Convergence et Estimation. 1 Convergence en probabilité. 2

ÉCS2 Convergence et Estimation.
1 Convergence en probabilité.
Soit (Xn)n∈Net Xdes v.a.r. sur (Ω,A,P). On dit que la suite (Xn)converge en
probabilité vers X(et on note si Xn
P
−→ X) si :
∀ε > 0,lim
n→+∞
P(Xn−X>ε)=0.
Pour montrer que (Xn)P −→ koù kest une v.a.r. constante, on dispose de :
1. Si (Xn)est une suite de v.a.r. indépendantes possédant une même espérance met
un même écart-type σet si Fn=X1+··· + Xn
nest la nème moyenne empirique
des Xn, alors
(Fn)converge en probabilité vers m(Loi faible des grands nombres) ;
2. ∀ε > 0,P(Xn−E(Xn)>ε)6
V(Xn)
ε2(Inégalité de Bienaymé-Tchebychev).
qui permet de conclure notamment si (∀n, E(Xn) = k, et V(Xn)−−−−−→
n→+∞0) ;
3. La définition de la convergence en probabilité :
si on peut calculer P(Xn−X>ε), on montre que P(Xn−X>ε)−−−−−→
n→+∞0
4. La composition par une fonction continue : si Xn=f(Yn)et si on arrive à montrer
que Yn
P
−→ k, alors Xn
P
−→ f(k)
5. Si Xest positive,
∀α > 0,P(X >α)6
E(X)
α(Inégalité de Markov).
Peut s’appliquer à une variable bien choisie : par exemple X = (Xn−k)2et α=ε2
donnent P(|Xn−k|>ε) = P((Xn−k)2>ε2)6
E(Xn−k)2
ε2...
2 Convergence en loi.
Soit (Xn)n∈Net Xdes v.a.r. sur (Ω,A,P). On dit que la suite (Xn)converge en loi
vers X(et on note Xn
L
−→ X) si :
en tout réel xoù FXest continue, lim
n→+∞FXn(x)=FX(x).
Pour montrer que (Xn)L −→ X,on dispose de :
1. La définition : lim
n→+∞FXn(x) = FX(x)pour tout xoù FXest continue ;
2. Si (Xn)n∈Net Xsont discrètes et vérifient ∀n∈N,Xn(Ω) ⊂Net X(Ω) ⊂N,
Xn
L
−→ X⇐⇒ ∀k∈N,lim
n→+∞
P(Xn=k) = P(X = k)
où on peut remplacer éventuellement Npar Z;
3. Le théorème limite central :
•soit (Xi)i∈N∗une suite de variables aléatoires indépendantes, toutes de même
loi, possédant une espérance met un écart-type non nul σ
σ
σ
•soit Sn=
n
X
i=1
Xiet Xn=1
nSn(nème moyenne empirique)
Alors X∗
n= S∗ n
L
−→ Xoù X→N(0; 1).
Remarque technique : savoir jongler avec S∗
net X∗ n.
E(Sn)lin. =nm,E(Xn)lin. =m,V(Sn)indép. =nσ2,V(Xn)indép. =σ2
n,
X∗
n=Xn−E(Xn)
σ(Xn)=√nXn−m
σ=nSn−nm
√nσ = S∗
n.
4. La composition par une fonction continue : si Xn=f(Yn)et si on arrive à montrer
que Yn
L
−→ k, alors Xn
L
−→ f(k)
5. Le théorème de Slutsky (attention à la nature des convergences) :
Xn
P
−→ c(constante)
Yn
L
−→ Y)⇒(XnYn
L
−→ cY
Xn+ Yn
L
−→ c+ Y
6. Un cas très particulier : la loi de Poisson, limite de la loi binomiale.
Soit λ > 0. Toute suite (Xn)n>λde v.a.r. de loi respective B(n, λ/n)converge en loi
vers une v.a.r. de loi de Poisson P(λ).
/Une suite de v.a.r. à densité peut converger en loi vers une v.a.r. discrète.
/Une suite de v.a.r. dicrètes peut converger en loi vers une v.a.r. à densité.
/La convergence en loi des v.a.r. à densité (Xn)vers une v.a.r. à densité Xn’entraîne
pas a priori la convergence des densités fXnvers fX.
3 Approximations usuelles en probabilité.
Pour calculer des valeurs approchées de probabilités,
on peut :
1. approcher B(n, p)par P(np)si n>30 et np 610 ;
2. approcher B(n, p)par N(np;np(1 −p)) si n>20, np >5et n(1 −p)>5;
3. approcher P(λ)par N(λ;λ)si λ>10.
