Quelques résultats de transcendance

Quelques résultats de transcendance
Ce texte traite des résultats et conjectures classiques de transcendance, ainsi que d’applications
élémentaires des résultats énoncés.
I- Les nombres transcendants
1) Définitions
Def : Un nombre complexe a est dit algébrique s’il est racine d’un polynôme (non nul) à coefficients
entiers. Sinon, a est dit transcendant. On note ¯Q l’ensemble des nombres algébriques.
Prop : ¯Q est un sous-corps de C.
2) Le nombre de Liouville
Théorème : Le nombre de Liouville
Dm : a) l est irrationnel (par l’absurde)
b) l transcendant (par l’absurde)
est transcendant.
II- Théorèmes
Théorème (Hermite-Lindemann) : Soit a un nombre complexe non nul, algébrique.
Alors exp(a) est transcendant.
Corollaire 1 : Les nombres e et sont transcendants.
Dm du corollaire: e : théorème avec a=1. : Par l’absurde avec i
Corollaire 2 : a réel >0 différent de 1algébrique implique log(a) transcendant.
Dm : Par l’absurde.
Théorème (Gelfond-Schneider) : Soient a et b algébriques, avec a non nul et b non rationnel.
Alors ab= exp(b* log(a)) est transcendant. Ex : 23^(1/2)
Théorème des 6 exponentielles : Soient x1 et x2 des nombres complexes, linéairement indépendants sur
Q. Soient y1, y2 et y3 des nombres complexes, linéairement indépendants sur Q.
Alors l’un au moins des six nombres exp(xi yj ) (i appartient à {1, 2}, j à {1, 2, 3}) est transcendant.
Corollaire : Soit t un nombre complexe tel que 2t, 3t et 5t soient entiers. Alors t est un entier.
Dm du corollaire : 1) t rationnel (par l’absurde et en utilisant le théorème
avec les familles (1,t) et (log(2),log(3),log(5) )
2) t entier.
III - Conjectures
Nous allons ici traiter des conjectures, c’est-à-dire des propositions qui sont vérifiées mais qu’on n’a
pas réussi à démontrer.
Def : a1,… ,an algébriquement indépendants sur Q s’il existe P(X1,…,Xn) à coefficients entiers tels
que P(a1,… ,an)=0. Ex : Liouville l et l² ne sont pas algébriquement indépendants (bien que
transcendants) avec P(X1,X2)= X2 – X1.
Not : Q(a1,… ,an), noté L, le plus petit sous-corps de C contenant a1,… ,an.
Def : Le degré de transcendance de L est le nombre maximum d’éléments de L alg. indépendants.
Conjecture : Soient a1,…, an complexes linéairement indépendants sur Q, alors le degré de
transcendance de Q(a1,… ,an) est supérieur ou égal à n.
Ex : On peut ainsi montrer que i et e sont algébriquement indépendants à partir de a1=1 et a2=i .
Conjecture des 4 exponentielles (voir celle de 6 avec ici deux familles de deux éléments)
Corollaire : t complexe tel que 2t et 3t soient entiers, alors t entier.
Dm : Idem pour les 6 exponentielles (sauf que pour les 6 exponentielles, le théorème a été démontré,
alors que ce corollaire découle d’une conjecture).