après le m-ième tirage ?
16- Une urne contient 20 boules : il y a 20% de boules rouges, 30% de noires et 50% de blanches.
On effectue des tirages successifs avec remise de 8 boules dans cette urne. X désigne le nombre de boules rouges, Y le
nombre de noires, et Z le nombre de blanches.
a. Définir la loi du triplet (X; Y;Z) .
b. Indiquer les lois suivies par les variables aléatoires X, Y , Z, X + Y , X + Z, et Y + Z, en déduire les valeurs des
espérances : E(X), E(Y ), E(Z). Combien vaut la variance V(X + Y + Z) ?