/Si l’on approche une loi discrète par une loi à densité, il convient d’effectuer la correc-
tion de continuité.
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/Dans la pratique :
Si X→B(45; 1/3), la loi de Xpeut être approchée par celle de Y→N(15; 10) :
P(X = 15) 'P(14,56Y615,5) et P(8 6X615) 'P(7,56Y615,5).
4 Estimation ponctuelle.
Quelques définitions :
1. Lorsque X1,...,Xnsont nvariables indépendantes de même loi µθdépendant
d’un paramètre θqui peut prendre ses valeurs dans un intervalle Θ, on dit que
(X1,...,Xn)est un n-échantillon de µθ;
2. Un estimateur (de rang n) est une v.a.r. Tnfonction de X1,...,Xn;
3. Si : ∀n∈N∗,Eθ(Tn) = g(θ),Tnest un estimateur sans biais de g(θ);
4. Si : lim
n→+∞
Eθ(Tn) = g(θ),Tnest un estimateur asymptotiquement sans biais
de g(θ);
5. ∀n∈N∗, bθ(Tn) = Eθ(Tn)−g(θ)est le biais de Tn;
6. Le risque quadratique de Tnest rθ(Tn) = Eθ((Tn−g(θ))2);
7. L’estimateur Tnest convergent s’il tend en probabilité vers g(θ)quand ntend vers
+∞.
Pour calculer le risque quadratique,
1. rθ(Tn) = Vθ(Tn) + bθ(Tn)2;
2. En particulier, si Tnest sans bais, alors rθ(Tn) = Vθ(Tn).
Pour établir la convergence de l’estimateur,
1. si Tnest fonction continue f(Xn)de la moyenne empirique Xnde nv.a.r. possédant
une espérance met une variance, alors Tnest un estimateur convergent de f(m)(la
convergence de Xnvers mdécoulant de la loi faible des grands nombres) ;
2. sinon, il suffit d’avoir
rθ(Tn)−−−−−→
n→+∞0
pour affirmer que Tnconverge.
En particulier, si l’estimateur est sans biais ou s’il est asymptotiquement sans biais
(donc bθ(Tn)−−−−−→
n→+∞0), il suffit que :
Vθ(Tn)−−−−−→
n→+∞0
pour affirmer que Tnconverge.
5 Estimation par intervalle de confiance.
Quelques définitions :
5.1 Estimation par intervalle de confiance
Soit α∈[ 0 ; 1 ]. Soit (Un)n>1et (Vn)n>1deux suites d’estimateurs de g(θ). On dit que
[Un,Vn]est un intervalle de confiance de g(θ)au niveau de confiance 1−α(ou au risque
α) si, pour tout θde Θ,
Pθ([Un6g(θ)6Vn]) >1−α.
La réalisation sur un échantillon fournit une estimation de cet intervalle de confiance.
5.2 Estimation par intervalle de confiance asymptotique
Soit α∈[ 0 ; 1 ]. Soit (Un)n>1et (Vn)n>1deux suites d’estimateurs de g(θ). On dit que
[Un,Vn]est un intervalle de confiance asymptotique de g(θ)au niveau de confiance 1−α
(ou au risque α) si, pour tout θde Θ, il existe une suite (αn)n>1de réels de [ 0 ; 1 ], de
limite α, telle que :
∀n>1,Pθ([Un6g(θ)6Vn]) >1−αn.
La réalisation sur un échantillon fournit une estimation de cet intervalle de confiance
asymptotique.
5.3 Construction d’intervalles de confiance
Lorsque l’écart-type σn’est pas connu, on peut utiliser un estimateur convergent Snde
σconstruit à l’aide des Xi(ou/et de Xn).
Dans ce cas , on utilise le théorème de Slutsky :
Sn
P
−→ σ(>0)
X∗
n
L
−→ N(0; 1) )⇒σ
Sn
X∗
n
L
−→ N(0; 1)
Voir la fiche du même nom, notamment le paragraphe 3. Bilan.
Remarque sur les notations
La plupart des exercices ne cherchent pas à estimer g(θ)(i.e. une fonction quelconque
de θ) mais directement θ, puisque si Tn
P
−→ θ, alors g(Tn)P −→ g(θ)pourvu que gsoit
continue.
De plus, on ne s’encombre en général pas de la notation Pθ,Eθet Vθ, et on lui préfère
la notation usuelle P,Eet V.
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