TD

Correction proposée par le thésard DOUHOU ABDESSAMAD
On considère la suite fonctions ( fn )n∈N∗ définies sur l’intervalle [0, 1] par :
fn (x) =
( p
x 1 − nx si
0
si
0⩽x⩽
1
n
1
n
⩽ x ⩽ 1.
On suppose que p > 0. Donc on distingue deux cas : x = 0 et x ∈]0, 1]. Pour x = 0, on a fn (0) = 0 pour
tout n ∈ N∗ . Donc lim fn (0) = 0. On suppose maintenant que x ∈]0, 1]. Comme lim 1n = 0, on a
n→+∞
n→+∞
∀ε > 0 ∃nε ∈ N∗ ∀n ∈ N∗ n ⩾ nε =⇒
1
n
<ε .
Puisque 0 < x ⩽ 1, il existe nx ∈ N∗ tel que pour tout entier n ⩾ nx on a 1n < x ⩽ 1. On obtient fn (x) = 0
pour tout n ⩾ nx . Par suite, lim fn (x) = 0 pour tout n ⩾ nx . On conclut que
n→+∞
∀x ∈ [0, 1],
lim fn (x) = 0.
n→+∞
Ceci désigne, par définition, que la suite de fonctions ( fn )n∈N∗ converge simplement vers la fonction
C.S
nulle 0 sur l’intervalle [0, 1], et on écrit : fn −−−−→ 0 sur l’intervalle [0, 1].
n→+∞
Étudions maintenant la convergence uniforme la suite de fonctions ( fn )n∈N∗ vers la fonction nulle 0
sur l’intervalle [0, 1]. Pour ceci,n on fixe n ∈ N∗ . On a




| f (x)|, sup
| f (x)| .
∥ fn − 0∥∞,[0,1] = ∥ fn ∥∞,[0,1] = sup | fn (x)| = max  sup
h
i n
h
i n
1
x∈ 0, n
x∈[0,1]
1
x∈ n ,1
On remarque que la quantité x p 1 − nx est positive pour tout x ∈ 0, 1n . Donc, on a




∥ fn − 0∥∞,[0,1] = max  sup
x p 1 − nx , 0 = sup
x p 1 − nx .
h
i
h
i
1
x∈ 0, n
1
x∈ 0, n
Remarquons que si 0 < p < 1, la fonction φn : x 7→ x p 1 − nx n’est pas dérivable à droite de zéro. Alors,
il suffit d’étudier cette fonction sur 0, n1 . Pour tout x ∈ 0, n1 , on a
′
φn′ (x) = x p 1 − nx
= px p−1 1 − n(p+1)
x
.
p
p
n(p+1)
1
n,
Puisque p > 0, on a p + 1 > p > 0, donc 0 <
< ainsi la quantité px
1
p
sur 0, n en x = n(p+1) . De plus, on a le tableau suivant :
1
p−1
n(p+1)
1 − p x s’annule
x
p
n(p+1)
0
φn′ (x)
+
1
n
−
0
φn
p
n(p + 1)
φn
0
0
D’après ce tableau, on obtient
∥ fn − 0∥∞,[0,1] = ∥ fn ∥∞,[0,1] = sup
φ (x) = φn
h
i n
1
x∈ 0, n
p
n(p + 1)
=
Cp
pp
1
. p = p,
p+1
(p + 1)
n
n
pp
où C p =
est une constante réelle strictement positive qui dépend seulement de p. On sait que
(p + 1) p+1
1
la série numérique ∑ p est convergente si et seulement si p > 1. Comme la constante C p ne dépend pas
n⩾1 n
de n et de plus elle différente à zéro (C p > 0). Alors, la série numérique
∑ ∥ fn∥∞,[0,1] est convergente
n⩾1
si et seulement si p > 1. D’où, la série de fonctions
∑ fn converge normalement sur l’intervalle [0, 1] si
n⩾1
et seulement si p > 1. On déduite que si p > 1, alors la série de fonctions
∑ fn converge normalement,
n⩾1
uniformément et simplement sur l’intervalle [0, 1].
On suppose maintenant que 0 < p ⩽ 1. Dans ce cas, on n’a pas la convergence normale de la série de
fonctions ∑ fn , étudions donc sa convergence simple puis sa convergence uniforme.
n⩾1
Convergence simple : Pour x = 0, on a fn (0) = 0 pour tout n ∈ N∗ . Alors,
+∞
∑ fn(0) = 0.
Par suite,
n=1
la série numérique
∑ fn(0) est convergente.
Supposons que x ∈]0, 1]. Alors, il existe nx ∈ N∗ tel que
n⩾1
+∞
pour tout n ⩾ nx on a 1n ⩽ x ⩽ 1. Ainsi, pour tout n ⩾ nx +1 on a fn (x) = 0, ceci implique
∑
fn (x) = 0.
n=nx +1
D’où,
nx
+∞
∑
n=1
fn (x) =
∑
n=1
nx
+∞
fn (x) +
∑
fn (x) =
n=nx +1
∑ fn(x) = f1(x) + · · · + fnx (x)
existe et finie.
n=1
+∞
Par conséquent, pour tout x ∈ [0, 1], la somme
∑ fn(x) existe et finie. Donc la série de fonctions ∑ fn
n=1
n⩾1
converge simplement sur l’intervalle [0, 1].
2
Convergence uniforme : Pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ 0, 1n , on pose
+∞
S(x) =
∑ fn(x).
n=1
Soit n ∈ N∗ . Pour tout k ∈ N∗ , on a
fk
1
n+1
= 0 ⇐⇒
1
1
⩽
⇐⇒ k ⩾ n + 1.
k n+1
Alors, pour tout k ∈ N∗ , on a

