Probabilités

Rappels de 1ère S en probabilité
Probabilité sur un univers : Soit Ω = {x1 ; x2 ;…… ; xn} un univers, une loi de probabilité sur Ω est la donnée de n
nombres réels positifs
tels que pour tout i = 1,2,…, n
P({xi}) et
.
Avec l’univers Ω et sa loi de probabilité, une expérience aléatoire est entièrement modélisée.
La probabilité d’un événement , sous ensemble de l’univers Ω, se calcule en faisant la somme des
indices i tels que
. (on dit aussi « tel que réalise A ».)
Enfin pour tous événements A et B :
Lorsque
, on dit que A et B sont incompatibles.
pour tous les
.
Exemple
sont incompatibles.
Variables aléatoires :
Définitions :
Une variable aléatoire X est une application de l’univers Ω dans IR.
La variable aléatoire X permet de définir une nouvelle loi de probabilité sur Ω :
soit x1,x2, …,xi,.. ,xn les valeurs prises par X,
on note (X = xi) l’événement : « X prend la valeur xi » pour tout i = 1,…n.
la loi de probabilité de X est la liste des valeurs pi , probabilités des événements (X = xi) :
pi = P (X = xi) .
i=n
l’espérance de X est le nombre E(X) = 
pi xi .
i=1
i=n
i=n
i=1
i=1
la variance de X est V(X) =  pi (xi – E(X) )2 = 
–
.
exemple : On lance une pièce de monnaie 3 fois de suite. Soit X le nombre de « Face » qui sont apparues.
Images de quelques éventualités par la variable aléatoire X : X (FPF) = 2 X (PPP) = 0 X(
) = 3.
X prend les valeurs 0, 1, 2 ou 3
Loi de probabilité de X :
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
1
3
3
1 12
+ 1 + 2 + 3 =
= 1,5 .
L’espérance est donc une moyenne pondérée.
8
8
8
8 8
1
3
3
1 9
3
3
9
24 3
V(X) = (0–1,5)²  + (1– 1,5)² + (2 – 1,5)² + (3–1,5)² =
+ +
+
=
= = 0,75
8
8
8
8 32 32 32 32 32 4
E(X) = 0
Loi binomiale :
Lorsque l’on répète n fois une même expérience de façon indépendante (càd telle que le résultat aléatoire d’une
quelconque expérience est indépendant du résultat des expériences qui l’ont précédé et de celles qui vont lui succéder)
et que l’on s’intéresse à la réalisation d’un événement S (appelé succès) dont la probabilité lors d’une expérience est p,
on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de fois où S est réalisé sur les n expériences.
Propriété : X suit une loi binomiale, de paramètres n et p, c’est à dire que, pour tout entier
on a :
En particulier : « rien que des échecs » :
« au moins 1 succès » :
« exactement 1 succès » :
,
Théorème :
,
a) les nombres
vérifient la relation génératrice « issue du triangle de Pascal » :
b)
où
Et il faut connaître :
(lire factoriel n)
utiliser la calculatrice lorsque n devient grand.
.
Rappels de 1ère S en probabilité
Loi binomiale (suite et fin) :
avec les notations de la propriété sur la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, on a :
L’espérance de X :
et
la Variance de X :
.
Propriétés de calcul, bien utiles, sur l’espérance et de la variance d’une variable aléatoire :
Pour tous réels a et b,
.
Exercices :
1. Avec un dé à 6 faces, bien équilibré, quel est le plus probable :
Obtenir exactement 1 six en 2 lancers, ou obtenir exactement 2 six en 4 lancers ?
2. Un jeu consiste à lancer deux dés cubiques, bien équilibrés, 20 fois de suite. On gagne 10 € lorsque l’on obtient un
« double six ».
a) déterminer la probabilité de gagner au moins 10 € (il n’y a pas de mise initiale à ce jeu)
b) déterminer l’espérance de gain à ce jeu.
c) Justifier avec votre calculatrice que la probabilité de gagner exactement 40 € est inférieure à 0,002 et que l’on a plus
d’une chance sur deux de ne rien gagner !
3. Un QCM comporte 10 questions indépendantes et pour chaque question 3 réponses sont proposées dont une seule
est exacte.
Une personne répond au hasard à ce QCM, et on note X le nombre de réponses correctes.
a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Par lecture graphique (cf ci-dessous) déterminer les valeurs de P(X=2) et P (X=6)
c) Une personne prétend qu’en répondant au hasard, elle a plus d’une chance sur 3 d’avoir au moins 5 réponses
correctes. Qu’en pensez-vous ?
d) On attribue 2 points par réponse correcte. Déterminer l’espérance du nombre de points d’une personne répondant
au hasard.
e) On souhaite qu’une personne répondant au hasard ne se voit attribuer aucun point en moyenne. Pour cela on
attribue 2 points pour chaque réponse correcte et on retire a points pour chaque réponse erronée, a étant un réel
positif.
On appelle Z le nombre de points attribués, avec la nouvelle règle, à une personne ayant répondu au QCM.
Montrer que
, puis calculer l’espérance de Z.
En déduire la valeur de a rendant E(Z) nulle.
Probabilité
Nombre de réponses correctes