Probabilité cylindriques et applications radonifiantes

ΠUVRES DE L AURENT S CHWARTZ
L AURENT S CHWARTZ
Probabilité cylindriques et applications radonifiantes
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 268 (1969), p. A646–A648
Extrait des Œuvres de Laurent Schwartz
publiées par la Société mathématique de France, 2011.
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Numérisation de documents anciens mathématiques
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G. R. Acad. Sc. Paris, t. 268, p. 646-648 (24 mars 1969).
Série A
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CALCUL DES PROBABILITÉS. — Probabilités cylindriques et applications
radonifiantes. Note (*) de M. LAURENT SCIIWARTZ, présentée par M. Paul
Lévy.
On détermine la condition nécessaire et suffisante pour que la multiplication
a : (X/i)neNh> (anXn)n€N soit une application radonifiante de \P dans /'/, o < p ^ + °o,
o <q ^ + oo. Les résultats de cette Note seront démontrés dans les Comptes rendus
du Colloque international d'Analyse de Tokyo (avril 1969).
DÉFINITIONS. — Une suite X = ( X n ) n € N de variables aléatoires réelles
est du type s, o O ^ - f " 0 0 ? si, pour toute suite c = (d) l l € N de nombres
réels appartenant à ls(k c° si s =-}-<*>), la série 2fC*Xn converge en
«€N
probabilité. Une suite oc = (a n ) n€N de nombres réels est dite du type
(s, q), o < C g ^ + °°> si, pour toute suite X de variables aléatoires du
type s, la suite a X = (a n X n ) n€ de variables aléatoires est presque
sûrement dans lfJ.
Soit Z = (Z,i)/l€N une suite de variables aléatoires indépendantes
équidistribuées symétriques. On dit qu'elle est spécialement du type s
(cela ne pourra se produire que pour 5 ^ 2 ) , si la série ^c^Zn converge
en probabilité si et seulement si cGl\ Par exemple, si les Zn prennent les
valeurs ± 1 avec la probabilité 1/2 (jeu de pile ou face), Z est spécialement
du type 2. Ceci subsiste si la loi suivie par les Zn a un moment d'ordre 2
fini. Si maintenant la loi suivie par les Zn est la loi stable de fonction
caractéristique exp(— \t\*)9 o < s ^ 2 , Z est spécialement du type s. On
dira que la suite a = (a n ) /l6N est faiblement du type (s9q)9 s'il existe une
suite Z, spécialement du type s, telle que aZ soit presque sûrement dans lq.
C'est évidemment une condition beaucoup plus faible que la précédente.
THÉRORÈME 1 (Principe de dualité).
type faible (s, q), elle est du type (q, s).
— Si la suite a = (a / l ) n € N est du
COROLLAIRE 1. — Pour s et g ^ 2 , a est du type (5, q) si et seulement si
elle est du type (q, s), ou si et seulement si elle est du type faible (s, q) ou (g, s).
COROLLAIRE
2. — La suite unité ( a n = i pour tout n) est du type (00, 2).
En effet, en prenant pour Z le jeu de pile ou face, on voit que a est du
type faible (2, oo). Ce résultat est un théorème connu de Kolmogorov (*) :
si la suite X = ( X „ ) / l € N de variables aléatoires est telle que, pour toute
suite c = (cn)nex tendant vers zéro à l'infini, ^ c n X n converge en prohabilité, alors ^ | X^ | converge presque sûrement.
COROLLAIRE 3. — La suite a est du type (s, q)9 pour s ^ 2 , ç ^ 2 , si et
seulement si a € l r , r = Min (s, q) sauf toutefois pour s = q<ii, auquel
cas la condition nécessaire et suffisante est a€Ï 7 ~, c est-à-dire
log«€N
II suffit en effet de prendre pour Z la suite de variables aléatoires indépendantes équidistribuées, suivant la loi stable d'indice s, et d'écrire que
a^Zn!7 converge presque sûrement; on applique le critère des deux
séries de Kolmorogov. Le résultat avait déjà été démontré dans Schwartz (2),
pour s — q^-i] la méthode n'était pas du tout celle-là, mais le principe
de dualité avait déjà été appliqué dans Schwartz (3). Le résultat relatif
à s = q = i est le théorème de Sazonov-Minlos.
THÉORÈME 2.
OCEZ'', r = Min (s,
— Pour que OL soit du type (s, g), il faut et il suffit que
g), sauf dans les cas exceptionnels suivants :
(a) s = q < 2 , auquel cas la condition est ocG^7";
(6) s > 5 ^ 2 , auquel cas la condition est a € ^ ;
(c) s> i> q, auquel cas la condition est agf", i/r = (1/5) + (i/ç) — W2)»
COROLLAIRE. — La suite unité ( a n = i pour tout n) est du type (s, q) si
et seulement si s = -\-oo et 5 ^ 2 .
Autrement dit, le cas de Kolmogorov était le seul possible (q^i résultant trivialement de q = i).
On peut alors passer aux applications radonifiantes, par dualité : la
multiplication par a est radonifiante de V\ i ^ p ^ H ™ 0 0 , muni de la
topologie de la norme, sauf pour p = + 00 où l'on doit le munir de la
topologie cr(r, Z1), dans lq, muni de la topologie de la norme, sauf pour
q = -\-ao où on doit le munir de la topologie G"(Z", Ï 1 ), si et seulement si
a est du type (p', q). Pour les applications radonifiantes, voir Schwartz (2).
Alors :
3. — La multiplication par a est radonifiante de lp dans lqy
i ^ p ^ - J - a o , o < g ^ + Q C 5 si et seulement si a€^, r = Min (p', q),
sauf dans les cas exceptionnels suivants :
(a) p ' = g < 2 , auquel cas la condition est a^Z7"";
(6) p'>q^i,
auquel cas la condition est a € i p ' ;
(c) p et g < 2 , auquel cas la condition est a € ^ 5 i/r== (1/2) + (i/ç) —(ï/p)THÉORÈME
1. — L'injection canonique lp-+lq est radonifiante, si et
seulement si p = i
COROLLAIRE
COROLLAIRE
2. — a est radonifiante de lp dans Z°°3 si et seulement si
OL
(3)
q
COROLLAIRE 3. — a est radonifiante de V dans l , q^i,
El1, sauf pour q = i9 ou la condition est aGll~.
si et seulement si
4. — a est radonifiante de lp dans lui-même, si et seulement si
y
, pour p ^ 2 , a€Ï 2 pour p ^ 2 .
COROLLAIRE
(*) Séance du 17 mars 1969.
(1) Voir KOLMOGOROV-KHINTCHINE, Math. Sbornik, 32, 1925, p . 677. Voir aussi, pour le
corollaire 1 du théorème 3 : S. KWAPIEN, Comptes rendus, 267, série A, 1968, p . 698.
(2) L. SCHWARTZ, Comptes rendus, 265, série A, 1967, p . 832; 266, série A, 1968, p . 7
et 5o.
(0 L. SCHWARTZ, Ist. Naz. Alta Mat. Symposia Matematica, II, 1968, p. 203-209.
(37, rue Pierre-Nicole, 15-Paris, 5e.)