Géométrie du plan et de l`espace LE PLAN ET L`ESPACE AFFINES

G´eom´etrie du plan et de l’espace
LE PLAN ET L’ESPACE AFFINES
A. ESPACES ET APPLICATIONS AFFINES
1. D´efinitions et premi`eres propri´et´es
La th´eorie peut ˆetre d´evelopp´ee pour un corps Kquelconque mais nous sup-
poserons ici que Kest le corps des nombres r´eels R. A moins d’indication contraire,
espace vectoriel veut dire espace vectoriel sur Rde dimension finie.
D´efinition. Un espace affine dirig´e par un espace vectoriel ~ Eest un ensemble E
sur lequel le groupe additif (~ E,+) agit (`a droite) librement et transitivement. On
note l’action
E⇥~ E!E
(P,~a)7! P+~a
On a donc
(i) P+~a=P)~a=~ 0;
(ii) pour tout couple (P, Q)2E⇥E, il existe ~a2~ Etel que Q=P+~a.De
plus, d’apr`es (i), ~aest unique. On le note ~a=! PQ.
Les ´el´ements de Esont appel´es points et ceux de ~ Esont appel´es vecteurs.
Exemple.
Quand on oublie son origine O, un espace vectoriel ~ Edevient un espace affine
E. Par exemple, un ´element de R2peut ˆetre vu comme un point P=(x, y) ou
comme un vecteur ! OP =✓x
y◆. Etant donn´e un point Pet un vecteur ~a, on d´efinit
Q=P+~apar ! OQ =! OP +~a. Cette d´efinition ne d´epend pas de l’origine : pour
un point O0quelconque, on a encore ! O0Q=! O0P+~a.
Proposition. L’application qui `a un couple de points (P, Q)2E⇥Eassocie le
vecteur ! PQ tel que Q=P+! PQ v´erifie :
(i) Relation de Chasles : ! AB +! BC =! AC.
(ii) ! AB =~ 0,A=B.
(iii) ! AB =! BA.
(iv) ! AB =! DC ,! AD =! BC.
D´efinition. Un rep`ere affine d’un espace affine (E, ~ E)est un couple R=(O;B)
o`u Oest un point de Eet B=(e1,...,e
n)est une base de ~
E.

Tout point Pde Epeut ˆetre ´ecrit de mani`ere unique
P=O+
n
X
i=1
xi~ei.
On dit que (x1,...,x
n) sont les coordonn´ees de Pdans le rep`ere Ret on ´ecrit
P=(x1,...,x
n)R.
2. Sous-espaces affines.
D´efinition. Soit (E, ~ E)un espace affine, Fun sous-ensemble de Eet ~ Fun sous-
espace vectoriel de ~ E. On dit que (F, ~ F)est un sous-espace affine si
(i) P2Fand ~a2~ F)P+~a2F;
(ii) (P, Q)2F⇥F)! PQ 2F.
Un sous-espace affine (F, ~ F) satisfait la d´efinition d’un espace affine. Sa dimension
est la dimension de ~ F. Une droite affine est sous-espace affine de dimension un.
Un plan affine est un sous-espace affine de dimension deux.
Proposition. Soit (E, ~ E)un espace affine.
(i) Soit (F, ~ F)un sous-espace affine ; alors pour tout P2F, on a F=P+~ F;
(ii) R´eciproquement, ´etant donn´e un point Pde Eet un sous-espace vectoriel
~
Fde ~ E,F=P+~ Fest un sous-espace affine dirig´e par ~ F.
On dit que P+~ Fest le sous-espace affine passant par Pet dirig´e par ~ F.
Le choix d’une base (~a1,...,~ap)de ~ Fdonne une ´equation param´etrique du sous-
espace affine P+~ F: tout point de ce sous-espace affine peut ˆetre ´ecrit
Q=P+
p
X
i=1
i~aiavec (1,...,p)2Rp.
Par exemple, l’´equation param´etrique de la droite passant par le point P0et dirig´ee
par le vecteur ~aest
P=P0+~a, 2R.
Dans un rep`ere affine R=(O, B)deE, cela donne avec P=(x1,...,x
n)R,
P0=(x(0)
1,...,x
(0)
n)Ret ~a=(ai)B
xi=x(0)
i+ai.
Les sous-espaces affines peuvent ˆetre ´egalement d´efinis par des ´equations cart´e-
siennes, c’est-`a-dire une ´equation lin´eaire ou un syst`eme d’´equations lin´eaires. Cela
suppose qu’on a choisi un rep`ere affine Rde E.
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Par exemple, l’´equation cart´esienne d’une droite affine dans un plan affine muni
d’un rep`ere affine Rest de la forme
ax +by +c=0 o`u (a, b)6=(0,0).
L’´equation cart´esienne d’un plan affine dans un espace affine de dimension 3 muni
d’un rep`ere affine Rest de la forme
ax +by +cz +d=0 o`u (a, b, c)6=(0,0,0).
Les d´eterminants sont utiles pour obtenir de telles ´equations.
Exemple 1.
Droite du plan passant par le point P0et dirig´ee par le vecteur ~a.
Avec P0=(x0,y
0)et~a=✓a
b◆, cette droite est donn´ee par l’´equation cart´esienne :
xx0a
yy0b
=0
Exemple 2.
