ECS 2 Vecteurs aléatoires discrets ( éléments de correction ) ] [1,0

ECS 2 Vecteurs aléatoires discrets ( éléments de correction )
I Pour s’approprier le cours
3- X, Y, Z sont des variables mutuellement indépendantes, de loi uniforme sur {1, 2,..., n}.
Donner les probabilités des événements X+Y = Z, X+Y+Z = n+1, X+Y = 2Z.
4- On jette une pièce fournissant pile avec la probabilité
1,0p
. On appelle X le nombre de jets consécutifs fournissant le
même résultat que le 1er jet, et Y le nombre de jets consécutifs fournissant le même résultat que le (X+1)e jet.
Par exemple, si l’on obtient (pile, pile, face, face, face, pile,...), alors X =2 et Y = 3.
Fournir :
- la loi de X et son espérance.
- la loi du couple (X, Y).
- la loi de Y et son espérance.
X() = IN* et  k  IN*, P[X=k] = p qk + q pk avec q = 1-p
E(X) = 
 i,j  IN*, P[ (X=i)  (Y=j) ] = pi+1 qj + pj qi+1
Y() = IN* et  j  IN*, P[Y=j] = pj-1 q² + p² qj-1
E(Y) = 2
6- X et Y sont deux variables indépendantes à valeurs dans N telles que :
n
pqnYPnXPn  )()(N
où
1,0p
et
pq 1
.
On pose M = min(X, Y) et D = X-Y.
Fournir la loi du couple (M, D) ; en déduire les lois de M et D.
M et D sont-elles indépendantes ?
M() = IN et D() = 
i  IN,  j   , P[ (M=i)  (D=j)] = 
 et  i  IN, P[M=i] = p (1+q) q2i ;  j  , P[D=j] = 
Le calcul de P[ (M=i)  (D=j)] et de P[M=i] P[D=j] montre que M et D sont indépendantes
8- On considère une urne contenant b boules blanches et n boules noires. ( On pourra noter : p = 
)
Quand on tire une boule, on la remet dans l'urne avec c autres de la même couleur.
Soit Xn = 
Pour m  IN*, on note Sm = 
a. Donner les lois de probabilités de X1 et de X2. Comparer ces deux lois.
b. Quelle est la loi de Xm sachant que Sm-1 = k ?
c. En déduire par récurrence que la loi de Xm et la loi de X1 sont identiques.
d. Calculer E(Sm).
e. Quel est le nombre moyen de boules noires restant dans l'urne après le m-ième tirage ?
a. X1() = { 0 , 1 } , X1 suit la loi de Bernoulli de paramètre p = 
La loi de X2 s’obtient par la formule des probabilités totales :
P[ X2 = 1 ] = P[ X1 = 0 ] P[X1=0] [ X2 = 1 ] + P[ X1 = 1 ] P[X1=1] [ X2 = 1 ] = p donc X2 suit la même loi B(p) que X1.
b. Sachant [ Sm-1 = k ] , on a tiré k noires et (m-1-k) blanches au cours des (m-1) premiers tirages. Donc l’urne contient (n+kc) noires et
(n+b+(m-1)c) boules : P[ S(m-1) = k ] [ Xm = 1 ] = n+kc
n+b+(m-1)c .
La loi conditionnelle de Xm sachant [Sm-1=k] est la loi de Bernoulli de paramètre n+kc
n+b+(m-1)c .
c. Xm() = {0,1} donc Xm suit une loi de Bernoulli.
D’après la formule des probabilités totales : P[Xm = 1 ] = 
k=1
m-1
P[Sm-1=k] P[S(m-1)=k] [Xm = 1 ]
D’après b) on obtient : P[Xm=1 ] = n
n+b+(m-1)c 
k=1
m-1
P[Sm-1 = k ] + c
n+b+(m-1)c 
k=1
m-1
k P[Sm-1 = k ]