1
S
n+1
k=+∞
=
∑
k=0
fk
1
n+1
k=n =
∑
k=0
1
n+1
p 1−
k
n+1
=
1
n+1

k=n
p k=n
∑k


 ∑ 1 − k=0 

n + 1
k=0

c’est-à-dire

n(n + 1)
p 1
n
1
n+1


2
+1 >
.
n + 1 −
=
p
n+1
n+1
2
(n + 1) 2

S
1
n+1
=
1
n+1
p
En utilisant le fait où 1 − p ⩾ 0 car 0 < p ⩽ 1, on obtient :
1
S
n+1
n+1
>
2
1−p
1
⩾ .
2
D’où,
1
lim S
n→+∞
n+1
1
⩾ .
2
Puisqu’on a S(0) = 0. On déduit alors que la fonction limite S n’est pas continue à droite de zéro.
k=n
Or toutes les fonctions fn sont continues sur [0, 1], ce qui assure les fonctions sommes Sn =
∑ fk sont
k=0
continues sur [0, 1]. D’autre part, on sait que la convergence uniforme garde la continuité pour la fonction
limite S. Alors, Sn ne converge pas uniformément vers S sur l’intervalle [0, 1], cela signifie que la série de
fonctions ∑ fk ne converge pas uniformément sur l’intervalle [0, 1]. Puisque le problème apparait ici en
k⩾0
zéro, choisissons un réel a ∈]0, 1[ et étudions la convergence uniforme de la série de fonctions
∑ fk sur
k⩾0
l’intervalle [a, 1]. D’après la définition, il existe na ∈ N∗ tel que pour tout n ⩾ na + 1 on a
∀n ⩾ na + 1 ∀x ∈ [a, 1] 1n ⩽ a ⩽ x ⩽ 1 .
3
1
n
⩽ a. Donc
Ainsi
∀n ⩾ na + 1 ∀x ∈ [a, 1] fn (x) = 0 .
Par suite,
∀n ⩾ na + 1 ∥ fn ∥∞,[a,1] = 0 .
Or, pour tout n = 0, . . . , na , la borne supérieure ∥ fn ∥∞,[a,1] est finie sur l’intervalle [a, 1] d’après le
théorème de Weierstrass puisque fn est continue et l’intervalle [a, 1] est un compact. On déduit que
k=na
n=+∞
∑
∥ fn ∥∞,[a,1] =
n=0
Par conséquent la série de fonctions
∑ ∥ fn∥∞,[a,1]
est finie .
k=0
∑ fk converge normalement sur tout intervalle [a, 1] où 0 < a < 1.
k⩾0
4