Théorème de Comparaison pour EDO 1-dim - IMJ-PRG

2013/14
Université Paris Diderot
EDO
Équation Différentielles Ordinaires
Théorème de Comparaison pour EDO 1-dim
On va montrer deux résultats très utiles dans l’étude qualitatif des EDO
autonomes et non-autonomes en dimension 1.
Théorème 1 (Comparaison des solutions). Soient f, g : R × R → R deux
fonction Lipschitz. On considere les solutions x(·) et y(·) des problèmes de
Cauchy
(
(
y 0 (t) = g(t, y(t))
x0 (t) = f (t, x(t))
(1)
y(t0 ) = y0
x(t0 ) = x0
Supposons que f (t, x) ≤ g(t, x) pour tout (t, x) ∈ R × R et que x0 ≤ y0 .
Alors x(t) ≤ y(t) pour tout t ≥ t0 .
Démonstration. On considère seulement le cas x0 = y0 . (Faire le cas x0 < y0
comme exercice !). Posons w(t) := x(t) − y(t). On obtient
w0 (t) = f (t, x(t)) − g(t, y(t))
(2)
= f (t, x(t)) − g(t, x(t)) + g(t, x(t)) − g(t, y(t))
(3)
≤ g(t, x(t)) − g(t, y(t)) ≤ C|x(t) − y(t)|
(4)
≤ C|w(t)|
(5)
où on a utilisé le fait que f (t, x(t)) − g(t, x(t)) ≤ 0 et C dénote la constante
de Lipschitz de g. On veut montrer que l’ensemble
E = {t ≥ t0 , w(t) > 0}
est vide. Supposons qu’il existe t̄ > t0 tel que t̄ ∈ E, i.e., w(t̄) > 0. Par
continuité w(t) > 0 dans une intervalle I contenant t̄. L’inégalité (2)-(5)
devient
w0 (t) ≤ Cw(t),
∀ t ∈ I.
Comme w(t0 ) = x0 − y0 = 0, en utilisant [Proposition 2, Feuille Gronwall
Lemma] on obtient w(t) ≤ 0 pour tout t ∈ I, ce qui contredit le fait que E
soit non vide.
Avec le même argument on pourra montrer le corollaire suivant.
Corollaire 1. (Inegalité différentielle) Soit f : R × R → R une fonction
Lipschitz et x0 ∈ R. Soient x(·), y(·) deux fonction de classe C 1 telles que
(
(
x0 (t) < f (t, x(t))
y 0 (t) = f (t, y(t))
(6)
x(t0 ) = x0
y(t0 ) = x0
Alors x(t) < y(t) pour tout t > t0 .
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