= = n
n+b+(m-1)c . 1 + c n+b+(m-1)c E( Sm-1 )
On raisonne par récurrence forte.
On sait que X1 et X2 suivent la même loi de Bernoulli B(p)
Soit m un entier supérieur ou égal à 3. Supposons que X1 , … , Xm-1 suivent la même loi B(p)
Alors E(Sm-1) = E(X1) + … + E(Xm-1) = (m-1) p = (m-1) 
Donc P[Xm = 1 ] = n
n+b+(m-1)c . 1 + c n+b+(m-1)c (m-1) 
 = 
Ainsi Xm suit la même loi de Bernoulli que les autres.
d. E(Sm) = m 
 = m p ( par linéarité de l’espérance )
e. Le nombre de noires contenues dans l’urne après le mème tirage est n + c Sm et sa moyenne est donc par linéarité de l’espérance :
n + c E(Sm) = n + mpc.
9- On lance n pièces qui fournissent pile avec une probabilité p, puis on relance les pièces qui ont fourni pile. On note X le
nombre de piles obtenus lors des n premiers lancers, et Y le nombre de piles obtenus lors des lancers suivants.
Donner la loi conditionnelle de Y sachant X=k et en déduire la loi de Y.
La loi conditionnelle de Y sachant [ X=k] est la loi binomiale B(k,p)
Un calcul simple donne la loi de Y : loi binomiale B(n , p²)
II Pour aller plus loin
10- Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire trois boules successivement et sans remise.
On note Xk le numéro de la kème boule tirée.
La loi conjointe de ( X1,X2, X3 ) a été étudiée en cours.
On pose : M = Max ( X1 , X2 , X3 ) et N = Min ( X1 , X2 , X3 )
a. Donner la loi conjointe de ( X1 , X2 , X3)
b. Donner la loi de M et de N.
c. Expliciter la matrice des variances-covariances de ( X1 , X2 , X3 , M , N )
d. En déduire V( X1 + 2 X2 + 3 X3 – M – N )
12- Le nombre de personnes N se présentant à un bureau de poste suit une loi de Poisson de paramètre .
Une personne vient avec une probabilité p pour poster un envoi, et une probabilité q = 1 − p pour une autre
opération (0 < p < 1). On suppose que chaque personne n’effectue qu’une opération, et qu’elles font ces opérations
indépendamment les unes des autres.
On note X le nombre de personnes venant poster une lettre, et Y le nombre de personnes venant pour une autre
opération.
a. Quelle est la loi de X sachant N = j ?
b. Déterminer la loi conjointe du couple (X,N).
c. En déduire la loi de X. Donner sans calcul les valeurs de E(X) et V (X).
d. Montrer que X et Y sont indépendantes
e. En utilisant la relation N = X + Y , calculer cov(X,N). Commenter le signe.
f. Calculer le coefficient de corrélation X,N. N peut-elle être une fonction affine de Y ?
a. La loi de X sachant [ N = j ] est la loi binomiale B(j,p)
b. i, j  IN, P[ (X=i)  (N=j) ] = 
c. On utilise la formule des probabilités totales avec le sce (N=j)j  IN et on obtient X  P (p)
d.  i, j  IN, P[ (X=i)  (Y=j) ] = P[ (X=i)  (N=i+j) ] = P[X=i] P[Y=j] car Y  P (q)
e. cov(X,N) = cov ( X , X+Y) = cov(X,X) + cov(X,Y) = V(X) =  p
 p 0 donc X et N sont fonction croissante l’une de l’autre.
f. X,N =   ] 0 , 1 [ et par symétrie Y,N =   ] 0 , 1 [ donc N ,’est pas une fonction affine de X ni de Y.

13- Soit Xn une suite de variables aléatoires indépendantes, chacune prenant les valeurs 1 et 0 avec les probabilités
1,0p
et
pq 1
.
Soit, pour n 1, Yn = Xn-1Xn.
a- Fournir la loi de Yn, son espérance et sa variance.
b- Pour i < j, les variables Yi et Yj sont-elles indépendantes ?
Si non, calculer la covariance de Yi et Yj . Calculer la variance de Y1+…+Yn
c- Quel renseignement l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit-elle sur la variable
n
YYY
Zn
n
...
21
?
d- La loi faible des grands nombres s’applique-t-elle à la suite de variables
n
Z
? Son résultat est-il néanmoins vérifié ?
14- Soient X et Y deux variables aléatoires réelles à valeurs dans {0, 1}, dont la loi conjointe est :
P([X = 0]  [Y = 0]) = 
 , P([ X=0 ]  [ Y=1 ]) =   , P( [X=1]  [Y=0]) =   - p, P( [X=1]  [Y=1]) = p
a. Quelles sont les conditions que doit vérifier p pour que ces égalités définissent une loi conjointe ?
b. Reconnaître alors les lois de X et Y
c. Calculer cov(X, Y ), et le coefficient de corrélation.
d. Comment choisir p pour que X et Y soient indépendantes ?
a 0  p  
 et la somme des probabilités est bien égale à 1
b. X et Y suivent des lois de Bernoulli de paramètres respectifs 
 et   + p
c. cov ( X,Y) = E(XY) – E(X) E(Y) = P[(X=1)  (Y=1) ] – E(X) E(Y) = p - 
 (   + p ) = 
d. Si cov (X,Y) ≠ 0 ( p ≠ 
 ) alors X et Y ne sont pas indépendantes.
Si cov(X,Y) = 0, on doit revenir à la définition de l’indépendance.
P[ (X=1)  (Y=1) ]= 
 et P(X=1) P(Y=1) =   (   + p )=   = P[X=1] P[Y=1]
Quand deux événements sont indépendants il en va de même si on remplace l’un ou plusieurs événements par leur contraire et donc X,Y
sont indépendantes si et seulement si p = 
 .
15- On considère une urne contenant b boules blanches et n boules noires. ( On pourra noter : p = 
)
Quand on tire une boule, on la remet dans l'urne avec c autres de la même couleur.
Soit Xn = 
Pour m  IN*, on note Sm = 
a. Donner les lois de probabilités de X1 et de X2. Comparer ces deux lois.
b. Quelle est la loi de Xm sachant que Sm-1 = k ?
c. En déduire par récurrence que la loi de Xm et la loi de X1 sont identiques.
d. Calculer E(Sm).
e. Quel est le nombre moyen de boules noires restant dans l'urne après le m-ième tirage ?
Même exercice que le 8
16- Une urne contient 20 boules : il y a 20% de boules rouges, 30% de noires et 50% de blanches.
On effectue des tirages successifs avec remise de 8 boules dans cette urne. X désigne le nombre de boules rouges, Y le
nombre de noires, et Z le nombre de blanches.
a. Définir la loi du triplet (X; Y;Z) .
b. Indiquer les lois suivies par les variables aléatoires X, Y , Z, X + Y , X + Z, et Y + Z, en déduire les valeurs des
espérances : E(X), E(Y ), E(Z). Combien vaut la variance V(X + Y + Z) ?