I Propagation du son dans un barreau - Université Paris-Sud

Université Paris-Sud
L3 Physique : parcours PAPP & MECA
2014/2015
Physique statistique
Examen du 8 janvier 2015
Durée : 3h
Seuls documents autorisés : les deux polycopiés de cours ; les calculatrices collège sont
autorisées.
On note kB et h les constantes de Boltzmann et de Planck, β = 1/(kB T ) et ~ = h/(2π).
I
Propagation du son dans un barreau
Formulaire : intégrale gaussienne :
cos a cos b
sin a sin b
sin a cos b
cos(a + b)
sin(a + b)
A
=
=
=
=
=
Z
∞
e
−Ax2
−∞
dx =
r
π
.
A
( cos(a + b) + cos(a − b))/2
( cos(a − b) − cos(a + b))/2
( sin(a + b) + sin(a − b))/2
cos a cos b − sin a sin b
sin a cos b + cos a sin b
Étude du barreau
On étudie d’abord un modèle simple de solide en forme de barreau. On considère un
barreau tridimensionnel constitué de N atomes classiques, identiques, de masse m. Chaque
atome vibre autour d’une position fixe si bien que l’on peut les considérer discernables.
On suppose que la vibration des atomes est harmonique, de pulsation ω, de sorte que le
hamiltonien total du solide s’écrit
N X
k~pi k2 1
2
2
.
H=
+ mω k~qi k
2m
2
i=1
où ~qi est la position de l’atome i (définie autour de son point d’équilibre) et p~i son impulsion.
Le barreau est cylindrique, de longueur L selon l’axe Ox et de surface S dans le plan
yOz, de sorte que le volume total s’écrit V = LS. Il est maintenu à une température T .
1. Dans quel ensemble d’équilibre doit-on étudier ce système ?
2. Calculer la fonction de partition Z, en montrant qu’elle se factorise, puis donner
son expression en fonction de kB T , ~, ω et N .
3. Montrer que l’énergie interne du barreau s’écrit U = hEi = 3N kB T .
Est-elle conforme au théorème d’équipartition ?
1
B
Excitation phonique
On envoie une onde sonore longitudinale dans le barreau selon la direction Ox. Les
positions ~qi = (xi , yi , zi ) des atomes deviennent (xi + δx, yi , zi ) et la modulation s’écrit :
δx = a sin(ω1 t − k1 x)
où ω1 est la pulsation du son et k1 son vecteur d’onde. La vitesse ~vi = p~i /m des particules
est également modulée. On a (vxi , vyi , vzi ) → (vxi + δvx , vyi , vzi ), où δvx = d(δx)/dt.
1. Calculer δvx .
2. La température locale est définie à l’échelle d’un atome i par 1
1
1
1
2
2
2
Ti =
h mk~vi k it + h mω k~qi k it
kB
2
2
Z
1 t
(· · ·)dt′ est ici la moyenne temporelle.
où la moyenne h· · ·it = lim
t→∞ t 0
Calculer la variation de température δTi au voisinage de l’atome lors du passage
de l’onde. Montrer qu’il apparaı̂t, en autres, des termes hvxi δvx it et hxi δxit .
3. On supposera, pour simplifier les écritures, que xi = q0 cos ωt. En déduire que les
termes vxi δvx et xi δx sont des combinaisons linéaires de cos ω± t et sin ω± t, où on
définit ω± = ω ± ω1 .
mω 2 a2
4. Montrer l’expression δTi ≃
en admettant que la pulsation du son vérifie
4kB
ω1 ≪ ω et que les moyennes temporelles valent
hcos ω ′ tit = 0
hsin ω ′ tit = 0
h(cos ω ′ t)2 it =
1
2
et h(sin ω ′ t)2 it =
1
2
pour tout ω ′ 6= 0, ce que vous justifierez brièvement.
Comme δTi ne dépend pas de l’atome i, on notera dorénavant cette quantité δT . En
réalité, l’onde est rapidement absorbée et ne touche que les atomes situés sur une section
longitudinale de longueur δl, de sorte qu’on peut, de façon grossière, estimer le gradient
dT
δT
de température sur la surface par
≈
.
dx
δl
5. Application numérique. On utilise les données suivantes :
m ≃ 5,5 10−26 kg ; ω ≃ 109 rad s−1 S = 1 cm2
kB ≃ 1,38 10−23 m2 kg s−2 K−1 ; a ≃ 10−12 m
δl ≃ 10−9 m ; λ ≃ 60 Wm−1 K−1 (conductivité thermique).
En utilisant la loi de Fourier, calculer jq le courant de chaleur induit par l’onde,
puis W , le flux de chaleur à travers la surface S.
6. La vitesse du son dans le barreau est v1 ≈ 5000 m/s. Sachant que le barreau fait
5 cm, calculer le temps τ qu’une impulsion sonore met à le parcourir d’un bord à
l’autre ; en déduire l’énergie dissipée par cette onde ; donner sa valeur en Joule.
