Correction proposée par le thésard DOUHOU ABDESSAMAD
On considère la suite fonctions (fn)n∈N∗définies sur l’intervalle [0,1]par :
fn(x) = (xp1−nxsi 0 ⩽x⩽1
n
0 si 1
n⩽x⩽1.
On suppose que p>0. Donc on distingue deux cas : x=0 et x∈]0,1]. Pour x=0, on a fn(0) = 0 pour
tout n∈N∗. Donc lim
n→+∞fn(0) = 0. On suppose maintenant que x∈]0,1]. Comme lim
n→+∞
1
n=0, on a
∀ε>0∃nε∈N∗∀n∈N∗n⩾nε=⇒1
n<ε.
Puisque 0 <x⩽1, il existe nx∈N∗tel que pour tout entier n⩾nxon a 1
n<x⩽1. On obtient fn(x) = 0
pour tout n⩾nx. Par suite, lim
n→+∞fn(x) = 0 pour tout n⩾nx. On conclut que
∀x∈[0,1],lim
n→+∞fn(x) = 0.
Ceci désigne, par définition, que la suite de fonctions (fn)n∈N∗converge simplement vers la fonction
nulle 0sur l’intervalle [0,1], et on écrit : fn
C.S
−−−−→
n→+∞0sur l’intervalle [0,1].
Étudions maintenant la convergence uniforme la suite de fonctions (fn)n∈N∗vers la fonction nulle 0
sur l’intervalle [0,1]. Pour ceci,n on fixe n∈N∗. On a
∥fn−0∥∞,[0,1]=∥fn∥∞,[0,1]=sup
x∈[0,1]
|fn(x)|=max
sup
x∈h0,1
ni
|fn(x)|,sup
x∈h1
n,1i
|fn(x)|
.
On remarque que la quantité xp1−nxest positive pour tout x∈0,1
n. Donc, on a
∥fn−0∥∞,[0,1]=max
sup
x∈h0,1
ni
xp1−nx,0
=sup
x∈h0,1
ni
xp1−nx.
Remarquons que si 0 <p<1, la fonction φn:x7→ xp1−nxn’est pas dérivable à droite de zéro. Alors,
il suffit d’étudier cette fonction sur 0,1
n. Pour tout x∈0,1
n, on a
φ′
n(x) = xp1−nx′=pxp−11−n(p+1)
px.
Puisque p>0, on a p+1>p>0, donc 0 <p
n(p+1)<1
n, ainsi la quantité pxp−11−n(p+1)
pxs’annule
sur 0,1
nen x=p
n(p+1). De plus, on a le tableau suivant :
1
x
φ′
n(x)
φn
0p
n(p+1)1
n
+0−
00
φnp
n(p+1)
φnp
n(p+1)
00
D’après ce tableau, on obtient
∥fn−0∥∞,[0,1]=∥fn∥∞,[0,1]=sup
x∈h0,1
ni
φn(x) = φnp
n(p+1)=pp
(p+1)p+1.1
np=Cp
np,
où Cp=pp
(p+1)p+1est une constante réelle strictement positive qui dépend seulement de p. On sait que
la série numérique ∑
n⩾1
1
npest convergente si et seulement si p>1. Comme la constante Cpne dépend pas
de net de plus elle différente à zéro (Cp>0). Alors, la série numérique ∑
n⩾1
∥fn∥∞,[0,1]est convergente
si et seulement si p>1. D’où, la série de fonctions ∑
n⩾1
fnconverge normalement sur l’intervalle [0,1]si
et seulement si p>1. On déduite que si p>1, alors la série de fonctions ∑
n⩾1
fnconverge normalement,
uniformément et simplement sur l’intervalle [0,1].
On suppose maintenant que 0 <p⩽1. Dans ce cas, on n’a pas la convergence normale de la série de
fonctions ∑
n⩾1
fn, étudions donc sa convergence simple puis sa convergence uniforme.
Convergence simple : Pour x=0, on a fn(0) = 0 pour tout n∈N∗. Alors, +∞
∑
n=1
fn(0) = 0. Par suite,
la série numérique ∑
n⩾1
fn(0)est convergente. Supposons que x∈]0,1]. Alors, il existe nx∈N∗tel que
pour tout n⩾nxon a 1
n⩽x⩽1. Ainsi, pour tout n⩾nx+1 on a fn(x) = 0, ceci implique +∞
∑
n=nx+1
fn(x) = 0.
D’où,
+∞
∑
n=1
fn(x) =
nx
∑
n=1
fn(x) +
+∞
∑
n=nx+1
fn(x) =
nx
∑
n=1
fn(x) = f1(x) + · ·· +fnx(x)existe et finie.
Par conséquent, pour tout x∈[0,1], la somme +∞
∑
n=1
fn(x)existe et finie. Donc la série de fonctions ∑
n⩾1
fn
converge simplement sur l’intervalle [0,1].
2
Convergence uniforme : Pour tout n∈N∗et tout x∈0,1
n, on pose
S(x) =
+∞
∑
n=1
fn(x).
Soit n∈N∗. Pour tout k∈N∗, on a
fk1
n+1=0⇐⇒ 1
k⩽1
n+1⇐⇒ k⩾n+1.
Alors, pour tout k∈N∗, on a
S1
n+1=
k=+∞
∑
k=0
fk1
n+1=
k=n
∑
k=01
n+1p1−k
n+1=1
n+1p
k=n
∑
k=0
1−
k=n
∑
k=0
k
n+1
c’est-à-dire
S1
n+1=1
n+1p
n+1−
n(n+1)
2
n+1
=1
n+1pn
2+1>1
(n+1)p
n+1
2.
En utilisant le fait où 1−p⩾0 car 0 <p⩽1, on obtient :
S1
n+1>n+11−p
2⩾1
2.
D’où,
lim
n→+∞S1
n+1⩾1
2.
Puisqu’on a S(0) = 0. On déduit alors que la fonction limite Sn’est pas continue à droite de zéro.
Or toutes les fonctions fnsont continues sur [0,1], ce qui assure les fonctions sommes Sn=
k=n
∑
k=0
fksont
continues sur [0,1]. D’autre part, on sait que la convergence uniforme garde la continuité pour la fonction
limite S. Alors, Snne converge pas uniformément vers Ssur l’intervalle [0,1], cela signifie que la série de
fonctions ∑
k⩾0
fkne converge pas uniformément sur l’intervalle [0,1]. Puisque le problème apparait ici en
zéro, choisissons un réel a∈]0,1[et étudions la convergence uniforme de la série de fonctions ∑
k⩾0
fksur
l’intervalle [a,1]. D’après la définition, il existe na∈N∗tel que pour tout n⩾na+1 on a 1
n⩽a. Donc
∀n⩾na+1∀x∈[a,1]1
n⩽a⩽x⩽1.
3
Ainsi
∀n⩾na+1∀x∈[a,1]fn(x) = 0.
Par suite,
∀n⩾na+1∥fn∥∞,[a,1]=0.
Or, pour tout n=0,...,na, la borne supérieure ∥fn∥∞,[a,1]est finie sur l’intervalle [a,1]d’après le
théorème de Weierstrass puisque fnest continue et l’intervalle [a,1]est un compact. On déduit que
n=+∞
∑
n=0
∥fn∥∞,[a,1]=
k=na
∑
k=0
∥fn∥∞,[a,1]est finie .
Par conséquent la série de fonctions ∑
k⩾0
fkconverge normalement sur tout intervalle [a,1]où 0 <a<1.
4
1
/
4
100%