Plan dans l’espace passant par un point P0et dirig´e par le sous-espace vectoriel
engendr´e par deux vecteurs ~aet ~ b
Avec P0=(x0,y
0,z 0), ~a=0
@
a1
a2
a3
1
Aet ~
b=0
@
b1
b2
b3
1
A, l’´equation cart´esienne de ce plan
est :
xx0a1b1
yy0a2b2
zz0a3b3
=0
3. Applications affines.
D´efinition. Soit (E, ~ E)et (F, ~ F)deux espaces affines. On dit qu’une application
f:E!Fest affine s’il existe une application lin´eaire u:~ E!~ Ftelle que
8(P,~a)2E⇥~ E, f(P+~a)=f(P)+u(~a).
On note qu’alors, l’application lin´eaire uest unique. On l’appelle partie lin´eaire
de fet on la note u=f#.
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Exemples.
1) Les applications affines f:R!Rsont les applications de la forme f(x)=ax+b
o`u a, b 2R. On note que si g(x)=cx +d,fg(x)=acx +ad +b.
2) Quand E=~ Eet F=~ F, les applications lin´eaires u:~ E!~ Fsont affines avec
u#=u.
3) Les translations sont d’autres exemples importants d’applications affines.
D´efinition. Soit (E, ~ E)un espace affine et ~a2~ E. On appelle translation de
vecteur ~al’application ⌧~a:E!Ed´efinie par ⌧~a(P)=P+~a.
Proposition. Soit (E, ~ E)un espace affine.
(i) Pour tout ~a2~ E, la translation ⌧~aest une application affine et sa partie
lin´eaire est l’application identique Id~
E.
(ii) R´eciproquement, si f:E!Eest une application affine telle que f#=Id~
E,
alors fest une translation.
Proposition. La compos´ee gfde deux applications affines fet gest une
application affine et on a (gf)#=g#f#.
Proposition. Soit (E, ~ E)et (F, ~ F)des espaces affines. Pour tout couple (A, B)2
E⇥Fet toute application lin´eaire u:~ E!~ F, il existe une application affine
f:E!Fet une seule telle que
(i) f(A)=Bet
(ii) f#=u
D´efinition. Soit (E, ~ E)un espace affine, A2Eet 2R. On appelle homoth´etie
de centre Aet de rapport l’unique application affine h:E!Etelle que
(i) h(A)=Aet
(ii) h#est l’homoth´etie vectorielle de rapport .
Proposition. Soit (E, ~ E)un espace affine. Toute application affine f:E!E
dont la partie lin´eaire f#est une homoth´etie vectorielle de rapport 6=1est une
homoth´etie.
4. Le groupe des automorphismes affines.
D´efinition. Soit G, H deux groupes et ✓:h7! ✓hun morphisme de Hdans le
groupe Aut(G)des automorphismes de G. La multiplication d´efinie sur G⇥H
par :
(g1,h
1)(g2,h 2)=(g1+✓h1(g2),h 1h2)
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o`u on a not´e Gadditivement et Hmultiplicativement, est une loi de groupe. Ce
groupe est appel´e produit semi-direct de Gpar Het est not´e Go✓H.
D´efinition. Soit (E, ~ E)un espace affine. Un automorphisme affine est une appli-
cation affine inversible de Edans E. On note GA(E)le groupe des automorphismes
affines de E(la loi de groupe est la composition). On note T(E)le sous-groupe
des translations.
Proposition. Soit (E, ~ E)un espaces affine.
(i) L’application f7! f#est un morphisme surjectif GA(E)!GL(~ E)dont le
noyau est T(E).
(ii) T(E)est un sous-groupe normal de GA(E).
(iii) Pour tout f2GA(E)et tout ~a2~ E, on a f⌧~af1=⌧f#(~a).
L’action canonique d’un automorphisme u2GL(~ E)surunvecteur~a2~ Edonne
un morphisme ✓:GL(~ E)!Aut(~ E,+).
Th´eor`eme. Soit (E, ~ E)un espaces affine et A2E. L’application
A:GA(E)!~ Eo✓GL(~ E)
d´efinie par (f)=(
  !
Af(A),f#), est un isomorphisme de groupes.
5. Projections et sym´etries.
Definition. Soit (E, ~ E)un espaces affine, Fun sous-espace affine et ~ Gun sous-
espace vectoriel suppl´ementaire de ~ F.
(i) La projection sur Fparall`element `a ~ Gest l’application affine ⇡:E!F
qui envoie M2Esur l’unique point de l’intersection F\(M+~ G).
(i) La sym´etrie par rapport `a Fparall`element `a ~ Gest l’application affine
s:E!Equi envoie M=⇡(M)+~z,o`uz2~ Gsur s(M)=⇡(M)~z.
B. BARYCENTRES EN G´ EOM´ ETRIE AFFINE
1. Barycentres
D´efinition. Soit (E, ~ E)un espace affine. Une famille de points pond´er´es est une
famille (Ai,i)i2Io`u pour tout i2I,Ai2Eet i2R. On supposera toujours
que Iest un ensemble fini et que Pi2Ii6=0.
Proposition. Soit (Ai,i)i2Iune famille de points pond´er´es d’un espace affine
E. Alors
(i) Il existe un unique G2Etel que PIi! GAi=~ 0.
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