I Propagation du son dans un barreau - Université Paris-Sud

Universit´ e Paris-Sud 2014/2015
L3 Physique : parcours PAPP & MECA Physique statistique
Examen du 8 janvier 2015
Dur´ee : 3h
Seuls documents autoris´es : les deux polycopi´es de cours ; les calculatrices coll`ege sont
autoris´ees.
On note kBet hles constantes de Boltzmann et de Planck, β= 1/(kBT)et ~=h/(2π).
I Propagation du son dans un barreau
Formulaire : int´egrale gaussienne : Z∞
−∞
e−Ax2dx =rπ
A.
cos acos b= ( cos(a+b) + cos(a−b))/2
sin asin b= ( cos(a−b)−cos(a+b))/2
sin acos b= ( sin(a+b) + sin(a−b))/2
cos(a+b) = cos acos b−sin asin b
sin(a+b) = sin acos b+ cos asin b
A´ Etude du barreau
On ´etudie d’abord un mod`ele simple de solide en forme de barreau. On consid`ere un
barreau tridimensionnel constitu´e de Natomes classiques, identiques, de masse m. Chaque
atome vibre autour d’une position fixe si bien que l’on peut les consid´erer discernables.
On suppose que la vibration des atomes est harmonique, de pulsation ω, de sorte que le
hamiltonien total du solide s’´ecrit
H=
N
X
i=1 k~pik2
2m+1 2mω2k~qik2.
o`u ~qiest la position de l’atome i(d´efinie autour de son point d’´equilibre) et ~pison impul-
sion.
Le barreau est cylindrique, de longueur Lselon l’axe Ox et de surface Sdans le plan
yOz, de sorte que le volume total s’´ecrit V=LS. Il est maintenu `a une temp´erature T.
1. Dans quel ensemble d’´equilibre doit-on ´etudier ce syst`eme ?
2. Calculer la fonction de partition Z, en montrant qu’elle se factorise, puis donner
son expression en fonction de kBT,~,ωet N.
3. Montrer que l’´energie interne du barreau s’´ecrit U=hEi= 3N kBT.
Est-elle conforme au th´eor`eme d’´equipartition ?
1

B Excitation phonique
On envoie une onde sonore longitudinale dans le barreau selon la direction Ox. Les
positions ~qi= (xi, yi, zi) des atomes deviennent (xi+δx, yi, zi) et la modulation s’´ecrit :
δx =asin(ω1t−k1x)
o`u ω1est la pulsation du son et k1son vecteur d’onde. La vitesse ~vi=~pi/m des particules
est ´egalement modul´ee. On a (vxi, vyi, vzi)→(vxi +δvx, vyi, vzi), o`u δvx=d(δx)/dt.
1. Calculer δvx.
2. La temp´erature locale est d´efinie `a l’´echelle d’un atome ipar 1
Ti=1
kBh1 2mk~vik2it+h1 2mω2k~qik2it
o`u la moyenne h· · ·it= lim
t→∞
1
tZt
0
(···)dt′est ici la moyenne temporelle.
Calculer la variation de temp´erature δTiau voisinage de l’atome lors du passage
de l’onde. Montrer qu’il apparaˆıt, en autres, des termes hvxiδvxitet hxiδxit.
3. On supposera, pour simplifier les ´ecritures, que xi=q0cos ωt. En d´eduire que les
termes vxiδvxet xiδx sont des combinaisons lin´eaires de cos ω±tet sin ω±t, o`u on
d´efinit ω±=ω±ω1.
4. Montrer l’expression δTi≃mω2a2
4kB
en admettant que la pulsation du son v´erifie
ω1≪ωet que les moyennes temporelles valent
hcos ω′tit= 0 hsin ω′tit= 0 h(cos ω′t)2it=1
2et h(sin ω′t)2it=1 2
pour tout ω′6= 0, ce que vous justifierez bri`evement.
Comme δTine d´epend pas de l’atome i, on notera dor´enavant cette quantit´e δT . En
r´ealit´e, l’onde est rapidement absorb´ee et ne touche que les atomes situ´es sur une section
longitudinale de longueur δl, de sorte qu’on peut, de fa¸con grossi`ere, estimer le gradient
de temp´erature sur la surface par dT
dx ≈δT δl .
5. Application num´erique. On utilise les donn´ees suivantes :
m≃5,5 10−26 kg ; ω≃109rad s−1S= 1 cm2
kB≃1,38 10−23 m2kg s−2K−1;a≃10−12 m
δl ≃10−9m ; λ≃60 Wm−1K−1(conductivit´e thermique).
En utilisant la loi de Fourier, calculer jqle courant de chaleur induit par l’onde,
puis W, le flux de chaleur `a travers la surface S.
6. La vitesse du son dans le barreau est v1≈5000 m/s. Sachant que le barreau fait
5 cm, calculer le temps τqu’une impulsion sonore met `a le parcourir d’un bord `a
l’autre ; en d´eduire l’´energie dissip´ee par cette onde ; donner sa valeur en Joule.
