Théorème de Comparaison pour EDO 1-dim - IMJ-PRG

2013/14 EDO
Université Paris Diderot Équation Différentielles Ordinaires
Théorème de Comparaison pour EDO 1-dim
On va montrer deux résultats très utiles dans l’étude qualitatif des EDO
autonomes et non-autonomes en dimension 1.
Théorème 1 (Comparaison des solutions).Soient f, g :R×R→Rdeux
fonction Lipschitz. On considere les solutions x(·)et y(·)des problèmes de
Cauchy
(x0(t) = f(t, x(t))
x(t0) = x0(y0(t) = g(t, y(t)) y(t0) = y0
(1)
Supposons que f(t, x)≤g(t, x)pour tout (t, x)∈R×Ret que x0≤y0.
Alors x(t)≤y(t)pour tout t≥t0.
Démonstration. On considère seulement le cas x0=y0. (Faire le cas x0< y0
comme exercice !). Posons w(t) := x(t)−y(t). On obtient
w0(t) = f(t, x(t)) −g(t, y(t)) (2)
=f(t, x(t)) −g(t, x(t)) + g(t, x(t)) −g(t, y(t)) (3)
≤g(t, x(t)) −g(t, y(t)) ≤C|x(t)−y(t)|(4)
≤C|w(t)|(5)
où on a utilisé le fait que f(t, x(t)) −g(t, x(t)) ≤0et Cdénote la constante
de Lipschitz de g. On veut montrer que l’ensemble
E={t≥t0, w(t)>0}
est vide. Supposons qu’il existe ¯ t > t0tel que ¯ t∈E, i.e., w(¯ t)>0. Par
continuité w(t)>0dans une intervalle Icontenant ¯ t. L’inégalité (2)-(5)
devient
w0(t)≤Cw(t),∀t∈I.
Comme w(t0) = x0−y0= 0, en utilisant [Proposition 2, Feuille Gronwall
Lemma] on obtient w(t)≤0pour tout t∈I, ce qui contredit le fait que E
soit non vide.
Avec le même argument on pourra montrer le corollaire suivant.
Corollaire 1. (Inegalité différentielle) Soit f:R×R→Rune fonction
Lipschitz et x0∈R. Soient x(·), y(·)deux fonction de classe C1telles que
(x0(t)< f(t, x(t))
x(t0) = x0(y0(t) = f(t, y(t)) y(t0) = x0
(6)
Alors x(t)< y(t)pour tout t>t0.
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