Rappels de 1ère S en probabilité
Probabilité sur un univers : Soit = {x1 ; x2 ;…… ; xn} un univers, une loi de probabilité sur est la donnée de n
nombres réels positifs tels que pour tout i = 1,2,…, n P({xi}) et .
Avec l’univers et sa loi de probabilité, une expérience aléatoire est entièrement modélisée.
La probabilité d’un événement , sous ensemble de l’univers pour tous les
indices i tels que . (on dit aussi « tel que réalise A ».)
Enfin pour tous événements A et B : .
Lorsque , on dit que A et B sont incompatibles. Exemple
sont incompatibles.
Variables aléatoires :
Définitions : Une variable aléatoire X est une application de l’univers Ω dans IR.
La variable aléatoire X permet de définir une nouvelle loi de probabilité sur Ω :
soit x1,x2, …,xi,.. ,xn les valeurs prises par X,
on note (X = xi) l’événement : « X prend la valeur xi » pour tout i = 1,…n.
la loi de probabilité de X est la liste des valeurs pi , probabilités des événements (X = xi) : pi = P (X = xi) .
l’espérance de X est le nombre E(X) =
i=1
i=n
pi xi .
la variance de X est V(X) =
i=1
i=n
pi (xi – E(X) )2 =
i=1
i=n
.
exemple : On lance une pièce de monnaie 3 fois de suite. Soit X le nombre de « Face » qui sont apparues.
Images de quelques éventualités par la variable aléatoire X : X (FPF) = 2 X (PPP) = 0 X( ) = 3.
X prend les valeurs 0, 1, 2 ou 3
Loi de probabilité de X :
E(X) = 0 1
8 + 1 3
8 + 2 3
8 + 3 1
8 = 12
8 = 1,5 . L’espérance est donc une moyenne pondérée.
V(X) = (0–1,5)² 1
8 + (1– 1,5)² 3
8 + (2 – 1,5)² 3
8 + (3–1,5)² 1
8 = 9
32 + 3
32 + 3
32 + 9
32 = 24
32 = 3
4 = 0,75
Loi binomiale :
Lorsque l’on répète n fois une même expérience de façon indépendante (càd telle que le résultat aléatoire d’une
quelconque expérience est indépendant du résultat des expériences qui l’ont précédé et de celles qui vont lui succéder)
et que l’on s’intéresse à la réalisation d’un événement S (appelé succès) dont la probabilité lors d’une expérience est p,
on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de fois où S est réalisé sur les n expériences.
Propriété : X suit une loi binomiale, de paramètres n et p, c’est à dire que, pour tout entier on a :
En particulier : « rien que des échecs » :
« au moins 1 succès » :
« exactement 1 succès » :
Théorème :
a) les nombres
vérifient la relation génératrice « issue du triangle de Pascal » :
b)
où (lire factoriel n) utiliser la calculatrice lorsque n devient grand.
Et il faut connaître :
.