1. On devrait la d´efinir sur une cellule microscopique, mais on proc`ede ainsi pour simplifier les calculs.
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II Gaz de photons thermalis´e
Les photons sont des bosons de potentiel chimique nul. Chaque ´etat quantique de
pulsation ωkest d´eg´en´er´e deux fois, ce qui correspond aux deux ´etats de polarisation du
photon. Dans cet exercice, on va ´etudier les propri´et´es thermodynamiques d’un gaz de
photons dans une boˆıte `a l’´equilibre avec un thermostat `a la temp´erature T.
On rappelle que l’´energie d’un photon est donn´ee par εk=~ωk=~ck, avec c, la
vitesse de la lumi`ere dans le vide et k=k~ kk, le module du vecteur d’onde. En consid´erant
des conditions aux bords p´eriodiques, les composantes de ce vecteur sont quantifi´ees selon
ki=2π
Lnidans la direction i(i=x, y `a deux dimensions, i=x, y, z `a trois dimensions)
avec ni∈Z, les dimensions de la boˆıte ´etant Lselon toutes les directions.
Dans toute la suite de l’exercice, on travaillera dans la limite d’une distribution conti-
nue des ´etats quantiques : pour une fonction de la pulsation f(ω), on pourra ´ecrire
X
k
f(ωk)→Z∞
0
f(ω)D(ω)dω, avec D(ω) la densit´e d’´etats dans l’espace des pulsations.
Formulaire :
∀n > 0ζ(n+ 1) = 1
Γ(n+ 1) Z∞
0
xn
ex−1dx =−1 Γ(n)Z∞
0
xn−1ln(1 −e−x)dx ;
Γ(1) = Γ(2) = 1 ; Γ(n+ 1) = nΓ(n) ; Γ(n+ 1) = n! quand n∈N;
ζ(2) = π2
6;ζ(3) ≃1,202 ; ζ(4) = π4 90 .
A Gaz de photons `a deux dimensions
Dans cette premi`ere partie, on consid`ere un gaz de photons `a la temp´erature Tcontenu
dans un domaine bidimensionnel carr´e d’aire A=L2.
1. Montrer que D(ω) = A
πc2ω.
2. ` A l’aide du r´esultat pr´ec´edent, du facteur d’occupation de Planck et des relations
math´ematiques donn´ees dans l’introduction, d´eterminer l’expression du nombre
moyen de photons hNien fonction des param`etres pertinents du probl`eme. V´erifier
l’homog´en´eit´e du r´esultat.
3. On d´efinit θ(ω, T ), la densit´e spectrale d’´energie par unit´e de surface, telle que
hEi/A =Z∞
0
θ(ω, T )dω. D´eterminer θ(ω, T ) `a l’aide de l’expression de D(ω).
4. En d´eduire l’expression de hEi, l’´energie moyenne du gaz dans le domaine d’aire A.
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B Gaz de photons `a trois dimensions
Dans cette deuxi`eme partie, on consid`ere un gaz de photons `a une temp´erature T
contenu dans un domaine cubique de volume V=L3. Nous allons reprendre les questions
pr´ec´edentes, puis d´eterminer la pression de radiation.
1. ´ Etablir l’expression de D(ω) en fonction de Vet des autres param`etres pertinents
du probl`eme.
2. ` A l’aide du r´esultat pr´ec´edent, du facteur d’occupation de Planck et des relations
math´ematiques donn´ees dans l’introduction, d´eterminer l’expression du nombre
moyen de photons hNien fonction des param`etres pertinents du probl`eme.
3. On d´efinit u(ω, T ), la densit´e spectrale d’´energie par unit´e de volume, telle que
hEi/V =Z∞
0
u(ω, T )dω. D´eterminer u(ω, T ) `a l’aide de l’expression de D(ω).
4. En d´eduire l’expression de hEi, l’´energie moyenne du gaz dans le volume V.
5. Justifier que le grand potentiel Jet l’´energie libre Fsont la mˆeme fonction ther-
modynamique pour les photons. L’´energie libre Fd’un tel syst`eme est donn´ee par
la relation :
F=kBTZ∞
0
D(ω) ln(1 −e−β~ω)dω .
Justifier cette relation et d´eterminer l’expression de F`a l’aide des relations math´ema-
tiques donn´ees en introduction.
6. ` A l’aide des relations thermodynamiques entre Fet les autres fonctions d’´etat,
d´eterminer l’expression de l’entropie Set donner la relation entre Set hEi.
7. D´eterminer l’expression de p, la pression du gaz de photons, appel´ee pression de
radiation. Donner pen fonction de hEiet ´etablir l’´equation d’´etat pour ce gaz.
8. Donner l’expression de Fen fonction de hEi. En appliquant la relation de Gibbs
J=−pV , retrouver l’expression de pen fonction de hEi.
9. Application num´erique. Pour quelle temp´erature Tobtient-on une pression de
1 atm ? Quelle est la pression de radiation pour une temp´erature de T= 106K ?
10. On peut utiliser cette pression de radiation pour se propulser `a la mani`ere d’un
bateau. Quel type de mat´eriau doit-on utiliser pour les voiles ?
Valeur des constantes physiques : h= 6,62 10−34 Js ; c= 3 108ms−1;kB= 1,38 10−23 JK−1.
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