1. On devrait la définir sur une cellule microscopique, mais on procède ainsi pour simplifier les calculs.
2
II
Gaz de photons thermalisé
Les photons sont des bosons de potentiel chimique nul. Chaque état quantique de
pulsation ωk est dégénéré deux fois, ce qui correspond aux deux états de polarisation du
photon. Dans cet exercice, on va étudier les propriétés thermodynamiques d’un gaz de
photons dans une boı̂te à l’équilibre avec un thermostat à la température T .
On rappelle que l’énergie d’un photon est donnée par εk = ~ωk = ~ck, avec c, la
vitesse de la lumière dans le vide et k = k~kk, le module du vecteur d’onde. En considérant
des conditions aux bords périodiques, les composantes de ce vecteur sont quantifiées selon
ki = 2π
n dans la direction i (i = x, y à deux dimensions, i = x, y, z à trois dimensions)
L i
avec ni ∈ Z, les dimensions de la boı̂te étant L selon toutes les directions.
Dans toute la suite de l’exercice, on travaillera dans la limite d’une distribution continue des étatsZ quantiques : pour une fonction de la pulsation f (ω), on pourra écrire
∞
X
f (ω)D(ω)dω, avec D(ω) la densité d’états dans l’espace des pulsations.
f (ωk ) →
0
k
Formulaire :
∀n > 0
A
Z ∞
Z ∞
1
xn
1
dx = −
xn−1 ln(1 − e−x )dx ;
ζ(n + 1) =
Γ(n + 1) 0 ex − 1
Γ(n) 0
Γ(1) = Γ(2) = 1 ; Γ(n + 1) = nΓ(n) ; Γ(n + 1) = n! quand n ∈ N ;
π2
π4
ζ(2) =
;
ζ(3) ≃ 1,202 ;
ζ(4) =
.
6
90
Gaz de photons à deux dimensions
Dans cette première partie, on considère un gaz de photons à la température T contenu
dans un domaine bidimensionnel carré d’aire A = L2 .
A
ω.
πc2
2. À l’aide du résultat précédent, du facteur d’occupation de Planck et des relations
mathématiques données dans l’introduction, déterminer l’expression du nombre
moyen de photons hN i en fonction des paramètres pertinents du problème. Vérifier
l’homogénéité du résultat.
1. Montrer que D(ω) =
3. On définitZ θ(ω, T ), la densité spectrale d’énergie par unité de surface, telle que
∞
hEi/A =
θ(ω, T )dω. Déterminer θ(ω, T ) à l’aide de l’expression de D(ω).
0
4. En déduire l’expression de hEi, l’énergie moyenne du gaz dans le domaine d’aire A.
3
B
Gaz de photons à trois dimensions
Dans cette deuxième partie, on considère un gaz de photons à une température T
contenu dans un domaine cubique de volume V = L3 . Nous allons reprendre les questions
précédentes, puis déterminer la pression de radiation.
1. Établir l’expression de D(ω) en fonction de V et des autres paramètres pertinents
du problème.
2. À l’aide du résultat précédent, du facteur d’occupation de Planck et des relations
mathématiques données dans l’introduction, déterminer l’expression du nombre
moyen de photons hN i en fonction des paramètres pertinents du problème.
3. On définitZ u(ω, T ), la densité spectrale d’énergie par unité de volume, telle que
∞
hEi/V =
u(ω, T )dω. Déterminer u(ω, T ) à l’aide de l’expression de D(ω).
0
4. En déduire l’expression de hEi, l’énergie moyenne du gaz dans le volume V .
5. Justifier que le grand potentiel J et l’énergie libre F sont la même fonction thermodynamique pour les photons. L’énergie libre F d’un tel système est donnée par
la relation :
Z ∞
F = kB T
D(ω) ln(1 − e−β~ω )dω .
0
Justifier cette relation et déterminer l’expression de F à l’aide des relations mathématiques données en introduction.
6. À l’aide des relations thermodynamiques entre F et les autres fonctions d’état,
déterminer l’expression de l’entropie S et donner la relation entre S et hEi.
7. Déterminer l’expression de p, la pression du gaz de photons, appelée pression de
radiation. Donner p en fonction de hEi et établir l’équation d’état pour ce gaz.
8. Donner l’expression de F en fonction de hEi. En appliquant la relation de Gibbs
J = −pV , retrouver l’expression de p en fonction de hEi.
9. Application numérique. Pour quelle température T obtient-on une pression de
1 atm ? Quelle est la pression de radiation pour une température de T = 106 K ?
10. On peut utiliser cette pression de radiation pour se propulser à la manière d’un
bateau. Quel type de matériau doit-on utiliser pour les voiles ?
Valeur des constantes physiques : h = 6,62 10−34 Js ; c = 3 108 ms−1 ; kB = 1,38 10−23 JK−1 .
4