DS 1

Devoir surveillé n°1 01/10/12
Exercice 1
On pose, pour tout n ∈ ℕ, Un = 32n+1 + 2n+2.
1. Démontrer que pour tout entier naturel n, Un+1 = 2Un + 7×32n+1.
,
2. Montrer que
Il s’agit de la somme des termes d’une suite arithmétique de raison 1.
Ainsi :
∈ℕ
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, Un est divisible par 7.
On utilise un raisonnement par récurrence.
Posons Hn l’hypothèse de récurrence
U
Initialisation :
U
Hérédité :
Supposons qu’il existe un rang n pour lequel Hn soit vraie, c’est-à-dire :
U
Montrons que Hn+1 est vraie, c’est-à-dire :
U
Or 7 divise 2Un d’après Hn, et 7 divise 7× 32n+1.
On peut donc conclure que 7 divise la somme 2Un + 7
C’est-à-dire 7 divise Un+1.
Conclusion : Pour tout entier naturel n, on a Hn vraie.
Exercice 2
1. Dresser la liste des diviseurs de 150.
Les diviseurs de 150 sont -150, -75, -50, -30, -25, -15, -10, -6, -5, -3, -2, -1, 1,
2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.
3. Trouver les entiers naturels n tel que la somme des nombres n, n+1, …
2n divise 225.
Notons S cette somme. Dire que S divise 225 revient à écrire 225 = S×k avec
k entier.
Ainsi en multipliant par 2, on obtient 450 = 2S×k et en divisant par 3, on
obtient :
On peut donc dire que n et n+1 sont des diviseurs de 150.
D’après la question 1, les seuls diviseurs consécutifs de 150 sont 1,2 ou 2,3
ou 5,6.
Donc n = 1, 2 ou 5.
Exercice 3
Supposons p et q deux entiers naturels tels que
1. Montrer que si n est pair alors n² aussi.
Si n est pair alors n=2k avec k entier. Ainsi n² = 4k² est pair.
La réciproque est-elle vraie ? Justifier.
La réciproque est vraie car le carré d’un nombre impair est impair. Ainsi si le
carré d’un entier n est pair, forcément n est pair.
2. Exprimer p² en fonction de q² puis montrer que p² est pair.
D’après la définition,
On peut donc dire que p² est pair car q² ∈ ℕ.
Que peut-on en déduire sur p ?
D’après la première question, p est alors pair.
3. Posons p = 2k, k ∈ ℕ. Montrer que q est pair.
On a vu que
Ainsi q² est pair et par conséquent q est pair.
4. Peut-on trouver p et q deux entiers tels que
Non, si
avait une telle écriture alors p et q seraient divisibles par 2 et la
fraction ne serait pas irréductible. Ce qui est absurde.
5. Que peut-on en déduire sur
?
Ce nombre est alors un irrationnel.